Hustota, tlak a vztlak

Hustota říká, jakou hmotnost má jeden metr krychlový látky. Vypočítá se jako hmotnost dělená objemem, ρ = m / V, a měří se v kg/m³ nebo v g/cm³. Tlak je síla, která připadá na jeden metr čtvereční plochy, p = F / S, a jeho jednotkou je pascal. Vztlaková síla nadlehčuje každé těleso ponořené v kapalině a podle Archimédova zákona se rovná tíze kapaliny, kterou těleso vytlačilo:

`\begin{gathered} \rho = \dfrac{m}{V} \qquad p = \dfrac{F}{S} \\[10pt] F_{vz} = V \cdot \rho_k \cdot g \end{gathered}`

Ve škole se počítá s konstantou g = 10 N/kg, takže každý kilogram táhne k zemi silou 10 newtonů. Hustota se probírá v 6. třídě, tlak, hydrostatický tlak a vztlak v 7. třídě. Všechny vzorce si s okamžitou kontrolou vyzkoušíte v procvičování hustoty, tlaku a Archimédova zákona, a vlastní čísla spočítáte v kalkulačkách na hustotu, tlak a sílu.

Níže je hustota s tabulkou látek, gravitační síla, tlak a jeho jednotky, hydrostatický tlak, hydraulický lis, Archimédův zákon, kdy těleso plave, časté chyby a příklady s řešením.

Hustota: kolik váží metr krychlový

Kostka ze dřeva a stejně velká kostka ze železa mají stejný objem, ale železná je mnohem těžší. Liší se hustotou. Hustota je hmotnost jednoho metru krychlového látky, a proto se počítá tak, že se hmotnost tělesa vydělí jeho objemem. Značí se řeckým písmenem ρ (čte se „ró“).

Ze vzorce ρ = m / V se dají vyjádřit i další dva, podle toho, co v příkladu chybí:

`\begin{gathered} \rho = \dfrac{m}{V} \qquad m = \rho \cdot V \qquad V = \dfrac{m}{\rho} \end{gathered}`

Kdo si pamatuje, co hustota znamená, vzorec ani nepotřebuje. Hustota vody je 1 000 kg/m³, takže metr krychlový vody váží 1 000 kg, litr 1 kg a 160 litrů 160 kg.

Jednotky hustoty: kg/m³ a g/cm³

Hlavní jednotkou je kilogram na metr krychlový, kg/m³. U malých těles se hodí gram na centimetr krychlový, g/cm³, protože hmotnost se váží v gramech a objem odměřuje v cm³. Mezi nimi je vždy tisíc:

`1\ \mathrm{g/cm^3} = 1\,000\ \mathrm{kg/m^3}`

Proč zrovna tisíc? Metr krychlový má 1 000 000 cm³. Kdyby v každém byl 1 gram, bylo by to 1 000 000 g, a to je 1 000 kg. Voda má tedy 1 g/cm³ neboli 1 000 kg/m³, hliník 2,7 g/cm³ neboli 2 700 kg/m³. Převody objemu si můžete ověřit v převodu jednotek objemu: 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 000 cm³ a 1 dm³ je 1 litr.

Tabulka hustot látek

Hustoty běžných látek při pokojové teplotě, jak s nimi počítají kalkulačky na tomto webu. V různých tabulkách se čísla trochu liší (olej má podle druhu 900 až 930 kg/m³, rtuť se často zaokrouhluje na 13 600), v příkladu proto vždy použijte hodnotu ze zadání.

Příklad 1: z jaké látky je těleso?

Kovový váleček má hmotnost 540 g. Ponoříme ho do odměrného válce s vodou a hladina stoupne o 200 cm³, takže to je jeho objem. Z čeho je váleček?

`\begin{aligned} \rho &= \dfrac{m}{V} = \dfrac{540\ \mathrm{g}}{200\ \mathrm{cm^3}} \\[8pt] &= 2{,}7\ \mathrm{g/cm^3} = 2\,700\ \mathrm{kg/m^3} \end{aligned}`

V tabulce má hustotu 2 700 kg/m³ hliník. Kontrola: 200 cm³ hliníku by mělo vážit 200 · 2,7 = 540 g, a to sedí. Stejný výpočet i s porovnáním s tabulkou udělá kalkulačka výpočtu hustoty.

Příklad 2: kolik váží voda v akváriu

Akvárium má dno 80 cm × 40 cm a voda v něm sahá do výšky 50 cm. Kolik ta voda váží?

Objem je 80 · 40 · 50 = 160 000 cm³, to je 160 dm³ neboli 0,16 m³. Hmotnost je hustota krát objem:

`m = \rho \cdot V = 1\,000\ \mathrm{kg/m^3} \cdot 0{,}16\ \mathrm{m^3} = 160\ \mathrm{kg}`

Kontrola zpaměti: litr vody je kilogram a 160 litrů je 160 kg. Proto se velké akvárium nestaví na obyčejnou poličku. Jiné látky než vodu dosadíte v kalkulačce hmotnost z hustoty a objemu.

Příklad 3: jak velký je kilogram zlata

Zlato má hustotu 19 320 kg/m³. Jaký objem má zlatá cihlička o hmotnosti 1 kg?

`\begin{aligned} V &= \dfrac{m}{\rho} = \dfrac{1\ \mathrm{kg}}{19\,320\ \mathrm{kg/m^3}} \\[8pt] &\doteq 0{,}000\,052\ \mathrm{m^3} \doteq 52\ \mathrm{cm^3} \end{aligned}`

Kilogram zlata se vejde do krychličky o hraně necelé 4 cm. Tak malé číslo v m³ se snadno přepíše špatně, a proto je u malých těles pohodlnější počítat v g a cm³: 1 000 g / 19,32 g/cm³ ≐ 52 cm³. Výsledek vrací i kalkulačka objem z hustoty a hmotnosti.

Gravitační síla: F = m · g

Země přitahuje každé těleso gravitační silou. Pro výpočty tlaku a vztlaku je potřeba ji umět spočítat z hmotnosti:

`F_g = m \cdot g \qquad g \doteq 10\ \mathrm{N/kg}`

Batoh o hmotnosti 6 kg tedy táhne k zemi silou 6 · 10 = 60 N a jablko o hmotnosti 150 g, tedy 0,15 kg, silou 1,5 N. Hmotnost se udává v kilogramech, síla v newtonech, a nejsou to totéž: na Měsíci by měl batoh pořád 6 kg, ale táhl by jen asi 10 N.

Přesnější hodnota je g = 9,81 N/kg a s ní počítají i kalkulačky na tomto webu. Kde je ve vzorci g, vyjde jim proto asi o 2 % méně než ve školním příkladu: gravitační síla pro 6 kg je 58,86 N místo 60 N. Kalkulačka ukazuje i řádek se školním g = 10. Procvičit to můžete v příkladech na gravitační sílu.

Tlak: p = F / S

Tlak říká, jak velká síla působí na jeden metr čtvereční plochy. Stejná síla rozložená na velkou plochu vyvolá malý tlak, soustředěná na malou plochu velký:

`p = \dfrac{F}{S} \qquad 1\ \mathrm{Pa} = 1\ \mathrm{N/m^2}`

Ostrý nůž krájí lépe než tupý, protože ostří má nepatrnou plochu a tlak pod ním je obrovský. Pásový traktor naopak rozloží svou tíhu na velkou plochu pásů a v rozbláceném poli se nezaboří.

Jednotky tlaku: Pa, kPa, hPa, MPa

Pascal je malá jednotka, list papíru položený na stole tlačí asi 1 Pa. Proto se používají násobky:

Tlak vzduchu u hladiny moře je asi 101 kPa, v předpovědi počasí 1 013 hPa.

Příklad 4: proč se v botách boříme a na lyžích ne

Chlapec o hmotnosti 60 kg stojí na sněhu. Podrážky jeho bot mají dohromady 300 cm², jeho lyže jsou dlouhé 150 cm a široké 10 cm. Jaký tlak působí na sníh v botách a jaký na lyžích?

Chlapec tlačí na sníh svou gravitační silou F = 60 · 10 = 600 N. Plochu je nutné převést na m², a protože 1 m² = 10 000 cm², dělí se deseti tisíci: 300 cm² = 0,03 m².

`p = \dfrac{600\ \mathrm{N}}{0{,}03\ \mathrm{m^2}} = 20\,000\ \mathrm{Pa} = 20\ \mathrm{kPa}`

Dvě lyže mají plochu 2 · 150 · 10 = 3 000 cm² = 0,3 m²:

`p = \dfrac{600\ \mathrm{N}}{0{,}3\ \mathrm{m^2}} = 2\,000\ \mathrm{Pa} = 2\ \mathrm{kPa}`

Plocha je desetkrát větší, a tak je tlak desetkrát menší. Síla se přitom nezměnila. Výpočet pro boty ověříte v kalkulačce výpočet tlaku ze síly a plochy. Když chybí síla nebo plocha, poslouží síla z tlaku a plocha z tlaku, a příklady s převody jednotek jsou v procvičování tlaku.

Hydrostatický tlak: p = h · ρ · g

Kapalina tlačí na dno i na stěny nádoby a na všechno, co je v ní ponořené. Tomuto tlaku se říká hydrostatický a roste s hloubkou, protože čím hlouběji, tím víc kapaliny je nad námi:

`p_h = h \cdot \rho \cdot g`

Tady h je hloubka pod hladinou v metrech, ρ hustota kapaliny a g = 10 N/kg. Ve vodě vychází na každý metr hloubky 1 · 1 000 · 10 = 10 000 Pa, tedy 10 kPa na metr. Hydrostatický tlak nezávisí na tvaru nádoby ani na tom, kolik kapaliny v ní je, jen na hloubce a na druhu kapaliny. V úzké trubici je v hloubce 1 m stejný tlak jako v jezeře.

Příklad 5: potápěč a sklenice

a) Jaký hydrostatický tlak působí na potápěče v hloubce 15 m?

`\begin{aligned} p_h &= 15\ \mathrm{m} \cdot 1\,000\ \mathrm{kg/m^3} \cdot 10\ \mathrm{N/kg} \\ &= 150\,000\ \mathrm{Pa} = 150\ \mathrm{kPa} \end{aligned}`

Kontrola: 15 metrů po 10 kPa je 150 kPa. K tomu na potápěče tlačí ještě vzduch nad hladinou, asi 100 kPa, takže celkem je to zhruba 250 kPa.

b) Jaký hydrostatický tlak působí na dno sklenice, ve které je voda do výšky 12 cm? Hloubka se musí dosadit v metrech, 12 cm = 0,12 m:

`p_h = 0{,}12 \cdot 1\,000 \cdot 10 = 1\,200\ \mathrm{Pa}`

Kalkulačka hydrostatický tlak v hloubce dá pro 15 m vody 147,15 kPa, protože počítá s g = 9,81. Opačnou úlohu řeší hloubka z tlaku a další příklady s vodou, olejem i rtutí najdete v příkladech na hydrostatický tlak.

Pascalův zákon a hydraulický lis

Pascalův zákon říká, že tlak, kterým působíme na kapalinu v uzavřené nádobě zvenku, se v ní šíří všemi směry stejně. Na tom stojí hydraulický lis, zvedák v autoservisu i brzdy auta. Dva písty různé velikosti jsou spojené kapalinou a pod oběma je stejný tlak:

`\dfrac{F_1}{S_1} = \dfrac{F_2}{S_2}`

Kolikrát větší obsah má velký píst, tolikrát větší silou tlačí. Zadarmo to ale není: velký píst se posune tolikrát méně.

Příklad 6: zvedák pod autem

Malý píst hydraulického zvedáku má obsah 4 cm², velký 400 cm². Na malý píst tlačíme silou 150 N. Jak velkou silou tlačí velký píst a zvedne auto o hmotnosti 1 200 kg?

Velký píst má stokrát větší obsah, 400 : 4 = 100, takže tlačí stokrát větší silou:

`F_2 = F_1 \cdot \dfrac{S_2}{S_1} = 150\ \mathrm{N} \cdot \dfrac{400}{4} = 15\,000\ \mathrm{N}`

Auto má gravitační sílu 1 200 · 10 = 12 000 N, a to je méně než 15 000 N, takže ho zvedák zvedne. Když ale malý píst stlačíme o 10 cm, velký se zvedne jen o 10 : 100 = 0,1 cm, tedy o milimetr. Proto se páka zvedáku musí stlačit mnohokrát. Celý výpočet i s tlakem v kapalině ukáže kalkulačka hydraulického lisu, další řešená úloha je v článku Síla ve slovní úloze a procvičit to můžete v příkladech na hydraulický lis.

Archimédův zákon a vztlaková síla

Archimédův zákon: Těleso ponořené do kapaliny je nadlehčováno vztlakovou silou, která se rovná gravitační síle působící na kapalinu stejného objemu, jako má ponořená část tělesa. Zkráceně: vztlaková síla se rovná tíze vytlačené kapaliny.

`F_{vz} = V \cdot \rho_k \cdot g`

V je objem ponořené části tělesa a ρ_k je hustota kapaliny, ne tělesa. Ve vodě vychází na každý ponořený litr 0,001 · 1 000 · 10 = 10 N. Ze stejného důvodu je v bazénu snadné zvednout kamaráda: voda ho nadlehčuje skoro celou jeho tíhou.

Odkud se vztlaková síla bere

Je to rozdíl hydrostatických tlaků. Ponořme do vody krychli o hraně 1 dm, tedy s plochou stěny 0,01 m² a objemem 0,001 m³, tak, aby horní stěna byla v hloubce 0,2 m a dolní v hloubce 0,3 m:

Na horní stěnu tlačí voda dolů tlakem 0,2 · 1 000 · 10 = 2 000 Pa, tedy silou 2 000 · 0,01 = 20 N. Na dolní stěnu tlačí nahoru tlakem 3 000 Pa, silou 30 N. Síly na boční stěny jsou stejně velké a míří proti sobě, takže se vyruší. Zbude rozdíl 30 − 20 = 10 N směrem nahoru, a to je přesně V · ρ · g = 0,001 · 1 000 · 10 = 10 N. V jaké hloubce krychle je, nezáleží: oba tlaky rostou stejně.

Příklad 7: kámen pod vodou

Kámen má objem 3 dm³ a hmotnost 7,5 kg. Jak velká vztlaková síla na něj působí ve vodě a jakou silou ho tam musíme držet?

`\begin{aligned} F_{vz} &= 0{,}003\ \mathrm{m^3} \cdot 1\,000\ \mathrm{kg/m^3} \cdot 10\ \mathrm{N/kg} \\ &= 30\ \mathrm{N} \end{aligned}`

Gravitační síla kamene je 7,5 · 10 = 75 N. Ve vodě ho tedy udržíme silou 75 − 30 = 45 N, jako by vážil jen 4,5 kg. Kontrola: 3 litry vody váží 3 kg a o tolik se kámen ve vodě zdá lehčí. Kalkulačka vztlaková síla dá 29,43 N, opět kvůli g = 9,81. Příklady na objem tělesa i hustotu neznámé kapaliny jsou v procvičování Archimédova zákona.

Kdy těleso plave, vznáší se a klesá

Celé ponořené těleso nadlehčuje vztlaková síla V · ρ_k · g a dolů ho táhne jeho gravitační síla V · ρ · g, kde ρ je hustota tělesa. Objem i g jsou v obou stejné, takže rozhodne jen porovnání hustot:

• hustota tělesa je menší než hustota kapaliny: těleso stoupá k hladině a plave,
• hustoty jsou stejné: těleso se v kapalině vznáší, zůstane, kde je,
• hustota tělesa je větší: těleso klesá ke dnu.

Plovoucí těleso je ponořené jen zčásti, a to právě takovou částí objemu, jaký je poměr hustot. Smrkové dřevo s hustotou 450 kg/m³ má ve vodě ponořeno 450 / 1 000 = 0,45, tedy 45 % objemu. Led s hustotou 917 kg/m³ je ve sladké vodě ponořený z 92 % a nad hladinu z něj čouhá jen asi dvanáctina. Ocelová loď plave, i když ocel má 7 850 kg/m³: počítá se průměrná hustota celé lodi i se vzduchem uvnitř. Pro vlastní čísla je tu kalkulačka plave, nebo se potopí.

Přehled vzorců a jednotek

Časté chyby

• Plocha v cm² dosazená do Pa. 1 cm² není setina m², ale desetitisícina: 300 cm² = 0,03 m². Kdo vydělí jen stem, dostane tlak stokrát menší.
• Hloubka v centimetrech. Ve vzorci h · ρ · g musí být hloubka v metrech, jinak vyjde tlak stokrát větší.
• Smíchané jednotky u hustoty. Gramy s cm³ dávají g/cm³, kilogramy s m³ dávají kg/m³. Kilogramy dělené cm³ nedávají nic, s čím by se dalo dál počítat.
• Hustota tělesa místo hustoty kapaliny. Ve vztlakové síle je vždy hustota kapaliny. Železná a dřevěná kostka stejného objemu, obě celé pod vodou, jsou nadlehčovány stejně.
• Hmotnost místo síly. Do p = F / S i do porovnání se vztlakem patří síla v newtonech. Těleso o hmotnosti 60 kg tlačí silou 600 N, ne 60 N.

Příklady k procvičení

Počítejte s g = 10 N/kg a hustotami z tabulky výše.

Kam dál

• Procvičování s okamžitou kontrolou: hustota, gravitační síla a hmotnost, tlak, hydrostatický tlak, hydraulický lis a Archimédův zákon.
• Kalkulačky: síla, tlak a hustota, celkem 17 výpočtů včetně páky a kladky, a převodník jednotek pro cm³, litry a m³.
• Související články: Síla ve slovní úloze (hydraulický lis), Výpočet množství vody v bazénu a Hranol - vzorečky pro objem kvádru.