Ohmův zákon a elektrický obvod

Ohmův zákon říká, že proud, který prochází vodičem, je přímo úměrný napětí na jeho koncích a nepřímo úměrný jeho odporu. Proud I se tedy vypočítá jako napětí U dělené odporem R. Napětí se měří ve voltech (V), proud v ampérech (A) a odpor v ohmech (Ω). Ze vzorce se dají vyjádřit i další dva tvary, podle toho, co v příkladu chybí:

`I = \dfrac{U}{R} \qquad U = R \cdot I \qquad R = \dfrac{U}{I}`

Ohmův zákon a elektrický obvod se probírají v 8. třídě. Vlastní čísla dosadíte do kalkulaček výpočet proudu, výpočet napětí a výpočet odporu, které ukážou i postup, a s okamžitou kontrolou si příklady vyzkoušíte v procvičování Ohmova zákona.

Níže je, z čeho se skládá elektrický obvod a jak se kreslí jeho schéma, jednotky a jejich převody, Ohmův zákon s řešenými příklady, odpor vodiče, sériové a paralelní zapojení rezistorů, výpočet proudu z příkonu, časté chyby a příklady k procvičení.

Elektrický obvod a jeho schéma

Nejjednodušší elektrický obvod má čtyři části: zdroj napětí (baterie, článek, zásuvka), spotřebič (žárovka, rezistor, motorek), vodiče, které je spojují, a obvykle spínač. Proud obvodem prochází jen tehdy, když je obvod uzavřený, tedy když vede nepřerušená cesta od jednoho pólu zdroje přes spotřebič zpátky k druhému. Rozpojený spínač obvod přeruší a žárovka zhasne.

Ve fyzice se obvody nekreslí jako obrázky, ale jako schéma ze schematických značek. Ty nejčastější:

U značky zdroje je delší tenká čára kladný pól (+) a kratší tlustá čára záporný pól (−). Za směr proudu se dohodou bere směr od kladného pólu zdroje přes spotřebiče k zápornému.

Proud se měří ampérmetrem a napětí voltmetrem, a každý se zapojuje jinak:

• Ampérmetr se zapojuje sériově, tedy do obvodu za sebou se spotřebičem, aby jím prošel celý proud. Na tom, kde v nerozvětveném obvodu je, nezáleží: proud se cestou nespotřebuje a před žárovkou i za ní je stejný.
• Voltmetr se zapojuje paralelně, tedy ke svorkám spotřebiče, na kterém napětí měříme.

Ampérmetr má jen nepatrný odpor. Kdo ho zapojí paralelně přímo ke zdroji, udělá z něj zkrat, obvodem projde obrovský proud a ampérmetr se může zničit. Voltmetr má naopak odpor velký, takže v sérii by obvodem skoro žádný proud neprošel.

Napětí, proud a odpor: veličiny a jednotky

Napětí měří voltmetr, proud ampérmetr a odpor ohmmetr, nebo se spočítá z naměřeného napětí a proudu. Běžná napětí: tužkový článek 1,5 V, plochá baterie 4,5 V, autobaterie 12 V a zásuvka 230 V.

Pro představu pomáhá voda v trubkách. Napětí je jako tlak, který vodu žene, proud jako množství vody, které proteče za sekundu, a odpor jako zúžené místo, které proudění brzdí. Větší tlak protlačí víc vody, užší trubka méně.

V příkladech se často objeví předpony. Před dosazením do vzorce je převeďte na základní jednotky:

`\begin{gathered} 1\ \mathrm{mA} = 0{,}001\ \mathrm{A} \qquad 1\ \mathrm{kV} = 1\,000\ \mathrm{V} \\[8pt] 1\ \mathrm{k\Omega} = 1\,000\ \Omega \qquad 1\ \mathrm{M\Omega} = 1\,000\,000\ \Omega \end{gathered}`

Tedy 20 mA je 0,02 A, 350 mA je 0,35 A a 4,7 kΩ je 4 700 Ω.

Ohmův zákon: I = U / R

Když na rezistor přivedeme dvakrát větší napětí, poteče jím dvakrát větší proud. Když místo něj zapojíme rezistor s dvakrát větším odporem, poteče při stejném napětí jen poloviční proud. Přesně to říká Ohmův zákon, pojmenovaný po německém fyzikovi Georgu Simonu Ohmovi.

Na tři tvary vzorce stačí si pamatovat trojúhelník. Zakryjte prstem veličinu, kterou hledáte, a zbytek ukáže, co s ostatními dvěma udělat: zakryté U nechá R · I vedle sebe (násobí se), zakryté I nechá U nad R (dělí se) a zakryté R nechá U nad I.

Když se změří proud při několika napětích a body se zakreslí do grafu, leží na přímce, která vychází z počátku. Tomu grafu se říká voltampérová charakteristika. Čím větší odpor, tím pomaleji přímka stoupá: při 3 V teče rezistorem 10 Ω proud 0,3 A, rezistorem 20 Ω jen 0,15 A.

Ohmův zákon platí pro kovové vodiče a rezistory, dokud se jejich teplota nemění. Vlákno žárovky se proudem rozžhaví a jeho odpor přitom několikrát vzroste, takže jeho charakteristika přímka není.

Příklad 1: výpočet proudu

K ploché baterii s napětím 4,5 V je připojena žárovka s odporem 15 Ω. Jaký proud jí prochází?

`I = \dfrac{U}{R} = \dfrac{4{,}5\ \mathrm{V}}{15\ \Omega} = 0{,}3\ \mathrm{A} = 300\ \mathrm{mA}`

Kontrola zpětně: R · I = 15 · 0,3 = 4,5 V, a to je napětí baterie. Stejný výpočet i s postupem udělá kalkulačka výpočet proudu z napětí a odporu.

Příklad 2: výpočet napětí

Rezistorem s odporem 220 Ω prochází proud 20 mA. Jaké je na něm napětí?

Proud nejdřív převedeme na ampéry: 20 mA = 0,02 A.

`U = R \cdot I = 220\ \Omega \cdot 0{,}02\ \mathrm{A} = 4{,}4\ \mathrm{V}`

Kdo by miliampéry dosadil jako ampéry, dostal by 220 · 20 = 4 400 V, což je u malého rezistoru zjevný nesmysl. Výsledek si ověříte v kalkulačce výpočet napětí z proudu a odporu.

Příklad 3: výpočet odporu

Na rezistoru naměříme voltmetrem napětí 6 V a ampérmetrem proud 30 mA. Jaký má odpor?

`R = \dfrac{U}{I} = \dfrac{6\ \mathrm{V}}{0{,}03\ \mathrm{A}} = 200\ \Omega`

Kontrola: 200 · 0,03 = 6 V. Takhle se odpor v laboratorní práci opravdu měří, z napětí a proudu. Kalkulačka výpočet odporu ho vypíše v ohmech i kiloohmech.

Užitečná zkratka: volty dělené kiloohmy dávají rovnou miliampéry. Rezistorem 4 kΩ při 12 V teče 12 : 4 = 3 mA, tedy 0,003 A, a stejně vyjde i 12 : 4 000 = 0,003 A.

Na čem závisí odpor vodiče

I obyčejný drát má nějaký odpor. Je tím větší, čím je drát delší, tím menší, čím je tlustší, a záleží na materiálu. U kovů navíc odpor roste s teplotou. Vzorec pro odpor vodiče:

`R = \rho \cdot \dfrac{l}{S}`

Tady l je délka vodiče v metrech, S obsah jeho průřezu a ρ (ró) měrný elektrický odpor neboli rezistivita materiálu. V tabulkách bývá v Ω · m, ale pro dráty je pohodlnější jednotka Ω · mm²/m, protože průřez kabelu se udává v mm². Mezi nimi je milion: `1{,}68 \cdot 10^{-8}\ \Omega \cdot \mathrm{m}` je 0,0168 Ω · mm²/m.

Nejlépe vede stříbro, hned za ním měď, a proto jsou z mědi skoro všechny kabely. Nikelin a konstantan mají rezistivitu pětadvacetkrát až třicetkrát větší než měď a dělají se z nich rezistory a topné dráty.

Příklad 4: odpor prodlužovacího kabelu

Jaký odpor má měděný vodič dlouhý 50 m s průřezem 1,5 mm²?

Rezistivitu mědi vezmeme z tabulky v Ω · mm²/m, délku dosadíme v metrech a průřez v mm²:

`\begin{aligned} R &= \rho \cdot \dfrac{l}{S} = 0{,}0168 \cdot \dfrac{50}{1{,}5} \\[6pt] &= 0{,}56\ \Omega \end{aligned}`

Pro představu: dvojnásobná délka znamená dvojnásobný odpor, dvojnásobný průřez poloviční. Kalkulačka odpor vodiče dosadí rezistivitu sama a ukáže i to, kolik napětí se na kabelu ztratí.

Sériové zapojení rezistorů

Při sériovém zapojení jsou rezistory za sebou na jednom vodiči, bez odbočky. Proud nemá jinou cestu, a proto:

• všemi rezistory prochází stejný proud I,
• napětí zdroje se rozdělí: U = U₁ + U₂, na větším odporu je větší díl,
• odpory se sečtou:

`R = R_1 + R_2 + R_3 + \ldots`

Příklad 5: dva rezistory za sebou

Rezistory 40 Ω a 80 Ω jsou zapojené za sebou ke zdroji 12 V. Jaký je celkový odpor, proud v obvodu a napětí na každém rezistoru?

`\begin{aligned} R &= 40 + 80 = 120\ \Omega \\[6pt] I &= \dfrac{U}{R} = \dfrac{12}{120} = 0{,}1\ \mathrm{A} \\[6pt] U_1 &= R_1 \cdot I = 40 \cdot 0{,}1 = 4\ \mathrm{V} \\[6pt] U_2 &= R_2 \cdot I = 80 \cdot 0{,}1 = 8\ \mathrm{V} \end{aligned}`

Kontrola: 4 + 8 = 12 V, napětí na rezistorech dá dohromady napětí zdroje. Na dvakrát větším odporu je dvakrát větší napětí. Všechno najednou spočítá kalkulačka sériové zapojení rezistorů.

Nevýhoda sériového zapojení: když se kterákoli část přeruší, přestane proud procházet celým obvodem. Proto na starých vánočních řetězech zhasla po spálení jedné žárovky všechna světla.

Paralelní zapojení rezistorů

Při paralelním zapojení jsou rezistory vedle sebe, každý ve vlastní větvi mezi dvěma společnými body (uzly). Proud se v uzlu rozdělí a za rezistory se zase spojí, a proto:

• na všech rezistorech je stejné napětí, napětí zdroje,
• proud se rozdělí: I = I₁ + I₂, menším odporem teče větší proud,
• sčítají se převrácené hodnoty odporů:

`\begin{gathered} \dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \ldots \\[10pt] R = \dfrac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} \quad \text{(pro dva rezistory)} \end{gathered}`

Celkový odpor paralelního zapojení vyjde vždycky menší než nejmenší z odporů. Každá další větev otevírá proudu další cestu, takže ho celkem proteče víc. Dva stejné rezistory vedle sebe mají poloviční odpor než jeden z nich.

Příklad 6: dva rezistory vedle sebe

Rezistory 60 Ω a 30 Ω jsou zapojené vedle sebe ke zdroji 12 V. Jaké proudy jimi tečou a jaký je celkový odpor?

Na obou je celé napětí 12 V, takže proud každou větví spočítáme Ohmovým zákonem zvlášť:

`\begin{aligned} I_1 &= \dfrac{12}{60} = 0{,}2\ \mathrm{A} \qquad I_2 = \dfrac{12}{30} = 0{,}4\ \mathrm{A} \\[6pt] I &= I_1 + I_2 = 0{,}6\ \mathrm{A} \\[6pt] R &= \dfrac{U}{I} = \dfrac{12}{0{,}6} = 20\ \Omega \end{aligned}`

Kontrola vzorcem: 60 · 30 / (60 + 30) = 1 800 / 90 = 20 Ω. A 20 Ω je opravdu méně než menší z obou odporů, 30 Ω. Přes zlomky to vyjde stejně, `\frac{1}{60} + \frac{1}{30} = \frac{1}{60} + \frac{2}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}` (sčítání zlomků připomene článek Zlomky). Postup s proudy ve všech větvích ukáže kalkulačka paralelní zapojení rezistorů, která počítá i se třemi rezistory.

Paralelně jsou zapojené zásuvky i světla v bytě. Na každém spotřebiči je proto plné napětí 230 V a každý se dá zapnout a vypnout nezávisle na ostatních.

Sériové a paralelní zapojení vedle sebe

Výpočet proudu z příkonu a napětí

Na spotřebičích nebývá napsaný proud ani odpor, ale příkon ve wattech (W). Příkon je součin napětí a proudu, a z něj se proud vypočítá:

`P = U \cdot I \qquad I = \dfrac{P}{U}`

Příklad 7: rychlovarná konvice

Konvice má příkon 2 000 W a je zapojená do zásuvky 230 V. Jaký proud odebírá a jaký odpor má její topná spirála?

`\begin{aligned} I &= \dfrac{P}{U} = \dfrac{2\,000\ \mathrm{W}}{230\ \mathrm{V}} \doteq 8{,}7\ \mathrm{A} \\[6pt] R &= \dfrac{U}{I} = \dfrac{230\ \mathrm{V}}{8{,}7\ \mathrm{A}} \doteq 26\ \Omega \end{aligned}`

Zásuvky jednoho okruhu chrání jistič, nejčastěji na 16 A. Dvě takové konvice zapnuté naráz v zásuvkách téhož okruhu by odebíraly asi 17,4 A a jistič by mohl vypadnout. Proud z příkonu spočítá kalkulačka proud z příkonu, příkon z napětí a proudu kalkulačka elektrický příkon.

Za 3 minuty, tedy 0,05 hodiny, spotřebuje konvice energii 2 kW · 0,05 h = 0,1 kWh. Elektrickou práci v kilowatthodinách počítá kalkulačka elektrická práce.

Časté chyby

• Miliampéry dosazené jako ampéry. 20 mA je 0,02 A, ne 20 A. Výsledek, který vyjde tisíckrát větší nebo menší, než je rozumné, prozrazuje zapomenutý převod. Stejně tak kiloohmy: 2,2 kΩ je 2 200 Ω.
• Paralelní odpory sečtené jako sériové. 60 Ω a 30 Ω vedle sebe nejsou 90 Ω, ale 20 Ω. Rychlá kontrola: paralelní výsledek musí být menší než nejmenší z odporů.
• Zapomenuté převrácení na konci. Z 1/R = 1/20 je R = 20 Ω, ne 0,05 Ω. Součet zlomků je převrácená hodnota odporu, ne odpor.
• „Proud se v žárovce spotřebuje.“ Nespotřebuje. V nerozvětveném obvodu ukáže ampérmetr před žárovkou i za ní totéž. Spotřebovává se energie, ne proud.
• Ampérmetr zapojený paralelně. Ampérmetr patří do obvodu za sebou se spotřebičem, voltmetr vedle něj. Opačně zapojený ampérmetr způsobí zkrat.
• Odpor žárovky naměřený při jednom napětí a použitý při jiném. Vlákno se zahřívá a jeho odpor se mění, Ohmův zákon s jedním R tu platí jen pro to napětí, při kterém se měřilo.

Příklady k procvičení

Kam dál

• Procvičování Ohmova zákona: napětí, proud a odpor s miliampéry a kiloohmy, s kontrolou každé odpovědi.
• Kalkulačky na elektrický proud: Ohmův zákon, odpor vodiče, sériové a paralelní zapojení, příkon, elektrická práce a další výpočty s postupem.
• Předřadný odpor pro LED: Ohmův zákon v praxi, kolik ohmů dát před diodu.
• Hustota, tlak a vztlak: další fyzikální vzorce s příklady.
• Mocniny: jak se počítá se zápisem `1{,}68 \cdot 10^{-8}`.