Záporná čísla jsou čísla menší než nula. Píšou se se znaménkem minus, −1, −5, −12, a čtou se „minus jedna“, „minus pět“. Na číselné ose leží vlevo od nuly, a čím dál od nuly doleva, tím je číslo menší: −8 je menší než −3. Čísla 1, 2, 3, …, nula a záporná čísla −1, −2, −3, … dohromady tvoří celá čísla. Potkáte je na teploměru (−6 °C), u výtahu do podzemní garáže (−2. podlaží) i na účtu v mínusu.

Odpověď na otázku „minus a minus je plus?“ záleží na tom, o jaký početní výkon jde. Při násobení a dělení dvě minus dávají plus. Při sčítání se dvě záporná čísla sečtou do ještě menšího čísla. A dvě minus hned vedle sebe, tedy odečtení záporného čísla, dávají plus:

`\begin{aligned} (-3) \cdot (-4) &= 12 \\ -3 - 4 &= -7 \\ 5 - (-2) &= 5 + 2 = 7 \end{aligned}`

Počítání se zápornými čísly si s okamžitou kontrolou vyzkoušíte v procvičování záporných čísel a jejich polohu na ose v záporných číslech na číselné ose. Celá čísla se probírají v 7. třídě. Níže je číselná osa, porovnávání, opačné číslo a absolutní hodnota, sčítání, odčítání, násobení a dělení, kdy je minus a minus plus, časté chyby a příklady s řešením.

Záporná čísla na číselné ose

Na číselné ose je uprostřed nula. Doprava od ní jsou kladná čísla 1, 2, 3, doleva záporná čísla −1, −2, −3. Dílky jsou na obou stranách stejně dlouhé, takže −5 leží od nuly stejně daleko jako 5, jen na druhé straně:

−7−6−5−4−3−2−101234567záporná číslakladná čísla5 dílků5 dílkůmenšívětší

Kladné číslo můžeme psát i se znaménkem plus, +5 je totéž co 5. Většinou se plus vynechává. Nula není kladná ani záporná.

Číselná osa je vlastně položený teploměr. Na teploměru jsou záporná čísla dole pod nulou, na ose vlevo. Na obou platí totéž: čím níž (čím víc vlevo), tím méně.

Porovnávání záporných čísel

Ze dvou čísel je větší to, které leží na ose víc vpravo. Proto:

  • každé kladné číslo je větší než každé záporné: `2 \gt -100`,
  • nula je větší než každé záporné číslo: `0 \gt -1`,
  • ze dvou záporných čísel je větší to, které má blíž k nule: `-3 \gt -8`.

Poslední bod je ten záludný. Číslo 8 je větší než 3, ale −8 je menší než −3. Pomůže teploměr: při −8 °C je větší zima než při −3 °C, teplota je nižší. Nebo dluh: kdo dluží 800 Kč, má méně než ten, kdo dluží 300 Kč.

Seřaďme čísla 4, −6, 0, −1, −10 a 2 od nejmenšího. Nejdřív záporná, od toho nejdál od nuly: −10, −6, −1. Pak nula a nakonec kladná:

`-10 \lt -6 \lt -1 \lt 0 \lt 2 \lt 4`

Opačné číslo a absolutní hodnota

Opačné číslo leží na ose stejně daleko od nuly, ale na druhé straně. Opačné číslo k 5 je −5 a opačné číslo k −5 je 5. Zapisuje se mínusem před číslem, takže mínus před záporným číslem dá kladné:

`-(-5) = 5`

Opačné číslo k nule je zase nula. Číslo a k němu opačné dávají vždy součet nula: `5 + (-5) = 0`.

Absolutní hodnota čísla je jeho vzdálenost od nuly na číselné ose. Píše se mezi dvě svislé čárky. Vzdálenost nemůže být záporná, proto absolutní hodnota záporného čísla je číslo k němu opačné a absolutní hodnota kladného čísla nebo nuly je to číslo samo:

`\lvert -7 \rvert = 7 \qquad \lvert 7 \rvert = 7 \qquad \lvert 0 \rvert = 0`

Absolutní hodnota je to, co zbude, když u čísla „zakryjeme znaménko“. Hodí se při sčítání čísel s různými znaménky (níže) a při počítání vzdálenosti dvou čísel na ose: vzdálenost čísel −7 a 3 je `\lvert -7 - 3 \rvert = \lvert -10 \rvert = 10`. Absolutní hodnotu a vzdálenost libovolných dvou čísel spočítá i s postupem kalkulačka absolutní hodnoty. Rovnice jako `\lvert x - 3 \rvert = 5` jsou až látka střední školy, v článku Rovnice s absolutní hodnotou.

Sčítání a odčítání na číselné ose

Sčítání a odčítání je pohyb po ose. Začneme na prvním čísle a pak:

  • přičíst kladné číslo znamená jít doprava,
  • odečíst kladné číslo znamená jít doleva,
  • přičíst záporné číslo znamená také jít doleva.
−8−7−6−5−4−3−2−10123456−2 + 5 = 3−8−7−6−5−4−3−2−101234563 − 7 = −4−8−7−6−5−4−3−2−10123456−4 + (−3) = −7

Na první ose začínáme na −2 a jdeme o 5 dílků doprava, přes nulu až na 3. Na druhé jdeme ze 3 o 7 dílků doleva, nulu přejdeme a skončíme na −4. Na třetí jsme už vlevo od nuly a jdeme ještě o 3 dále doleva, na −7. Přičíst −3 je totéž jako odečíst 3.

Pravidla pro sčítání bez osy

S většími čísly se po ose chodit nedá. Stačí ale dvě pravidla. Obě pracují s čísly „bez znaménka“, tedy s absolutními hodnotami.

Stejná znaménka: čísla bez znamének sečteme a výsledek dostane jejich společné znaménko. Dvě záporná čísla dají záporný výsledek:

`\begin{aligned} -15 + (-27) &= -42 \\ -15 - 27 &= -42 \end{aligned}`

Druhý řádek je tentýž příklad zapsaný bez závorky. Tady je to známé „minus a minus“, a výsledek je minus, ne plus. Kdo má dluh 15 Kč a půjčí si dalších 27 Kč, dluží 42 Kč.

Různá znaménka: od většího čísla bez znaménka odečteme menší a výsledek dostane znaménko toho čísla, které má bez znaménka víc:

`\begin{aligned} -38 + 25 &= -13 \\ -25 + 38 &= 13 \end{aligned}`

V prvním řádku je 38 − 25 = 13 a víc má −38, proto −13. Ve druhém zase víc má 38, proto +13. Kontrola osou: z −38 o 25 doprava nulu nepřejdeme, výsledek musí zůstat záporný.

Odčítání záporného čísla

Odečíst číslo je totéž jako přičíst číslo k němu opačné. U kladného čísla to známe: odečíst 3 je jako přičíst −3. U záporného čísla to dává pravidlo, na kterém se chybuje nejčastěji: odečíst záporné číslo je totéž jako přičíst kladné.

`\begin{aligned} 6 - (-4) &= 6 + 4 = 10 \\ -9 - (-2) &= -9 + 2 = -7 \\ -3 - (-8) &= -3 + 8 = 5 \end{aligned}`

Proč to tak je, nejlépe ukáže rozdíl teplot. V poledne bylo 4 °C, ráno −6 °C. O kolik se oteplilo? Rozdíl je vždy „větší minus menší“, tedy `4 - (-6)`. Na teploměru je vidět, že od −6 k nule je 6 stupňů a od nuly ke 4 jsou další 4, celkem 10:

−10−8−6−4−20246810poledne 4 °Cráno −6 °C6 °C4 °C10 °C

Výsledek 10 dává jen pravidlo „minus a minus je plus“: `4 - (-6) = 4 + 6 = 10`. Kdyby vyšlo 4 − 6 = −2, oteplení by bylo záporné, a to nedává smysl.

Minus a minus je plus? Jen někdy

Dvě znaménka hned vedle sebe se zjednoduší podle tabulky. Stejná znaménka dávají plus, různá minus. Záporné číslo za znaménkem se proto vždy píše do závorky, aby se znaménka neslila:

ZápisZjednodušíme naPříklad
+ (+)+`5 + (+3) = 5 + 3 = 8`
+ (−)−`5 + (-3) = 5 - 3 = 2`
− (+)−`5 - (+3) = 5 - 3 = 2`
− (−)+`5 - (-3) = 5 + 3 = 8`

Pozor na rozdíl mezi `-3 - 4` a `3 - (-4)`. V prvním příkladu nejsou dvě minus vedle sebe: −3 je záporné číslo, od kterého odečítáme 4, a výsledek je −7. Ve druhém minus stojí hned před záporným číslem a výsledek je 7. Pravidlo „minus a minus je plus“ platí jen pro znaménka přímo vedle sebe a pro násobení a dělení.

Násobení a dělení záporných čísel

Nejdřív počítáme s čísly bez znamének, pak určíme znaménko výsledku. Stejná znaménka dávají plus, různá minus. U dělení je to stejné jako u násobení:

`\begin{aligned} (-6) \cdot (-7) &= 42 \\ 6 \cdot (-7) &= -42 \\ (-6) \cdot 7 &= -42 \\[8pt] (-42) : (-6) &= 7 \\ 42 : (-6) &= -7 \\ (-42) : 6 &= -7 \end{aligned}`

Při více činitelích stačí spočítat minusy. Sudý počet dá plus, lichý minus:

`\begin{aligned} 2 \cdot (-3) \cdot (-5) &= 30 \\ (-1) \cdot (-2) \cdot (-4) &= -8 \end{aligned}`

Proč je minus krát minus plus, ukazuje na vzoru, na číselné ose a na příkladu ze života článek Násobení.

Stejné pravidlo platí pro mocniny, protože mocnina je opakované násobení. Druhá mocnina záporného čísla je kladná, třetí záporná. Rozhoduje ale závorka:

`\begin{aligned} (-3)^2 &= (-3) \cdot (-3) = 9 \\ -3^2 &= -(3 \cdot 3) = -9 \\ (-2)^3 &= (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8 \end{aligned}`

Bez závorky se umocní jen trojka a mínus zůstane před výsledkem. Víc o mocninách je v článku Mocniny.

Řešené příklady

Příklad 1: účet v mínusu

Na účtu má Petra 350 Kč a zaplatí kartou 520 Kč. Banka platbu povolí a účet jde do mínusu. Kolik na něm zbude? Potom jí rodiče pošlou 300 Kč. Kolik má na účtu teď?

`\begin{aligned} 350 - 520 &= -170 \\ -170 + 300 &= 130 \end{aligned}`

Po platbě je na účtu −170 Kč, Petra dluží bance 170 Kč. Po příchodu peněz má 130 Kč. Kontrola: dohromady měla 350 + 300 = 650 Kč a utratila 520 Kč, 650 − 520 = 130.

Příklad 2: výtah

Výtah v domě má tlačítka od −3 (nejnižší garáže) po 8. Kolik pater projede z 5. patra do −2. podlaží? A kam dojede, když ze 3. podlaží pod zemí vyjede o 7 pater nahoru?

`\begin{aligned} 5 - (-2) &= 5 + 2 = 7 \\ -3 + 7 &= 4 \end{aligned}`

Z 5. patra do −2. podlaží je to 7 pater: 5 pater dolů do přízemí (0) a další 2 pod zem. Z −3 o 7 nahoru dojede do 4. patra: 3 patra do přízemí, zbývají 4.

Příklad 3: výraz se závorkami

Vypočítejte `-2 \cdot (3 - 7) + (-20) : 4 - (-6)`.

Pořadí je stejné jako u kladných čísel: závorka, pak násobení a dělení, nakonec sčítání a odčítání zleva doprava.

`\begin{aligned} &{-2} \cdot (3 - 7) + (-20) : 4 - (-6) \\ &= -2 \cdot (-4) + (-5) + 6 \\ &= 8 - 5 + 6 \\ &= 9 \end{aligned}`

V závorce je 3 − 7 = −4. Pak `-2 \cdot (-4) = 8` (dvě minus, plus) a `(-20) : 4 = -5` (různá znaménka, minus). Odečíst −6 je přičíst 6.

Příklad 4: nejnižší a nejvyšší teplota

Za týden naměřili ráno teploty −4 °C, −7 °C, 1 °C, −2 °C, 0 °C, −5 °C a −3 °C. Která byla nejnižší a jaký byl rozdíl mezi nejteplejším a nejchladnějším ránem? Jaká byla průměrná ranní teplota?

Nejnižší je ta nejdál vlevo od nuly, −7 °C. Nejvyšší je 1 °C. Rozdíl:

`1 - (-7) = 1 + 7 = 8`

Pro průměr sečteme všech sedm teplot a vydělíme sedmi. Záporná čísla sečteme zvlášť, pak přičteme kladná:

`\begin{aligned} -4 - 7 - 2 - 5 - 3 &= -21 \\ -21 + 1 + 0 &= -20 \\ -20 : 7 &\doteq -2{,}9 \end{aligned}`

Průměrná ranní teplota byla asi −2,9 °C. Kontrola: průměr musí ležet mezi nejnižší a nejvyšší hodnotou, a −2,9 mezi −7 a 1 leží. Průměr i s postupem spočítá kalkulačka aritmetického průměru.

Časté chyby

  • „Minus a minus je plus“ i u sčítání. `-3 - 4` není 7, ale −7. Pravidlo platí pro násobení, dělení a pro dvě znaménka hned vedle sebe, jako v `3 - (-4) = 7`.
  • Porovnávání podle čísla bez znaménka. −9 není větší než −2. Ze dvou záporných čísel je větší to bližší k nule.
  • Znaménko podle prvního čísla místo podle většího. `-5 + 12` je 7, ne −7. Víc má 12, výsledek je kladný.
  • Chybějící závorka. Zápis 6 · −2 nebo 6 − −2 se nepoužívá. Záporné číslo za znaménkem patří do závorky: `6 \cdot (-2)`, `6 - (-2)`.
  • Mocnina bez závorky. `-4^2` je −16, protože se umocní jen 4. Kladných 16 vyjde jen z `(-4)^2`.
  • Absolutní hodnota jako „změň znaménko“. `\lvert 5 \rvert` je 5, ne −5. Absolutní hodnota mění jen záporná čísla.

Příklady k procvičení

1. Seřaďte od nejmenšího: 3, −5, 0, −12, 7, −1.

2. Vypočítejte: a) `-8 + 3`, b) `-4 - 9`, c) `6 - (-5)`, d) `-15 - (-20)`.

3. Vypočítejte: a) `(-6) \cdot (-7)`, b) `8 \cdot (-4)`, c) `(-56) : 8`, d) `(-45) : (-9)`, e) `(-2) \cdot (-3) \cdot (-5)`.

4. Vypočítejte: a) `\lvert -9 \rvert + \lvert 4 \rvert`, b) `\lvert 3 - 11 \rvert`, c) vzdálenost čísel −6 a 5 na číselné ose.

5. Vypočítejte: a) `3 - 2 \cdot (-4) + (-18) : (-3)`, b) `-2^2 + (-2)^2`.

6. Ponorka byla 85 m pod hladinou. Klesla o 40 m a pak vystoupala o 70 m. Jak hluboko pod hladinou je teď?

Kam dál