Když je v příkladu víc početních operací, počítáme je v tomto pořadí: nejdřív závorky, potom násobení a dělení a nakonec sčítání a odčítání. Operace, které jsou na stejném stupni, počítáme zleva doprava. Proto vyjde každý příklad každému stejně:

4 + 3 · 5 = 4 + 15 = 19
(4 + 3) · 5 = 7 · 5 = 35

V prvním příkladu má násobení přednost před sčítáním, takže 3 · 5 spočítáme dřív. Ve druhém je sčítání v závorce, a závorka říká: tohle spočítej jako první. Stejná čísla, stejná znaménka, a přesto dva různé výsledky.

Příklady se závorkami na počítání z hlavy, s okamžitou kontrolou a s vysvětlením chyby, najdete v procvičování příkladů se závorkami. Je tam i pracovní list k vytištění.

Závorky u sčítání a odčítání se objeví už ve 2. třídě, přednost násobení ve 3. třídě, když se dokončí malá násobilka. Ve 4. a 5. třídě se počítá s většími čísly. Ve vyšších ročnících přibudou hranaté závorky, desetinná a záporná čísla a v 8. třídě mocniny. Níže je pravidlo v tabulce, proč má násobení přednost, postup krok za krokem, slovní úlohy, časté chyby a šest příkladů s řešením.

Pořadí početních operací v tabulce

pořadíco počítámepříklad
1.závorky (od té nejvnitřnější)(8 − 2) · 4 = 6 · 4 = 24
2.násobení a dělení, zleva doprava3 + 6 · 4 = 3 + 24 = 27
3.sčítání a odčítání, zleva doprava20 − 5 + 3 = 15 + 3 = 18

Sčítání a odčítání se nazývají početní operace (výkony) prvního stupně, násobení a dělení operace druhého stupně. Operace druhého stupně mají přednost.

Násobení a dělení jsou si rovné, žádné z nich nemá přednost před tím druhým. Totéž platí pro sčítání a odčítání. Mezi rovnými operacemi rozhoduje jen to, která je v příkladu víc vlevo.

Proč má násobení přednost před sčítáním

Násobení je zkrácené sčítání stejných čísel. 3 · 5 znamená 5 + 5 + 5. Když tedy v příkladu 4 + 3 · 5 napíšeme násobení celé, vyjde:

4 + 3 · 5 = 4 + 5 + 5 + 5 = 19

Kdybychom nejdřív sečetli 4 + 3, dostali bychom 7 · 5 = 35, a to je úplně jiný příklad. Součin 3 · 5 je jedno číslo zapsané zkratkou, a tu zkratku musíme rozbalit dřív, než ho k něčemu přičteme. Proto se o něm říká, že násobení váže víc než sčítání.

Ze života: v obchodě koupíme chleba za 35 Kč a 3 jogurty po 12 Kč. Platíme

35 + 3 · 12 = 35 + 36 = 71 Kč

Nikoho nenapadne zaplatit (35 + 3) · 12 = 456 Kč, tedy dvanáctkrát chleba i s jogurty. Přednost násobení jen zapisuje to, co bychom v obchodě udělali sami. Víc o násobení samotném je v článku Násobení.

Stejné operace počítáme zleva doprava

Tady se chybuje nejčastěji. Příklad 20 − 5 + 3 má jen odčítání a sčítání, a ty jsou si rovné. Počítáme tedy zleva:

20 − 5 + 3 = 15 + 3 = 18

Kdo sečte nejdřív 5 + 3, dostane 20 − 8 = 12, a to je špatně. Mínus patří jen k pětce, trojka se přičítá. Stejně u dělení a násobení:

24 : 4 · 2 = 6 · 2 = 12

Ne 24 : 8 = 3. Pravidlo „násobení má přednost“ neznamená, že násobení má přednost před dělením. Obě jsou na stejném stupni, takže rozhoduje pořadí zleva.

Závorky mění pořadí

Když chceme, aby se něco spočítalo jako první, i když by to podle pravidel přišlo na řadu později, dáme to do závorky. Závorka má přednost úplně před vším:

45 − (12 + 8) = 45 − 20 = 25
45 − 12 + 8 = 33 + 8 = 41

Výsledky se liší, protože v prvním příkladu odečítáme celý součet 12 + 8, kdežto ve druhém osmičku přičítáme. Kde závorka nic nemění, například 5 + (3 · 4), tam ji psát můžeme, ale nemusíme: násobení by se spočítalo jako první i bez ní.

Ve škole se to dělá tak, že si část, která přijde na řadu, podtrhneme, spočítáme ji a napíšeme celý příklad znovu na další řádek, už s výsledkem místo podtržené části. Všechno ostatní opíšeme beze změny:

1. závorka3+(8−2)·42. násobení=3+6·43. sčítání=3+24=27

Postup krok za krokem

  1. Najdi závorky a spočítej, co je v nich. Je-li závorka v závorce, začni tou vnitřní.
  2. Projdi příklad zleva doprava a spočítej všechna násobení a dělení.
  3. Projdi příklad znovu zleva doprava a spočítej sčítání a odčítání.
  4. Na každý řádek napiš jen jeden krok a opiš všechno, co se ještě nepočítalo.

Příklad 1

Spočítejte 50 − 36 : 4 + 2 · 5.

Závorky tu nejsou. Násobení a dělení jsou dvě, 36 : 4 a 2 · 5, spočítáme obě. Potom zbude jen odčítání a sčítání, a to jde zleva:

50 − 36 : 4 + 2 · 5
= 50 − 9 + 10
= 41 + 10
= 51

Kontrola: od 50 odečítáme 9 a přičítáme 10, takže výsledek musí být o 1 větší než 50.

Příklad 2

Spočítejte 7 · (15 − 9) − 20 : 4.

7 · (15 − 9) − 20 : 4
= 7 · 6 − 20 : 4
= 42 − 5
= 37

Nejdřív závorka, potom obě operace druhého stupně (7 · 6 a 20 : 4), na konci odčítání.

Slovní úlohy: kdy je potřeba závorka

Ve slovní úloze závorku potřebujeme tehdy, když se nejdřív musí něco sečíst nebo odečíst a teprve potom násobit nebo dělit.

Příklad 3: vstupné

Do zoo jdou 2 dospělí a 3 děti. Vstupenka pro dospělého stojí 120 Kč, pro dítě 60 Kč. Kolik zaplatí?

2 · 120 + 3 · 60 = 240 + 180 = 420 Kč

Závorka tu není potřeba: nejdřív se násobí, potom sčítá, a to je přesně pořadí, které chceme. Kontrola: jde 5 lidí. Kdyby každý platil 60 Kč, bylo by to 300 Kč, kdyby každý platil 120 Kč, bylo by to 600 Kč. Výsledek 420 Kč leží mezi.

Příklad 4: dělení útraty

Tři kamarádi si koupili pizzu za 189 Kč a limonádu za 36 Kč. Zaplatí rovným dílem. Kolik dá každý?

(189 + 36) : 3 = 225 : 3 = 75 Kč

Tady závorka být musí. Bez ní by se dělila třemi jen limonáda: 189 + 36 : 3 = 189 + 12 = 201 Kč, a to by každý platil víc, než stála celá pizza. Kontrola zkouškou: 3 · 75 = 225 Kč, celá útrata.

Příklad 5: kapesné

Jana měla 100 Kč a koupila si sešit za 18 Kč a pero za 25 Kč. Kolik jí zbylo?

100 − (18 + 25) = 100 − 43 = 57 Kč

Stejně dobře jde odečíst jedno po druhém: 100 − 18 − 25 = 82 − 25 = 57 Kč. Odečíst součet je totéž jako odečíst obě čísla. Pozor ale: 100 − 18 + 25 je něco jiného, tam by se pero přičítalo.

Závorka v závorce: hranaté a složené závorky

Ve vyšších ročnících se objeví závorky uvnitř závorek. Aby se v nich dalo vyznat, píší se různým tvarem: kulaté ( ) uvnitř, kolem nich hranaté [ ] a kolem těch složené { }. Počítá se vždy od té nejvnitřnější ven:

40 − [18 − (3 + 5)] · 2
= 40 − [18 − 8] · 2
= 40 − 10 · 2
= 40 − 20
= 20

Uvnitř každé závorky platí stejná pravidla jako venku: i v hranaté závorce má násobení přednost před sčítáním.

Mocniny, zlomková čára a záporná čísla

Od 8. třídy přibudou do pořadí mocniny a odmocniny. Patří hned za závorky, před násobení:

2 + 3² = 2 + 9 = 11
(2 + 3)² = 5² = 25

Celé pořadí tedy je: závorky, mocniny a odmocniny, násobení a dělení, sčítání a odčítání.

Zlomková čára funguje jako závorka. Ve zlomku `\dfrac{12 + 8}{4}` se nejdřív spočítá celý čitatel, 20, a teprve potom se dělí: výsledek je 5. Kdo ho přepíše na jeden řádek, musí doplnit závorku: (12 + 8) : 4.

U záporných čísel dává závorka pozor na znaménko: (−3)² = 9, protože se umocňuje celé −3, ale −3² = −9, protože se umocní jen trojka a minus se k ní přidá až potom.

Pozor na kalkulačku

Jednoduchá kapesní kalkulačka často počítá každou operaci hned, jak zmáčknete další tlačítko, a přednost násobení nezná. Když do ní naťukáte 2 + 3 × 4 =, ukáže 20, protože spočítala nejdřív 2 + 3. Správně je 2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14. Kalkulačka v mobilu a školní vědecká kalkulačka přednost obvykle dodrží. Vyzkoušejte si to na té svojí s příkladem, jehož výsledek znáte.

Časté chyby

  • Počítání popořadě zleva bez přednosti. 8 + 2 · 3 není 10 · 3 = 30, ale 8 + 6 = 14. Než začnete, podívejte se, jestli v příkladu není násobení nebo dělení.
  • Násobení před dělením. 36 : 6 · 2 není 36 : 12 = 3. Násobení a dělení jsou rovné, jde se zleva: 6 · 2 = 12.
  • Sčítání před odčítáním. 20 − 5 + 3 je 18, ne 12. I sčítání a odčítání jsou rovné.
  • Zapomenutá část příkladu. Kdo na nový řádek opíše jen to, co právě spočítal, ztratí zbytek. Opisujte vždy celý příklad.
  • Chybějící závorka ve slovní úloze. Když se má dělit celý součet, musí být v závorce, jinak se dělí jen poslední číslo (příklad 4).

Pro rodiče

Pokud dítě dělá chyby v pořadí, nechte ho na každý řádek napsat jen jeden krok a podtrhnout, co právě počítá. Většina chyb zmizí, jakmile dítě přestane počítat víc věcí najednou v hlavě. Pomáhá i otázka „je tu závorka? je tu krát nebo děleno?“ před každým příkladem. Krátké série na pět minut denně dává procvičování se závorkami, smíšené příklady na všechny čtyři operace procvičování všech čtyř operací.

Příklady k procvičení

1. Spočítejte a porovnejte: a) 6 + 4 · 5, b) (6 + 4) · 5.

2. Spočítejte 48 : 6 · 2.

3. Spočítejte 30 − 12 : 3 + 2.

4. Doplňte závorku tak, aby platilo 2 + 6 · 4 − 1 = 31.

5. Spočítejte 60 − [5 + (12 − 4) · 3].

6. Na výlet jedou 4 třídy po 23 žácích a s nimi 6 učitelů. Autobus má 100 míst. Napište příklad jedním zápisem a zjistěte, kolik míst zůstane volných.

Kam dál