Gravitační pole, kosmické rychlosti a Keplerovy zákony

Gravitační pole je prostor kolem tělesa, ve kterém na každé jiné těleso působí gravitační síla. Kolem Země je gravitační pole, ve kterém padají kameny, obíhá Měsíc i družice. Jak silné pole v určitém místě je, udává intenzita gravitačního pole, tedy gravitační síla připadající na jeden kilogram. Ze stejného vzorce vychází i rychlost, kterou musí mít družice, aby obíhala, a rychlost, při které raketa unikne ze Země:

`\begin{gathered}K = a_g = G \cdot \dfrac{M}{r^2} \\[10pt] v_1 = \sqrt{\dfrac{G \cdot M}{r}} \doteq 7{,}9\ \mathrm{km/s} \\[10pt] v_2 = \sqrt{\dfrac{2 \cdot G \cdot M}{r}} \doteq 11{,}2\ \mathrm{km/s}\end{gathered}`

Tady M je hmotnost Země (nebo jiného centrálního tělesa), r vzdálenost od jejího středu a G gravitační konstanta. Hodnoty 7,9 km/s a 11,2 km/s jsou první a druhá kosmická rychlost u povrchu Země. Pohyb planet kolem Slunce pak popisují tři Keplerovy zákony. Vlastní čísla dosadíte do kalkulaček gravitační zrychlení ve výšce, první kosmická rychlost, úniková rychlost a třetí Keplerův zákon. Téma se probírá v 1. ročníku střední školy a navazuje na Newtonův gravitační zákon z článku Newtonovy zákony a třecí síla a na pohyb po kružnici z článku Rovnoměrně zrychlený pohyb, volný pád a vrhy.

Gravitační pole a jeho intenzita

Podle Newtonova gravitačního zákona se dvě tělesa přitahují silou `F_g = G \cdot \frac{M \cdot m}{r^2}`, kde `G \doteq 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \mathrm{N \cdot m^2 \cdot kg^{-2}}`. Když tuto sílu vydělíme hmotností m přitahovaného tělesa, dostaneme veličinu, která na tělese nezávisí, jen na místě v poli. To je intenzita gravitačního pole:

`\begin{gathered}K = \dfrac{F_g}{m} = G \cdot \dfrac{M}{r^2}\end{gathered}`

Jednotkou je newton na kilogram, `\mathrm{N \cdot kg^{-1}}`, což je totéž jako `\mathrm{m \cdot s^{-2}}`. Podle druhého Newtonova zákona je totiž síla na kilogram právě zrychlení, které síla tělesu udělí. Intenzita gravitačního pole se proto rovná gravitačnímu zrychlení `a_g`: v místě, kde je K = 9,8 N/kg, padá každé těleso (bez odporu vzduchu) se zrychlením 9,8 m/s², pírko i kladivo.

Intenzita je vektor a kolem Země míří vždy do jejího středu. Takovému poli se říká centrální. V malé oblasti u povrchu, třeba na hřišti, jsou ale směry ke středu Země prakticky rovnoběžné a velikost se se změnou výšky o pár metrů nemění. Tam pole považujeme za homogenní: všude stejně velké a stejně orientované. V homogenním poli se počítají volný pád a vrhy z článku Rovnoměrně zrychlený pohyb, volný pád a vrhy, centrální pole je potřeba pro družice a planety.

Gravitační zrychlení ve výšce

Ve výšce h nad povrchem je vzdálenost od středu Země `r = R_Z + h`, kde `R_Z \doteq 6\,371\ \mathrm{km}`. Dosazením do vzorce pro intenzitu dostaneme gravitační zrychlení ve výšce:

`\begin{gathered}a_g = G \cdot \dfrac{M_Z}{(R_Z + h)^2} \\[10pt] a_g = a_{g0} \cdot \left(\dfrac{R_Z}{R_Z + h}\right)^2\end{gathered}`

Druhý tvar je praktičtější: `a_{g0}` je gravitační zrychlení na povrchu a zlomek v závorce říká, kolikrát dál od středu jsme. Hmotnost Země `M_Z \doteq 5{,}97 \cdot 10^{24}\ \mathrm{kg}` pak není potřeba vůbec. Ve dvojnásobné vzdálenosti od středu (tedy ve výšce jednoho poloměru Země) je zrychlení čtvrtinové, v trojnásobné devítinové.

Příklad 1: gravitace na Mezinárodní vesmírné stanici

Stanice ISS obíhá asi 400 km nad povrchem. Jaké je tam gravitační zrychlení?

Nejdřív zrychlení na povrchu z hmotnosti a poloměru Země:

`\begin{gathered}a_{g0} = 6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot \dfrac{5{,}972 \cdot 10^{24}}{(6{,}371 \cdot 10^{6})^2} \\[10pt] a_{g0} \doteq 9{,}82\ \mathrm{m/s^2}\end{gathered}`

Stanice je od středu Země vzdálena `6\,371 + 400 = 6\,771\ \mathrm{km}`, takže

`\begin{gathered}a_g = 9{,}82 \cdot \left(\dfrac{6\,371}{6\,771}\right)^2 \\[10pt] a_g \doteq 9{,}82 \cdot 0{,}885 \doteq 8{,}69\ \mathrm{m/s^2}\end{gathered}`

Na stanici je tedy gravitace jen asi o 11 % slabší než na povrchu Země. Kontrola: 400 km je proti 6 371 km málo, takže velký pokles vyjít nemohl. Stejné číslo, 8,694 m/s², ukáže kalkulačka gravitační zrychlení ve výšce, která má výšku 400 km nastavenou; říká mu tíhové zrychlení a otáčení Země nepočítá.

Gravitační zrychlení klesne na polovinu teprve ve výšce `h = R_Z \cdot (\sqrt{2} - 1) \doteq 2\,639\ \mathrm{km}`. Tabulka ukazuje, jak pomalu gravitace s výškou slábne:

Gravitační a tíhové zrychlení

Ze vzorce vyjde na povrchu 9,82 m/s², ve škole se ale počítá s tíhovým zrychlením g = 9,81 m/s². Rozdíl způsobuje otáčení Země. Těleso na povrchu se otáčí se Zemí po kružnici, a část gravitační síly proto „spotřebuje“ dostředivá síla, která ho na kružnici drží. Co zbude, je tíhová síla `F_G = m \cdot g`, kterou těleso tlačí na podložku nebo napíná závěs.

Na pólech se těleso po kružnici nepohybuje, tam je tíhové zrychlení největší, asi 9,83 m/s². Na rovníku je nejmenší, asi 9,78 m/s², i proto, že je tam povrch od středu Země dál. Jako dohodnutá hodnota se používá normální tíhové zrychlení `g_n = 9{,}806\,65\ \mathrm{m/s^2}`, zaokrouhleně 9,81 m/s². Ve vzorcích pro družice a planety ale vystupuje vždy gravitační zrychlení `G \cdot M / r^2`.

Proč astronauti na ISS létají

Když je gravitace na stanici 8,7 m/s², proč astronauti volně plují? Protože stanice i všechno v ní volně padá. Na stanici působí jen gravitační síla, stejně jako na astronauty uvnitř, a všechno se pohybuje se stejným zrychlením. Astronaut proto netlačí na podlahu a podlaha netlačí na něj. Tomu se říká beztížný stav: tíha zmizela, gravitační síla ne.

Stanice přitom na Zemi nespadne, protože letí do strany tak rychle, že povrch Země pod ní stále „uhýbá“. Jak rychle přesně, říká první kosmická rychlost. Beztížný stav na chvíli zažijete i v padajícím výtahu nebo při skoku na trampolíně, po celou dobu letu.

První kosmická rychlost (kruhová rychlost)

Představte si, že na vysoké hoře stojí dělo a střílí vodorovně. Pomalá koule dopadne kousek od hory, rychlejší dál. Při určité rychlosti se povrch Země pod koulí zakřivuje stejně rychle, jako koule padá, a koule obletí Zemi dokola. Tak to popsal už Isaac Newton a obrázek ukazuje, co se stane při různých rychlostech:

Aby těleso obíhalo po kružnici o poloměru r, musí gravitační síla přesně obstarat dostředivou sílu `F_d = m \cdot \frac{v^2}{r}` (o ní je kalkulačka dostředivá síla):

`\begin{gathered}G \cdot \dfrac{M \cdot m}{r^2} = m \cdot \dfrac{v^2}{r} \\[10pt] v_k = \sqrt{\dfrac{G \cdot M}{r}}\end{gathered}`

Hmotnost družice m se vykrátí. Kruhová rychlost `v_k` tedy vůbec nezávisí na tom, jestli obíhá malá družice, nebo velká stanice. Rychlost, kterou by těleso muselo mít, aby obíhalo těsně nad povrchem Země (`r = R_Z`, bez odporu vzduchu), je první kosmická rychlost:

`\begin{gathered}v_1 = \sqrt{\dfrac{G \cdot M_Z}{R_Z}} = \sqrt{\dfrac{3{,}986 \cdot 10^{14}}{6{,}371 \cdot 10^{6}}} \\[10pt] v_1 \doteq 7\,910\ \mathrm{m/s} \doteq 7{,}9\ \mathrm{km/s}\end{gathered}`

To je přes 28 000 km/h. Protože na povrchu platí `G \cdot M_Z / R_Z^2 = g`, lze psát také `v_1 = \sqrt{g \cdot R_Z}`; s g = 9,81 m/s² vyjde 7 906 m/s, také 7,9 km/s. Pro jednu otočku kolem Země potřebuje těleso dobu oběhu `T = \frac{2\pi r}{v}`, u povrchu asi 84 minut.

Příklad 2: rychlost a doba oběhu ISS

Jak rychle letí ISS ve výšce 400 km a za jak dlouho oběhne Zemi?

`\begin{gathered}r = 6\,371\ \mathrm{km} + 400\ \mathrm{km} = 6{,}771 \cdot 10^{6}\ \mathrm{m} \\[10pt] v_k = \sqrt{\dfrac{3{,}986 \cdot 10^{14}}{6{,}771 \cdot 10^{6}}} \\[10pt] v_k \doteq 7\,673\ \mathrm{m/s} \doteq 7{,}67\ \mathrm{km/s} \\[10pt] T = \dfrac{2\pi \cdot 6{,}771 \cdot 10^{6}}{7\,673} \doteq 5\,545\ \mathrm{s} \doteq 92\ \mathrm{min}\end{gathered}`

Stanice tak oběhne Zemi asi 15,6krát za den. Kontrola: ve výšce je kruhová rychlost menší než 7,9 km/s a oběh trvá déle než 84 minut, jak má. Kalkulačka první kosmická rychlost má tento příklad nastavený a pro výšku 0 km ukáže právě první kosmickou rychlost.

Čím výš družice obíhá, tím pomaleji letí a tím déle trvá oběh. Zvláštní je výška, ve které oběh trvá přesně jeden hvězdný den (23 h 56 min): geostacionární dráha nad rovníkem. Družice na ní se otáčí stejně jako Země a stojí pořád nad stejným místem, proto na ni lze nasměrovat pevnou satelitní anténu.

Příklad 3: výška geostacionární dráhy

V jaké výšce nad rovníkem obíhá geostacionární družice?

Do vzorce pro dobu oběhu dosadíme kruhovou rychlost a vyjádříme r:

`\begin{gathered}T = \dfrac{2\pi r}{v_k} = 2\pi \sqrt{\dfrac{r^3}{G \cdot M}} \\[10pt] r = \sqrt[3]{\dfrac{G \cdot M \cdot T^2}{4\pi^2}}\end{gathered}`

Hvězdný den má 86 164 s:

`\begin{gathered}r = \sqrt[3]{\dfrac{3{,}986 \cdot 10^{14} \cdot 86\,164^2}{4\pi^2}} \\[10pt] r \doteq 4{,}216 \cdot 10^{7}\ \mathrm{m} = 42\,160\ \mathrm{km}\end{gathered}`

To je vzdálenost od středu Země. Poloměr Země na rovníku je 6 378 km, takže výška nad povrchem je asi 42 160 − 6 378 ≈ 35 800 km (přesná hodnota je 35 786 km). Družice tam letí rychlostí jen asi 3,07 km/s.

Druhá kosmická rychlost (úniková rychlost)

Když těleso vystřelíme rychleji, než je kruhová rychlost, poletí po elipse a vzdálí se od Země, ale zase se vrátí. Od určité rychlosti se už nevrátí nikdy: z gravitačního pole Země unikne. Ta rychlost je druhá kosmická, také úniková nebo parabolická rychlost, protože těleso pak letí po parabole:

`\begin{gathered}v_2 = \sqrt{\dfrac{2 \cdot G \cdot M}{r}} = \sqrt{2} \cdot v_1 \doteq 11{,}2\ \mathrm{km/s}\end{gathered}`

Vzorec plyne z energie: pohybová energie `\frac{1}{2} m v^2` musí stačit na práci potřebnou k vzdálení tělesa z povrchu „do nekonečna“, která je `G \cdot \frac{M \cdot m}{r}`. Hmotnost se opět vykrátí. Shrnuto podle obrázku Newtonova děla: při rychlosti menší než `v_1` těleso dopadne, při `v_1` obíhá po kružnici, mezi `v_1` a `v_2` po elipse, při `v_2` uniká po parabole a nad `v_2` po hyperbole. Třetí kosmická rychlost, asi 16,7 km/s, je rychlost, kterou musí mít těleso u Země, aby uniklo i ze Sluneční soustavy.

Úniková rychlost závisí na hmotnosti a poloměru tělesa. Kalkulačka úniková rychlost ji spočítá pro tělesa z této tabulky:

Z Měsíce stačí k úniku 2,4 km/s a k oběhu těsně nad povrchem 1,7 km/s, proto lunárnímu modulu Apolla stačil ke startu z Měsíce malý motor. Ze Slunce je úniková rychlost přes 600 km/s.

Keplerovy zákony

Johannes Kepler odvodil na začátku 17. století z pozorování planet tři zákony. Newton o desítky let později ukázal, že všechny tři plynou z jeho gravitačního zákona.

1. Keplerův zákon: Planety obíhají kolem Slunce po elipsách, v jejichž společném ohnisku je Slunce. Elipsy planet se od kružnic liší jen málo; Země má nejblíž ke Slunci (v perihéliu) asi 147 milionů km, začátkem ledna, a nejdál (v aféliu) asi 152 milionů km, začátkem července. Co je ohnisko a hlavní poloosa elipsy, vysvětluje článek Analytická geometrie - Elipsa.

2. Keplerův zákon: Průvodič planety (úsečka Slunce-planeta) opíše za stejnou dobu stejnou plochu. Blízko Slunce je průvodič krátký, a planeta proto musí letět rychleji, daleko od Slunce letí pomaleji. Na obrázku je elipsa mnohem protáhlejší, než jsou dráhy planet, aby byl rozdíl vidět; plochy obou výsečí jsou spočítané a jsou stejné.

3. Keplerův zákon: Druhé mocniny oběžných dob dvou planet se mají jako třetí mocniny hlavních (velkých) poloos jejich drah:

`\begin{gathered}\dfrac{T_1^2}{T_2^2} = \dfrac{a_1^3}{a_2^3}\end{gathered}`

Když za druhou planetu vezmeme Zemi (T = 1 rok, a = 1 AU, astronomická jednotka asi 150 milionů km), zjednoduší se zákon na `T^2 = a^3`, kde T je v letech a a v astronomických jednotkách. Zákon platí pro všechna tělesa obíhající kolem Slunce, tedy i pro komety a planetky. Pro měsíce obíhající kolem planety platí také, jen s jinou konstantou.

Příklad 4: jak dlouho trvá rok na Marsu

Velká poloosa dráhy Marsu je 1,524 AU. Za jak dlouho oběhne Slunce?

`\begin{gathered}T^2 = 1{,}524^3 \doteq 3{,}540 \\[10pt] T = \sqrt{3{,}540} \doteq 1{,}881\ \mathrm{roku}\end{gathered}`

To je asi 687 dní. Kontrola: Mars je dál než Země, takže jeho rok musí být delší než pozemský, a je. Výsledek ukáže i kalkulačka třetí Keplerův zákon, která umí počítat i obráceně, poloosu z doby oběhu.

Příklad 5: kam až doletí Halleyova kometa

Halleyova kometa se vrací ke Slunci zhruba po 76 letech. Jaká je velká poloosa její dráhy?

`\begin{gathered}a^3 = T^2 = 76^2 = 5\,776 \\[10pt] a = \sqrt[3]{5\,776} \doteq 17{,}9\ \mathrm{AU}\end{gathered}`

Nejblíž ke Slunci je kometa jen 0,59 AU, takže nejdál je `2a - 0{,}59 \doteq 35{,}3\ \mathrm{AU}`, dál než Neptun (30 AU). Velká osa elipsy je totiž součet obou krajních vzdáleností od ohniska.

Z kruhové rychlosti dostaneme i třetí Keplerův zákon s konstantou: dosazením `v_k = \sqrt{G M / r}` do `T = 2\pi r / v_k` vyjde `\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{G \cdot M}`. Podíl je pro všechna tělesa kolem téhož centrálního tělesa stejný, a závisí jen na jeho hmotnosti. Tak se ostatně určuje hmotnost Slunce a planet: z doby oběhu a vzdálenosti jejich družic.

Přehled vzorců

Konstanty: `G = 6{,}674 \cdot 10^{-11}\ \mathrm{N \cdot m^2 \cdot kg^{-2}}`, `M_Z = 5{,}972 \cdot 10^{24}\ \mathrm{kg}`, `R_Z = 6\,371\ \mathrm{km}`, `G \cdot M_Z \doteq 3{,}986 \cdot 10^{14}\ \mathrm{m^3 \cdot s^{-2}}`.

Časté chyby

• Výška místo vzdálenosti od středu. Do vzorců patří r = R + h. Kdo dosadí jen výšku 400 km, dostane pro ISS gravitační zrychlení asi 2 500 m/s², což je zjevný nesmysl.
• Kilometry ve vzorci s G. Gravitační konstanta je v metrech, takže r se dosazuje v metrech. Jen v poměru `\left(\frac{R}{R + h}\right)^2` je jedno, v jakých jednotkách, když jsou nahoře i dole stejné.
• „Ve vesmíru gravitace není.“ Na ISS je 89 % pozemské gravitace. Astronauti létají, protože volně padají spolu se stanicí, ne proto, že by na ně Země nepůsobila.
• Vyšší dráha, vyšší rychlost. Je to naopak: čím dál od Země, tím menší kruhová rychlost a delší oběh. Na start do vyšší dráhy je ale potřeba víc energie.
• Těžší družice musí letět rychleji. Hmotnost družice se ve vzorcích pro kruhovou i únikovou rychlost vykrátí, na ní nezáleží.
• T² = a³ v metrech a sekundách. Takto jednoduchý tvar platí jen v letech a astronomických jednotkách, a jen pro tělesa obíhající kolem Slunce.

Příklady k procvičení

`\begin{gathered}r = 6\,371 + 20\,200 = 26\,571\ \mathrm{km} \\[10pt] v_k = \sqrt{\dfrac{3{,}986 \cdot 10^{14}}{2{,}6571 \cdot 10^{7}}} \doteq 3\,873\ \mathrm{m/s} \\[10pt] T = \dfrac{2\pi \cdot 2{,}6571 \cdot 10^{7}}{3\,873} \doteq 43\,100\ \mathrm{s}\end{gathered}`

`\begin{gathered}v_1 = \sqrt{\dfrac{6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot 6{,}417 \cdot 10^{23}}{3{,}39 \cdot 10^{6}}} \\[10pt] v_1 \doteq 3\,554\ \mathrm{m/s} \doteq 3{,}55\ \mathrm{km/s} \\[10pt] v_2 = \sqrt{2} \cdot v_1 \doteq 5{,}03\ \mathrm{km/s}\end{gathered}`

`\begin{gathered}T = 27{,}32 \cdot 86\,400 \doteq 2{,}360 \cdot 10^{6}\ \mathrm{s} \\[10pt] r = \sqrt[3]{\dfrac{G \cdot M_Z \cdot T^2}{4\pi^2}} \\[10pt] r = \sqrt[3]{\dfrac{3{,}986 \cdot 10^{14} \cdot (2{,}360 \cdot 10^{6})^2}{4\pi^2}} \\[10pt] r \doteq 3{,}83 \cdot 10^{8}\ \mathrm{m}\end{gathered}`

Kam dál

• Kalkulačky na gravitaci: Newtonův gravitační zákon, gravitační zrychlení ve výšce, první kosmická rychlost, úniková rychlost a třetí Keplerův zákon; všechny kalkulačky na dynamiku a gravitaci.
• Gravitační zákon, síla a zrychlení, dostředivá síla: Newtonovy zákony a třecí síla.
• Pohyb v homogenním poli, volný pád a vrhy, pohyb po kružnici: Rovnoměrně zrychlený pohyb, volný pád a vrhy.
• Planety, jejich pořadí a měsíce: Sluneční soustava a planety, s kvízem Sluneční soustava: planety, měsíce a trpasličí planety.
• Elipsa, ohniska a poloosy: Analytická geometrie - Elipsa.