Práce, výkon a energie

Práce se vypočítá jako síla krát dráha, po které síla těleso posune: W = F · s. Kdo tlačí vozík silou 250 N po dráze 12 m, vykoná práci 250 · 12 = 3 000 J. Výkon říká, jak rychle se práce koná: je to práce dělená časem, P = W : t. Když tlačení vozíku trvá 15 sekund, je výkon 3 000 : 15 = 200 W. Energie je schopnost tělesa konat práci a měří se ve stejných jednotkách jako práce, v joulech.

`W = F \cdot s \qquad P = \dfrac{W}{t}`

Práce, výkon a energie se probírají v 8. třídě. Vlastní čísla dosadíte do kalkulaček výpočet práce a výpočet výkonu, které mají příklad s vozíkem rovnou nastavený, a další jsou v sadě práce, výkon a energie. Příklady s okamžitou kontrolou najdete v procvičování práce a výkonu. Níže je, kdy se práce koná a kdy ne, výkon a jeho jednotky, kilowatthodina, polohová a pohybová energie, zákon zachování energie, účinnost, řešené příklady, časté chyby a příklady k procvičení.

Mechanická práce a vzorec W = F · s

Práce se značí W, síla F a dráha s. Jednotkou práce je joule (čti džaul), značka J. Jeden joule vykoná síla 1 N, která těleso posune o 1 m:

`1\ \mathrm{J} = 1\ \mathrm{N} \cdot 1\ \mathrm{m}`

Joule je malá jednotka, zhruba tolik, kolik je potřeba na zvednutí jablka o metr. Proto se často počítá v kilojoulech a megajoulech: 1 kJ = 1 000 J, 1 MJ = 1 000 000 J.

Kdy se práce koná a kdy ne

Ve fyzice se práce koná, jen když síla těleso posune, a to ve směru, ve kterém působí. Jinak se práce nekoná, i když je to namáhavé:

• Držíte těžkou tašku na místě. Síla působí, ale dráha je nulová, takže W = F · 0 = 0 J.
• Tlačíte do zdi, která se nepohne. Opět žádná dráha, žádná práce.
• Nesete tašku po rovné chodbě. Ruka tašku drží silou nahoru, ale taška se pohybuje vodorovně, kolmo na tu sílu. Síla, kterou tašku držíte, proto práci nekoná.

Únava ze stání s taškou je skutečná, svaly při tom pracují. Fyzikální práce W = F · s to ale není, protože se taška nikam neposunula.

Práce při zvedání

Kdo zvedá těleso rovnoměrně nahoru, musí působit silou stejně velkou jako gravitační síla `F_g = m \cdot g`, kde ve škole bereme `g \doteq 10\ \mathrm{N/kg}`. Dráha je výška h, takže

`W = F_g \cdot h = m \cdot g \cdot h`

Gravitační síla je podrobně vysvětlená v článku Hustota, tlak a vztlak.

Příklad 1: tlačení vozíku

Vozík tlačíme vodorovně silou 250 N po dráze 12 m. Jakou práci vykonáme?

`W = F \cdot s = 250\ \mathrm{N} \cdot 12\ \mathrm{m} = 3\,000\ \mathrm{J} = 3\ \mathrm{kJ}`

Tenhle příklad má kalkulačka výpočet práce nastavený jako výchozí, takže ukáže i postup a stejnou práci v kilowatthodinách. Opačnou úlohu, sílu z práce a dráhy, počítá síla z práce: F = W : s = 3 000 : 12 = 250 N.

Příklad 2: batoh do třetího patra

Batoh o hmotnosti 8 kg vynesete do třetího patra, 9 m nad zem. Jakou práci vykonáte na batohu?

Gravitační síla batohu je 8 · 10 = 80 N. Práce je

`W = m \cdot g \cdot h = 8 \cdot 10 \cdot 9 = 720\ \mathrm{J}`

Práce na vlastním těle, které nesete do schodů také, se počítá stejně: žák o hmotnosti 50 kg vykoná na cestě do třetího patra dalších 50 · 10 · 9 = 4 500 J.

Výkon a vzorec P = W : t

Stejnou práci jde vykonat rychle, nebo pomalu. Batoh do třetího patra je vždycky 720 J, ať ho nesete minutu, nebo vyběhnete za 12 sekund. Liší se výkon, tedy práce vykonaná za jednu sekundu:

`P = \dfrac{W}{t} \qquad W = P \cdot t \qquad t = \dfrac{W}{P}`

Výkon se značí P a jeho jednotkou je watt, značka W. Jeden watt je jeden joule za sekundu, 1 W = 1 J/s. Pozor, že písmeno W je zároveň značka veličiny práce a značka jednotky výkonu: W = 720 J je práce, P = 60 W je výkon. Větší jednotky jsou kilowatt (1 kW = 1 000 W) a megawatt (1 MW = 1 000 000 W). U aut se dodnes uvádí i koňská síla, 1 k ≐ 735,5 W.

Batoh z příkladu 2 vynesený za 12 s znamená výkon 720 : 12 = 60 W, za minutu jen 720 : 60 = 12 W. Práce je v obou případech stejná.

Člověk vydrží dlouho pracovat s výkonem kolem 100 W. Sportovec ve sprintu zvládne na pár sekund i přes 1 000 W, ale jen na chvíli.

Příklad 3: výtah

Výtah vyveze kabinu s lidmi o celkové hmotnosti 600 kg do výšky 24 m za 30 s. Jaký výkon musí mít jeho motor, když zanedbáme ztráty?

`\begin{aligned} W &= m \cdot g \cdot h = 600 \cdot 10 \cdot 24 = 144\,000\ \mathrm{J} \\ P &= \dfrac{W}{t} = \dfrac{144\,000\ \mathrm{J}}{30\ \mathrm{s}} = 4\,800\ \mathrm{W} = 4{,}8\ \mathrm{kW} \end{aligned}`

Kontrola: 4,8 kW je výkon menšího elektromotoru, výtahy v domech mívají motory o výkonu několika kilowattů. Kdyby vyšlo 4 800 kW, bylo by to na lokomotivu, ne na výtah, a v postupu by byla chyba.

Opačné úlohy řeší kalkulačky práce z výkonu a čas z výkonu.

Výkon ze síly a rychlosti

Když stroj táhne silou F a pohybuje se přitom stálou rychlostí v, dá se výkon spočítat i bez času: `P = F \cdot v`. Je to jen jinak zapsané P = W : t: práce je F · s, a když se dráha s vydělí časem t, vyjde rychlost v. Auto, které při 90 km/h překonává odpor vzduchu a valení silou 600 N, potřebuje výkon 600 · 25 = 15 000 W = 15 kW, protože 90 km/h je 25 m/s. Rychlost musí být v m/s, převod je v článku Rychlost, dráha a čas. Spočítá to i výkon ze síly a rychlosti, rovnou z km/h.

Práce z výkonu a kilowatthodina

Ze vzorce P = W : t plyne W = P · t: spotřebič s výkonem P zapnutý po dobu t vykoná práci, tedy spotřebuje energii, P · t. Za elektřinu se platí v kilowatthodinách. Kilowatthodina je práce, kterou vykoná výkon 1 kW za 1 hodinu:

`\begin{aligned} 1\ \mathrm{kWh} &= 1\,000\ \mathrm{W} \cdot 3\,600\ \mathrm{s} \\ &= 3\,600\,000\ \mathrm{J} = 3{,}6\ \mathrm{MJ} \end{aligned}`

Kilowatthodina je tedy jednotka práce a energie, ne výkonu. Kilowatt říká, jak „silný“ spotřebič je, kilowatthodina, kolik energie spotřeboval.

Příklad 4: přímotop

Přímotop s výkonem 2 kW topí půl hodiny. Kolik energie spotřebuje a kolik to stojí při ceně 6 Kč za kWh?

`W = P \cdot t = 2\ \mathrm{kW} \cdot 0{,}5\ \mathrm{h} = 1\ \mathrm{kWh}`

Topení stojí 1 · 6 = 6 Kč. V joulech je to 2 000 W · 1 800 s = 3 600 000 J, tedy znovu 1 kWh. Kalkulačka elektrická práce to spočítá s dobou v hodinách, práce z výkonu s dobou v sekundách. Elektrický výkon z napětí a proudu, P = U · I, vysvětluje článek Ohmův zákon a elektrický obvod.

Polohová a pohybová energie

Těleso má energii, když může konat práci. Zvednuté závaží může při pádu něco rozbít nebo roztočit, jedoucí auto může při nárazu zdeformovat překážku. Energie se značí E a měří se v joulech jako práce. V 8. třídě se počítají dva druhy mechanické energie.

Polohová energie

Polohovou (také potenciální nebo tíhovou) energii má těleso zvednuté nad zvolenou úroveň. Je rovná práci, kterou bylo potřeba na jeho zvednutí vykonat:

`E_p = m \cdot g \cdot h`

Batoh z příkladu 2 má ve třetím patře o 720 J víc polohové energie než na zemi, protože právě tolik práce se na něm vykonalo. Výška se měří od úrovně, kterou si zvolíme, obvykle od podlahy nebo od země. Člověk o hmotnosti 60 kg na rozhledně 8 m vysoko má vůči zemi polohovou energii 60 · 10 · 8 = 4 800 J. Kalkulačka polohová energie má tenhle příklad nastavený a vypíše 4 708,8 J, protože počítá s přesnějším g = 9,81 N/kg.

Pohybová energie

Pohybovou (kinetickou) energii má každé těleso, které se pohybuje. Závisí na hmotnosti a na druhé mocnině rychlosti:

`E_k = \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v^2`

Rychlost se dosazuje v m/s, hmotnost v kg, a energie pak vyjde v joulech. Některé učebnice pro 8. třídu tenhle vzorec neuvádějí a pohybovou energii jen porovnávají: víc ji má těleso těžší a rychlejší. Kdo vzorec zná, uvidí ale hned, proč na rychlosti záleží víc než na hmotnosti.

Příklad 5: auto ve 36 a v 72 km/h

Auto o hmotnosti 1 000 kg jede rychlostí 72 km/h. Jakou má pohybovou energii a kolik by měl při poloviční rychlosti?

72 km/h = 72 : 3,6 = 20 m/s a 36 km/h = 10 m/s.

`\begin{aligned} E_k &= \tfrac{1}{2} \cdot 1\,000 \cdot 20^2 = 500 \cdot 400 \\ &= 200\,000\ \mathrm{J} = 200\ \mathrm{kJ} \\[8pt] E_k &= \tfrac{1}{2} \cdot 1\,000 \cdot 10^2 = 500 \cdot 100 \\ &= 50\,000\ \mathrm{J} = 50\ \mathrm{kJ} \end{aligned}`

Dvojnásobná rychlost dává čtyřnásobnou energii: 200 kJ je čtyřikrát 50 kJ. Tolik energie musí brzdy při zastavení přeměnit na teplo, a proto se brzdná dráha s rychlostí prodlužuje tak prudce. Pohybová energie s těmito čísly vyjde v kalkulačce přesně 200 kJ, g se v tomhle vzorci nevyskytuje.

Přeměna energie a zákon zachování

Energie nevzniká z ničeho a nezaniká, jen se mění z jedné formy na jinou. Padající míč ztrácí výšku, a tedy polohovou energii, a stejně tolik získává pohybové energie. Pokud zanedbáme odpor vzduchu, je jejich součet po celou dobu pádu stejný. To je zákon zachování mechanické energie.

Příklad 6: jakou rychlostí dopadne míč

Míč o hmotnosti 2 kg pustíme z výšky 20 m. Jakou rychlostí dopadne na zem?

Nahoře má polohovou energii 2 · 10 · 20 = 400 J a pohybovou nulovou. Dole je to naopak, takže celých 400 J je pohybová energie:

`\begin{aligned} \tfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot v^2 &= 400 \\ v^2 &= 400 \\ v &= 20\ \mathrm{m/s} = 72\ \mathrm{km/h} \end{aligned}`

Kontrola: ½ · 2 · 20² = 400 J, sedí to. Zajímavé je, že na hmotnosti nezáleží: m je ve vzorci pro obě energie, takže se vykrátí, a z 20 m dopadne stejně rychle kámen jako míč, pokud je nebrzdí vzduch. Kalkulačka přeměna energie má tenhle příklad nastavený a vypíše 71,31 km/h, opět kvůli g = 9,81.

Ve skutečnosti odpor vzduchu a tření vždycky část energie přemění na teplo. Ta energie nezmizí, jen ji už nevyužijeme.

Účinnost

Žádný stroj nepřemění všechnu dodanou energii na užitečnou práci, část se vždycky ztratí, nejčastěji jako teplo. Účinnost říká, kolik procent dodané energie se využije. Značí se řeckým písmenem η (éta):

`\eta = \dfrac{W}{W_0} \cdot 100\ \%`

W je užitečná práce a W₀ energie dodaná stroji. Stejně se dá účinnost spočítat z výkonu: P je užitečný výkon a P₀ příkon, tedy výkon, který stroj odebírá, třeba ze zásuvky. Na štítku spotřebiče je uvedený příkon. Účinnost je vždy menší než 100 %.

Příklad 7: jeřáb

Motor jeřábu odebere ze sítě 50 kJ a zvedne přitom náklad o hmotnosti 300 kg do výšky 12 m. Jaká je účinnost jeřábu?

`\begin{aligned} W &= m \cdot g \cdot h = 300 \cdot 10 \cdot 12 = 36\,000\ \mathrm{J} \\ \eta &= \dfrac{36\,000}{50\,000} \cdot 100\ \% = 72\ \% \end{aligned}`

Zbylých 14 kJ se ztratilo, hlavně jako teplo v motoru a v převodech. Kalkulačka výpočet účinnosti s těmito čísly vypíše 72 % i ztrátu.

Přehled vzorců

Časté chyby

• Minuty místo sekund. Výkon ve wattech vyjde jen z joulů a sekund. 360 kJ za 2 minuty není 180 kW, ale 360 000 J : 120 s = 3 000 W = 3 kW.
• Hmotnost místo síly. Práce při zvedání je m · g · h, ne m · h. Kdo do W = F · s dosadí kilogramy, dostane desetkrát menší výsledek.
• Kilowatt a kilowatthodina. kW je výkon, kWh je práce a energie. „Konvice spotřebuje 2 kW“ je špatně, správně „má výkon 2 kW“ nebo „spotřebuje 0,1 kWh“.
• Rychlost v km/h v pohybové energii. Do ½ · m · v² patří m/s. Z 72 km/h je nejdřív 20 m/s.
• Zapomenutá druhá mocnina nebo polovina. ½ · 1 000 · 20² je 200 000 J, ne 10 000 J ani 400 000 J.
• Práce bez posunutí. Držení břemene na místě nebo síla kolmá na pohyb práci nekoná.
• Účinnost přes 100 %. Znamená prohozenou užitečnou a dodanou energii. Užitečná je vždycky ta menší.

Příklady k procvičení

Počítejte s g = 10 N/kg.

Kam dál

• Procvičování práce a výkonu s kontrolou každé odpovědi.
• Kalkulačky práce, výkon a energie: práce, síla z práce, výkon, čas, polohová a pohybová energie, přeměna energie a účinnost.
• Elektrická práce v kWh pro spotřebiče.
• Gravitační síla a tlak: Hustota, tlak a vztlak. Rychlost a převod km/h na m/s: Rychlost, dráha a čas. Elektrický výkon: Ohmův zákon a elektrický obvod.