Newtonovy zákony a třecí síla

Newtonovy zákony jsou tři pravidla, která říkají, jak síla mění pohyb tělesa. 1. Newtonův zákon (zákon setrvačnosti): když na těleso nepůsobí žádná síla nebo se síly navzájem vyruší, těleso zůstane v klidu, nebo se dál pohybuje rovnoměrně přímočaře. 2. Newtonův zákon (zákon síly): výsledná síla udělí tělesu zrychlení, tím větší, čím větší je síla a čím menší je hmotnost tělesa. 3. Newtonův zákon (zákon akce a reakce): když jedno těleso působí silou na druhé, působí druhé na první stejně velkou silou opačným směrem.

`F = m \cdot a \qquad a = \dfrac{F}{m}`

Newtonovy zákony se probírají v 7. třídě, ve které se počítá i třecí síla `F_t = f \cdot F_n`. Hybnost, srážky, dostředivá síla a gravitační zákon přijdou v 1. ročníku střední školy. Vlastní čísla dosadíte do kalkulaček síla z hmotnosti a zrychlení a třecí síla, které ukážou i postup, a příklady s okamžitou kontrolou najdete v procvičování třecí síla.

Síla a výslednice sil

Síla je vzájemné působení dvou těles. Má velikost, kterou měříme v newtonech (N), a směr, proto ji kreslíme šipkou. Na těleso obvykle působí sil několik a o tom, jak se bude pohybovat, rozhoduje jejich výslednice, jedna síla, která má stejný účinek jako všechny dohromady.

• Síly stejného směru se sečtou: 30 N a 40 N dají 70 N.
• Síly opačného směru se odečtou a výslednice míří ve směru větší síly: 40 N − 30 N = 10 N.
• Síly, které jsou na sebe kolmé, se skládají jako strany rovnoběžníku a výslednice je jeho úhlopříčka. Při pravém úhlu se spočítá Pythagorovou větou, kterou znáte z 8. třídy: `\sqrt{30^2 + 40^2} = 50\ \mathrm{N}`, ne 70 N.

Pro obecný úhel α mezi silami se na střední škole používá kosinová věta, `F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2 F_1 F_2 \cos\alpha}`. Kalkulačka výslednice dvou sil má právě tyhle dvě síly nastavené a vypíše i výslednici pro stejný a opačný směr. Když je výslednice nulová, síly jsou v rovnováze, a to je přesně situace, o které mluví první Newtonův zákon.

1. Newtonův zákon: zákon setrvačnosti

Těleso setrvává v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu, dokud není přinuceno působením síly tento stav změnit. Této vlastnosti se říká setrvačnost a má ji každé těleso. Čím větší má hmotnost, tím je setrvačnost větší a tím hůř se jeho pohyb mění.

Setrvačnost znáte z autobusu. Když se rozjede, zapotácíte se dozadu, protože vaše tělo zůstává v klidu. Když prudce zabrzdí, jedete dál dopředu, protože se vaše tělo dál pohybuje. Proto se v autě zapínají pásy. Ze stejného důvodu se dá rychlým škubnutím vytáhnout ubrus zpod talíře, nebo se kladívko narazí na násadu úderem násady o zem.

Důležité je, co zákon neříká: k pohybu stálou rychlostí žádná výsledná síla potřeba není. Auto jedoucí po dálnici stálou rychlostí 90 km/h má sice zapnutý motor, ale jeho tažná síla je stejně velká jako odpor vzduchu a tření dohromady, takže výslednice je nulová. Kdyby tření a odpor vzduchu nebyly, jelo by auto i s vypnutým motorem pořád dál.

2. Newtonův zákon: zákon síly

Výsledná síla mění rychlost tělesa: rozjíždí ho, brzdí nebo stáčí. Jak rychle se rychlost mění, udává zrychlení a, o kolik metrů za sekundu se rychlost změní za jednu sekundu. Jednotkou je metr za sekundu na druhou, m/s². Auto, které se z klidu rozjede na 72 km/h, tedy 20 m/s, za 8 sekund, má zrychlení `a = 20 : 8 = 2{,}5\ \mathrm{m/s^2}`: každou sekundu jede o 2,5 m/s rychleji.

Zákon síly říká, že zrychlení je přímo úměrné výsledné síle a nepřímo úměrné hmotnosti. Dvakrát větší síla dá dvakrát větší zrychlení, dvakrát těžší těleso se při stejné síle rozjíždí dvakrát pomaleji:

`F = m \cdot a \qquad a = \dfrac{F}{m} \qquad m = \dfrac{F}{a}`

Z toho je odvozený i newton: 1 N je síla, která tělesu o hmotnosti 1 kg udělí zrychlení 1 m/s².

Příklad 1: rozjíždějící se auto

Jak velká výsledná síla musí působit na auto o hmotnosti 1 200 kg, aby se rozjíždělo se zrychlením 2,5 m/s²?

`F = m \cdot a = 1\,200\ \mathrm{kg} \cdot 2{,}5\ \mathrm{m/s^2} = 3\,000\ \mathrm{N}`

Kontrola opačným směrem: 3 000 N : 1 200 kg = 2,5 m/s². Kalkulačka síla z hmotnosti a zrychlení má tenhle příklad nastavený a dopočítá i to, že za 10 sekund by rychlost vzrostla o 90 km/h. Opačné úlohy řeší kalkulačky zrychlení ze síly a hmotnost ze síly a zrychlení.

Zvláštním případem zákona síly je gravitační síla `F_g = m \cdot g`. Volně padající těleso zrychluje s tíhovým zrychlením g ≐ 9,81 m/s², ve škole se zaokrouhluje na 10 N/kg. Těleso o hmotnosti 1 kg je k Zemi přitahováno silou asi 10 N. Těžší těleso je přitahováno větší silou, ale má i větší setrvačnost, a proto bez odporu vzduchu padají kladivo i pírko stejně rychle. Gravitační síle se podrobně věnuje článek Hustota, tlak a vztlak a procvičování gravitační síla a hmotnost.

3. Newtonův zákon: zákon akce a reakce

Síly vždy vznikají ve dvojicích. Když jedno těleso působí na druhé silou (akce), působí druhé těleso na první stejně velkou silou opačného směru (reakce). Obě síly vznikají a zanikají současně.

Příklad 2: dva bruslaři

Petr o hmotnosti 60 kg a Jana o hmotnosti 40 kg stojí na ledě a odstrčí se od sebe. Jana tlačí na Petra silou 120 N. Jakou silou tlačí Petr na Janu a jaké zrychlení každý z nich dostane?

Podle zákona akce a reakce působí Petr na Janu také silou 120 N, jen opačným směrem. Síly jsou stejné, zrychlení ne:

`\begin{gathered} a_{\mathrm{Petr}} = \dfrac{120\ \mathrm{N}}{60\ \mathrm{kg}} = 2\ \mathrm{m/s^2} \\[10pt] a_{\mathrm{Jana}} = \dfrac{120\ \mathrm{N}}{40\ \mathrm{kg}} = 3\ \mathrm{m/s^2} \end{gathered}`

Lehčí Jana odjede rychleji. Stejně tak jablko o hmotnosti 0,2 kg přitahuje Zemi stejnou silou 2 N, jakou Země přitahuje jablko, ale zrychlení Země je tak nepatrné, že ho nikdo nepozná.

Akce a reakce se navzájem neruší, protože každá působí na jiné těleso. Proto může kůň rozjet vůz, i když vůz táhne koně zpátky stejně velkou silou: o pohybu koně rozhodují síly, které působí na koně, tedy i síla, kterou ho dopředu tlačí zem pod kopyty. Na zákonu akce a reakce stojí i pohon rakety, která vyhazuje plyny dozadu a plyny ji tlačí dopředu, plavání nebo veslování.

Třecí síla

Když po sobě dvě tělesa kloužou, vzniká mezi nimi třecí síla. Působí v místě dotyku, vždy proti směru pohybu, a vzniká proto, že ani hladké povrchy nejsou dokonale rovné a jejich nerovnosti se do sebe zachytávají. Velikost třecí síly při smýkání (smykové tření) se vypočítá ze vzorce

`F_t = f \cdot F_n`

`F_n` je přítlačná síla, kterou těleso tlačí kolmo na podložku. Na vodorovné podložce je stejně velká jako gravitační síla tělesa, `F_n = m \cdot g`. Číslo f je součinitel smykového tření, nemá jednotku a závisí na tom, z čeho jsou oba povrchy a jak jsou upravené. Třecí síla naopak nezávisí na tom, jak velkou plochou se tělesa dotýkají: cihla na boku i na plocho se posouvá stejně těžce.

Hodnoty jsou přibližné, skutečný součinitel záleží na tom, jak hladké, suché nebo čisté oba povrchy jsou.

Příklad 3: bedna na podlaze

Dřevěnou bednu o hmotnosti 40 kg posouváme po dřevěné podlaze. Součinitel smykového tření je 0,4. Jak velká třecí síla na bednu působí a jakou silou ji musíme táhnout, aby se posouvala stálou rychlostí? Počítejte s g = 10 N/kg.

`\begin{gathered} F_n = m \cdot g = 40 \cdot 10 = 400\ \mathrm{N} \\[10pt] F_t = f \cdot F_n = 0{,}4 \cdot 400 = 160\ \mathrm{N} \end{gathered}`

Při posouvání stálou rychlostí musí být výslednice nulová (první Newtonův zákon), takže tažná síla je stejně velká jako tření: 160 N. Kontrola: 160 N je 0,4 neboli 40 % ze 400 N. Kalkulačka třecí síly s těmito čísly počítá s g = 9,81 m/s², a proto vypíše 156,96 N, asi o 2 % méně.

Stejně se ve třídě měří součinitel tření: kvádr se táhne siloměrem stálou rychlostí, siloměr ukáže třecí sílu a ta se vydělí přítlačnou silou. Když siloměr ukazuje 1,5 N a kvádr tlačí na stůl silou 5 N, je f = 1,5 : 5 = 0,3.

Rozpohybovat těleso z klidu je těžší než ho udržet v pohybu, protože klidové tření bývá větší než smykové. A mnohem menší než smykové je valivé tření, proto se těžké věci vozí na kolech a v ložiskách jsou kuličky. Tření ale není jen škodlivé: bez něj bychom nemohli chodit, auto by se nerozjelo ani nezabrzdilo a uzel by se rozvázal.

Příklad 4: tažná síla a tření dohromady

Těleso o hmotnosti 50 kg táhneme po vodorovné podložce silou 400 N. Součinitel smykového tření je 0,3. S jakým zrychlením se těleso rozjíždí? Počítejte s g = 10 N/kg.

Do zákona síly patří výsledná síla, tedy tažná síla zmenšená o tření:

`\begin{gathered} F_t = 0{,}3 \cdot 50 \cdot 10 = 150\ \mathrm{N} \\[10pt] F = 400 - 150 = 250\ \mathrm{N} \\[10pt] a = \dfrac{250}{50} = 5\ \mathrm{m/s^2} \end{gathered}`

Kdo by do vzorce dosadil celých 400 N, dostal by 8 m/s², jako by tření nebylo. Kalkulačka zrychlení s třením má tento příklad nastavený, s g = 9,81 m/s² vypíše tření 147,15 N a zrychlení 5,057 m/s².

Hybnost a impuls síly

Na střední škole se zákon síly zapisuje i pomocí hybnosti. Hybnost je hmotnost krát rychlost, `p = m \cdot v`, a jednotkou je kg · m/s. Auto o hmotnosti 1 200 kg jedoucí rychlostí 54 km/h = 15 m/s má hybnost 1 200 · 15 = 18 000 kg · m/s. Kalkulačka hybnost bere rychlost v km/h a převede ji sama.

Síla, která působí po dobu t, změní hybnost tělesa o impuls síly:

`I = F \cdot t = \Delta p = m \cdot \Delta v`

Stejnou změnu hybnosti tedy způsobí velká síla působící krátce i malá síla působící dlouho. Na tom stojí airbag. Cestující o hmotnosti 70 kg, který se při nárazu zastaví z 15 m/s, ztratí hybnost 70 · 15 = 1 050 kg · m/s. Kdyby se zastavil o volant za 0,05 s, působila by na něj síla 1 050 : 0,05 = 21 000 N. Airbag prodlouží zastavování na 0,25 s a síla klesne pětkrát, na 4 200 N. Z impulsu síly počítá změnu rychlosti kalkulačka impuls síly.

Když na soustavu těles nepůsobí žádné vnější síly, platí zákon zachování hybnosti: celková hybnost před srážkou se rovná celkové hybnosti po srážce. Je to přímý důsledek zákona akce a reakce, protože síly, kterými na sebe tělesa při srážce působí, jsou stejně velké a opačné.

Příklad 5: nepružná srážka

Auto o hmotnosti 1 200 kg jedoucí rychlostí 15 m/s narazí do stojícího auta o hmotnosti 900 kg a dál se pohybují spolu. Jakou rychlostí?

`\begin{gathered} m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) \cdot u \\[10pt] 1\,200 \cdot 15 + 900 \cdot 0 = 2\,100 \cdot u \\[10pt] u = \dfrac{18\,000}{2\,100} \doteq 8{,}57\ \mathrm{m/s} \end{gathered}`

Kontrola: společná rychlost musí být menší než 15 m/s, protože se stejná hybnost rozdělí na větší hmotnost. Hybnost se zachovala, pohybová energie ne: ze 135 kJ zbude asi 77 kJ, zbytek se spotřeboval na deformaci plechu. Kalkulačka nepružná srážka má tento příklad nastavený, pro tělesa, která se od sebe odrazí, je kalkulačka pružná srážka.

Dostředivá síla

I těleso, které se pohybuje stále stejně rychle po kružnici, mění směr rychlosti, a podle prvního Newtonova zákona na ně proto musí působit síla. Míří do středu kružnice a říká se jí dostředivá síla:

`a_d = \dfrac{v^2}{r} \qquad F_d = \dfrac{m \cdot v^2}{r}`

Auto o hmotnosti 1 200 kg, které projíždí zatáčku o poloměru 50 m rychlostí 72 km/h = 20 m/s, má dostředivé zrychlení 20² : 50 = 8 m/s² a potřebuje dostředivou sílu 1 200 · 8 = 9 600 N (kalkulačka dostředivá síla, tenhle příklad má nastavený). Rychlost je ve vzorci na druhou, takže dvojnásobná rychlost znamená čtyřnásobnou sílu.

V zatáčce tuhle sílu dodává tření pneumatik o silnici. Auto nedostane smyk, dokud `\dfrac{m v^2}{r} \le f \cdot m \cdot g`. Hmotnost se zkrátí, a největší rychlost v zatáčce je proto `v = \sqrt{f \cdot g \cdot r}`, stejná pro plné i prázdné auto. Pro zatáčku o poloměru 80 m na suchu (f = 0,7) vyjde asi 84 km/h, na mokru (f = 0,4) jen asi 64 km/h. Spočítá to kalkulačka maximální rychlost v zatáčce.

Odstředivá síla, kterou cítíte v zatáčce, není síla, kterou by na vás něco tlačilo ven. Je to vaše setrvačnost: tělo by chtělo jet rovně a auto ho do zatáčky stáčí.

Newtonův gravitační zákon

Newton objevil také gravitační zákon. Každá dvě tělesa se přitahují silou, která roste s jejich hmotnostmi a klesá s druhou mocninou vzdálenosti jejich středů:

`F_g = G \cdot \dfrac{m_1 \cdot m_2}{r^2}`

Gravitační konstanta `G \doteq 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \mathrm{N \cdot m^2/kg^2}` je tak malá, že dvě tělesa o hmotnosti 100 kg vzdálená 1 m se přitahují silou jen asi `6{,}7 \cdot 10^{-7}\ \mathrm{N}`. Znatelná je gravitace až u obrovských hmotností. Po dosazení hmotnosti a poloměru Země vyjde na povrchu zrychlení asi 9,8 m/s², tedy známé g. Kalkulačka Newtonův gravitační zákon má právě ta dvě tělesa nastavená. Jaké g vyjde na povrchu Země a jak klesá s výškou, ukáže kalkulačka gravitační zrychlení ve výšce.

Přehled vzorců

Časté chyby

• Pohyb, který potřebuje sílu. Těleso pohybující se stálou rychlostí po přímce nepotřebuje žádnou výslednou sílu. Síla je potřeba ke změně rychlosti, ne k pohybu samotnému.
• Akce a reakce, které se vyruší. Nevyruší, každá působí na jiné těleso. Vyrušit se mohou jen síly, které působí na stejné těleso.
• Tažná síla místo výsledné. Do F = m · a patří výslednice všech sil. Kdo táhne 400 N proti tření 150 N, zrychluje těleso silou 250 N.
• Přítlačná síla vždy rovná tíze. Jen na vodorovné podložce, když na těleso nic dalšího netlačí. Na nakloněné rovině je menší, a když někdo bednu shora zatíží, je větší.
• Kilogramy místo newtonů. Tření bedny o hmotnosti 40 kg při f = 0,4 není 0,4 · 40 = 16 N, ale 0,4 · 400 = 160 N. Nejdřív se spočítá přítlačná síla v newtonech.
• Kolmé síly sečtené. 30 N a 40 N, které jsou na sebe kolmé, dají 50 N, ne 70 N.
• Kilometry za hodinu v hybnosti a dostředivé síle. Rychlost se do vzorců dosazuje v m/s, 72 km/h jsou 20 m/s.

Příklady k procvičení

Počítejte s g = 10 N/kg.

Kam dál

• Procvičování třecí síly a gravitační síly a hmotnosti s kontrolou každé odpovědi.
• Kalkulačky síla z hmotnosti a zrychlení, výslednice dvou sil, třecí síla, zrychlení s třením a hybnost, všechny v sadě Newtonovy zákony, hybnost a gravitace. Je v ní i první kosmická rychlost, úniková rychlost a třetí Keplerův zákon.
• Gravitační síla, tlak a vztlak: Hustota, tlak a vztlak. Rychlost a dráha: Rychlost, dráha a čas. Otáčivé účinky síly: Páka a kladka. Práce a energie: Práce, výkon a energie.