Hydraulický lis a Pascalův zákon

Hydraulický lis jsou dva písty různé velikosti spojené kapalinou. Když tlačíme na malý píst, vznikne v kapalině tlak, který je podle Pascalova zákona všude stejný, takže tlačí i na velký píst. Síla na pístu je tlak krát obsah pístu, a proto kolikrát větší obsah má velký píst, tolikrát větší silou tlačí:

`\dfrac{F_1}{S_1} = \dfrac{F_2}{S_2}`

Z toho je síla na velkém pístu `F_2 = F_1 \cdot \dfrac{S_2}{S_1}`. Zadarmo to ale není: velký píst se posune tolikrát méně, kolikrát větší silou tlačí. Hydraulický lis se probírá v 7. třídě spolu s tlakem a Pascalovým zákonem.

Vlastní čísla dosadíte do kalkulačky hydraulický lis, která ukáže i tlak v kapalině a posun pístů. Příklady s okamžitou kontrolou jsou v procvičování hydraulický lis a Pascalův zákon.

Pascalův zákon

Pascalův zákon říká, že tlak, kterým působíme na kapalinu v uzavřené nádobě zvenku, se v ní šíří všemi směry stejně. Je to proto, že kapalina se skoro nedá stlačit: když na ni zatlačíme, nemůže se zmenšit, a tak tlačí stejně na všechny stěny i na všechny písty.

Tlak je síla, která připadá na jednotku plochy:

`p = \dfrac{F}{S}`

Jednotkou tlaku je pascal, 1 Pa = 1 N/m². Pascal je malá jednotka, v lisech se tlak počítá v kilopascalech a megapascalech: 1 kPa = 1 000 Pa a 1 MPa = 1 000 000 Pa. Víc o tlaku, hydrostatickém tlaku a vztlaku je v článku Hustota, tlak a vztlak.

Kapalina v lisu má i vlastní hydrostatický tlak, který roste s hloubkou. Proti tlaku od pístu je ale tak malý, že se v příkladech na lis zanedbává.

Jak hydraulický lis funguje

Lis má dva válce, úzký a široký, spojené trubkou a naplněné kapalinou, nejčastěji olejem. V každém válci je píst. Na malý píst tlačíme silou `F_1`, a protože má malý obsah `S_1`, vznikne pod ním velký tlak. Ten samý tlak působí zespodu na velký píst o obsahu `S_2` a tlačí ho vzhůru silou `F_2`.

Pod oběma písty je stejný tlak, takže

`p = \dfrac{F_1}{S_1} = \dfrac{F_2}{S_2}`

Úloha na lis se dá vždycky spočítat dvěma způsoby. Buď přes poměr obsahů: kolikrát je velký píst větší než malý, tolikrát větší silou tlačí. Nebo přes tlak: nejdřív `p = F_1 : S_1` a potom `F_2 = p \cdot S_2`. Poměr je rychlejší, tlak se hodí, když se na něj úloha ptá.

Vzorce pro hydraulický lis

Co se kde počítá, podle toho, na co se úloha ptá:

Obsahy obou pístů mohou být v jakýchkoli jednotkách, jen v obou stejných, protože se z nich počítá jen poměr. Jakmile ale počítáte tlak v pascalech, musí být obsah v metrech čtverečních.

Příklad 1: síla na velkém pístu

Malý píst hydraulického lisu má obsah 2 cm², velký 300 cm². Na malý píst tlačíme silou 100 N. Jaký tlak vznikne v kapalině a jak velkou silou tlačí velký píst?

Obsah převedeme na metry čtvereční. Centimetr čtvereční je setina setiny metru čtverečního, takže se dělí 10 000: 2 cm² = 0,0002 m² a 300 cm² = 0,03 m².

`\begin{aligned} p &= \dfrac{F_1}{S_1} = \dfrac{100\ \mathrm{N}}{0{,}0002\ \mathrm{m^2}} \\[6pt] &= 500\,000\ \mathrm{Pa} = 500\ \mathrm{kPa} \\[12pt] F_2 &= p \cdot S_2 = 500\,000\ \mathrm{Pa} \cdot 0{,}03\ \mathrm{m^2} \\[6pt] &= 15\,000\ \mathrm{N} \end{aligned}`

Kontrola poměrem: velký píst má 300 : 2 = 150krát větší obsah, takže tlačí 150krát větší silou, 100 · 150 = 15 000 N. Silou 100 N, jako když držíte desetikilovou tašku, zvedneme na velkém pístu náklad o hmotnosti 1 500 kg (s g = 10 N/kg). Tímhle odkazem se kalkulačka hydraulický lis otevře s čísly z příkladu.

Písty zadané poloměrem nebo průměrem

Písty jsou kruhové, a tak úloha často neudá obsah, ale poloměr nebo průměr. Obsah kruhu je `S = \pi r^2`. Tady je nejčastější chyba celé látky: dvakrát větší poloměr znamená čtyřikrát větší obsah, protože se poloměr umocňuje. Poměr sil je proto druhá mocnina poměru poloměrů:

`\dfrac{F_2}{F_1} = \dfrac{S_2}{S_1} = \dfrac{\pi r_2^2}{\pi r_1^2} = \left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)^2`

Číslo π se zkrátí, takže ho ani nemusíte dosazovat. Totéž platí pro průměry: poměr průměrů je stejný jako poměr poloměrů, jen nesmíte u jednoho pístu vzít poloměr a u druhého průměr.

Příklad 2: písty zadané poloměrem

Hydraulický lis má poloměr menšího pístu 3 cm a poloměr většího pístu 60 cm. Jaká síla působí na větší píst lisu, působí-li na menší píst síla 18 N?

Poloměr velkého pístu je 60 : 3 = 20krát větší, takže jeho obsah je `20^2 = 400`krát větší:

`\begin{gathered} \dfrac{S_2}{S_1} = \dfrac{\pi \cdot 60^2}{\pi \cdot 3^2} = \dfrac{3\,600}{9} = 400 \\[10pt] F_2 = F_1 \cdot \dfrac{S_2}{S_1} = 18\ \mathrm{N} \cdot 400 = 7\,200\ \mathrm{N} \end{gathered}`

Na větší píst působí síla 7 200 N. Kdo by vzal jen poměr poloměrů, dostal by 18 · 20 = 360 N, tedy dvacetkrát méně. Kalkulačka chce obsahy v cm², a ty jsou tady `\pi \cdot 3^2 \doteq 28{,}27\ \mathrm{cm^2}` a `\pi \cdot 60^2 \doteq 11\,309{,}73\ \mathrm{cm^2}`.

Příklad 3: jak velký musí být velký píst

Dílenský lis má mít na velkém pístu sílu 25 000 N. Malý píst má průměr 2 cm a tlačíme na něj silou 250 N. Jaký průměr musí mít velký píst?

Síla se má zvětšit 25 000 : 250 = 100krát, takže velký píst musí mít 100krát větší obsah. Obsah roste s druhou mocninou průměru, a proto stačí průměr `\sqrt{100} = 10`krát větší:

`d_2 = d_1 \cdot \sqrt{\dfrac{F_2}{F_1}} = 2\ \mathrm{cm} \cdot \sqrt{100} = 20\ \mathrm{cm}`

Kontrola: obsah malého pístu je `\pi \cdot 1^2 \doteq 3{,}14\ \mathrm{cm^2}`, velkého `\pi \cdot 10^2 \doteq 314{,}16\ \mathrm{cm^2}`, to je opravdu stokrát víc.

Co lis získá na síle, ztratí na dráze

Kapalina se nedá stlačit, takže kolik jí malý píst vytlačí, tolik jí přiteče pod velký píst. Objem je obsah pístu krát posun, a proto

`S_1 \cdot h_1 = S_2 \cdot h_2`

Kolikrát větší je velký píst, tolikrát menší je jeho posun. Když to spojíme se vztahem pro síly, vyjde `F_1 \cdot h_1 = F_2 \cdot h_2`: práce, kterou vykonáme na malém pístu, je stejná jako práce velkého pístu. Lis tedy žádnou energii nevyrábí, jen vymění malou sílu na dlouhé dráze za velkou sílu na krátké dráze. Je to stejné zlaté pravidlo mechaniky jako u páky a kladky, o kterých je článek Páka a kladka; o práci samotné je článek Práce, výkon a energie.

Příklad 4: zvedák pod autem

Hydraulický zvedák má malý píst o obsahu 4 cm² a velký o obsahu 200 cm². Jak velkou silou musíme tlačit na malý píst, abychom zvedli auto o hmotnosti 1 500 kg? Kolikrát musíme malý píst stlačit o 10 cm, aby se auto zvedlo o 10 cm? Počítejte s g = 10 N/kg.

Gravitační síla auta je `F_g = m \cdot g = 1\,500 \cdot 10 = 15\,000\ \mathrm{N}`, a tolik musí velký píst unést. Velký píst má 200 : 4 = 50krát větší obsah, takže na malý stačí padesátkrát menší síla:

`F_1 = F_2 \cdot \dfrac{S_1}{S_2} = 15\,000\ \mathrm{N} \cdot \dfrac{4}{200} = 300\ \mathrm{N}`

Jedno stlačení o 10 cm vytlačí 4 · 10 = 40 cm³ oleje. Aby se velký píst zvedl o 10 cm, potřebuje pod sebe 200 · 10 = 2 000 cm³, tedy 2 litry oleje. To je 2 000 : 40 = 50 stlačení. Kontrola prací: 50 stlačení po 300 N · 0,1 m dá 1 500 J, a velký píst vykoná 15 000 N · 0,1 m = 1 500 J. Proto se u zvedáku páka přehazuje pořád dokola, a protože je to páka, je síla v ruce ještě několikrát menší než 300 N.

Kalkulačka hydraulický lis s těmito čísly ukáže sílu 15 000 N. Hmotnost, kterou ta síla unese, počítá s přesnějším g = 9,81 N/kg, a proto vypíše asi 1 529 kg místo školních 1 500 kg.

Kde se hydraulika používá

• Hydraulický zvedák v autoservisu i malý zvedák v kufru auta.
• Lisy na lisování plechů, drcení autovraků nebo slisování papíru do balíků.
• Brzdy auta: šlápnutí na pedál vytvoří tlak, který se potrubím rozvede ke všem čtyřem kolům.
• Stavební stroje: rameno bagru, sklápěčka, jeřáb. Hydraulické válce tam tlačí tlakem desítek megapascalů.
• Křesla u zubaře a u kadeřníka, zvedací plošiny a zadní čela nákladních aut.

Příklad 5: hydraulické brzdy

Řidič přes pedál tlačí na píst hlavního brzdového válce o obsahu 3 cm² silou 600 N. Potrubí vede tlak ke čtyřem brzdám, každá má píst o obsahu 12 cm². Jak velký je tlak v brzdové kapalině a jak velkou silou tlačí píst každé brzdy?

`\begin{aligned} p &= \dfrac{F_1}{S_1} = \dfrac{600\ \mathrm{N}}{0{,}0003\ \mathrm{m^2}} \\[6pt] &= 2\,000\,000\ \mathrm{Pa} = 2\ \mathrm{MPa} \\[12pt] F_2 &= p \cdot S_2 = 2\,000\,000\ \mathrm{Pa} \cdot 0{,}0012\ \mathrm{m^2} \\[6pt] &= 2\,400\ \mathrm{N} \end{aligned}`

Každá ze čtyř brzd tlačí silou 2 400 N, čtyřikrát větší, než je síla na pedálu, protože každý brzdový píst má čtyřikrát větší obsah. Síla se mezi brzdy nedělí: tlak je pod všemi písty stejný, takže každý dostane plnou sílu podle svého obsahu. Dělí se jen kapalina: když se píst hlavního válce posune o 2 cm, vytlačí 3 · 2 = 6 cm³, a ty se rozdělí mezi čtyři písty po 1,5 cm³, takže se každý posune o 1,5 : 12 = 0,125 cm, tedy o 1,25 mm. Víc není potřeba, brzdové destičky jen dosednou na kotouč.

Časté chyby

• Poměr poloměrů místo poměru obsahů. Dvacetkrát větší poloměr je 400krát větší obsah, ne dvacetkrát větší. Když úloha dává poloměry nebo průměry, poměr vždy umocněte.
• Poloměr u jednoho pístu a průměr u druhého. Poměr dvou průměrů je stejný jako poměr dvou poloměrů, ale průměr malého a poloměr velkého pístu dá výsledek čtyřikrát menší.
• cm² na m² dělením stem. Převádí se plošná jednotka, takže se dělí 10 000: 1 cm² = 0,0001 m². Při poměru obsahů na tom nezáleží, při tlaku v pascalech ano.
• Prohozené písty. Větší síla je vždycky na větším pístu. Kontrola: vyšlo-li `F_2` menší než `F_1`, je zlomek obráceně.
• Kilogramy místo newtonů. Do vzorce patří síla. Auto o hmotnosti 1 500 kg tlačí na píst gravitační silou 15 000 N.
• „Lis sílu vyrábí.“ Nevyrábí, jen ji zvětší za cenu dráhy. Velký píst se posune tolikrát méně, kolikrát větší silou tlačí.

Příklady k procvičení

Kde je potřeba, počítejte s g = 10 N/kg.

Kam dál

• Procvičování: hydraulický lis a Pascalův zákon, tlak a hydrostatický tlak.
• Kalkulačky: hydraulický lis, výpočet tlaku ze síly a plochy, síla z tlaku a plochy a celá sada síla, tlak a hustota.
• Články: Hustota, tlak a vztlak, Páka a kladka a Práce, výkon a energie.