Jak se interval zapisuje

Interval je kus číselné osy mezi dvěma čísly. Závorka u každého konce říká, jestli krajní bod do intervalu patří. Lomená závorka ⟨ ⟩ znamená, že patří, kulatá ( ) že ne. Interval ⟨-2; 5) jsou tedy všechna čísla x, pro která platí -2 ≤ x < 5: minus dvojka ano, pětka už ne. Na číselné ose se patřící bod kreslí plným kolečkem a nepatřící prázdným.

Interval, který na jedné straně nekončí, má tam místo čísla nekonečno, třeba (3; ∞) pro x > 3. U nekonečna je závorka vždycky kulatá, protože nekonečno není číslo a do intervalu patřit nemůže. Do kalkulaček výše se uzavřený konec píše hranatou závorkou, [-2; 5), protože lomenou na klávesnici nemáte. Konce se oddělují středníkem, čárka je desetinná.

Průnik, sjednocení a rozdíl

Nejjistější je oba intervaly nakreslit pod sebe na jednu osu. Průnik A ∩ B je úsek, kde se překrývají, sjednocení A ∪ B je všechno, co je aspoň v jednom z nich, a rozdíl A \ B je to, co zbude z A, když se z něj vystřihne B. Pro ⟨-2; 5) a (1; 8⟩ vyjde průnik (1; 5) a sjednocení ⟨-2; 8⟩.

Nejvíc chyb se dělá u krajních bodů. Bod patří do průniku, jen když patří do obou intervalů, a do sjednocení, když patří aspoň do jednoho. Proto má průnik intervalů ⟨1; 2⟩ a ⟨2; 5⟩ jediný prvek, číslo 2, ale průnik ⟨1; 2) a ⟨2; 5⟩ je prázdná množina. Když mezi intervaly zůstane mezera, sjednocení se jako jeden interval zapsat nedá a píše se se znakem ∪, třeba (-∞; 0) ∪ (3; ∞).

Absolutní hodnota

Absolutní hodnota čísla je jeho vzdálenost od nuly na číselné ose. Proto není nikdy záporná: |7| = 7, |-7| = 7 a |0| = 0. Kladné číslo zůstává, jak je, u záporného se vezme číslo opačné. Vzdálenost dvou čísel na ose je absolutní hodnota jejich rozdílu, takže -3 a 5 jsou od sebe |-3 - 5| = 8.

Z toho plyne i nejrychlejší pohled na jednoduché rovnice. |x - 2| = 3 se ptá, která čísla jsou od dvojky vzdálená přesně 3, a to jsou -1 a 5. Nerovnice |x - 2| < 3 chce čísla bližší než 3, tedy interval (-1; 5). Rovnice |x| = -2 nemá řešení vůbec, protože vzdálenost záporná být nemůže.

Metoda nulových bodů

Když je v rovnici neznámá i mimo absolutní hodnotu, nebo jsou absolutní hodnoty dvě, počítá se metodou nulových bodů. Nejdřív se najde, kde je výraz uvnitř každé absolutní hodnoty nulový. Tyhle body rozdělí osu na intervaly a v každém z nich má výraz stále stejné znaménko, takže se absolutní hodnota dá odstranit: kde je výraz nezáporný, prostě se vynechá, kde je záporný, nahradí se výrazem s opačným znaménkem.

V každém intervalu pak zbude obyčejná lineární rovnice. Její kořen se ale počítá jen tehdy, když do toho intervalu opravdu patří. U rovnice |x + 1| + |x - 2| = 5 jsou nulové body -1 a 2, na intervalu (-∞; -1) vyjde x = -2, na ⟨-1; 2) rovnice 3 = 5, která neplatí nikdy, a na ⟨2; ∞) vyjde x = 3. Řešením jsou tedy -2 a 3. Stává se i to, že v některém intervalu vyjde rovnost, která platí vždycky, a pak je řešením celý ten interval.

Výklad s dalšími řešenými příklady je v článku rovnice s absolutní hodnotou a na rovnice se dá potrénovat v příkladech na absolutní hodnotu.