Rychlost, dráha a čas

Rychlost udává, jakou dráhu těleso urazí za jednotku času. Vypočítá se tak, že se dráha vydělí časem, za který ji těleso urazilo: kdo ujede 60 km za 2 hodiny, jede rychlostí 30 km/h. Rychlost se značí v, dráha s a čas t. Ze stejného vzorce se dá vyjádřit i dráha a čas, podle toho, co v příkladu chybí:

`v = \dfrac{s}{t} \qquad s = v \cdot t \qquad t = \dfrac{s}{v}`

Rychlost, dráha a čas se probírají v 7. třídě. Vlastní čísla dosadíte do kalkulaček výpočet rychlosti, výpočet dráhy a výpočet času, které jednotky převedou za vás a ukážou postup. Příklady s okamžitou kontrolou najdete v procvičování rychlosti, dráhy a času.

Níže jsou vzorce a jednotky, převod km/h na m/s a minut na hodiny, řešené příklady, rovnoměrný pohyb a jeho graf, průměrná rychlost, pohyb proti sobě a dohánění, rychlost zvuku, časté chyby a příklady k procvičení.

Vzorec pro rychlost, dráhu a čas

Všechny tři vzorce jsou jeden a týž vztah, jen jinak zapsaný:

• rychlost = dráha : čas, tedy `v = \dfrac{s}{t}`,
• dráha = rychlost · čas, tedy `s = v \cdot t`,
• čas = dráha : rychlost, tedy `t = \dfrac{s}{v}`.

Kdo si nepamatuje, co se čím dělí, pomůže si trojúhelníkem. Zakryje prstem veličinu, kterou hledá, a zbytek mu řekne, jak ji spočítat: zakryté s nechá dole v · t, zakryté v nechá s nad t, tedy s : t, a zakryté t nechá s nad v.

Ještě jednodušší kontrola je selský rozum. Delší cesta při stejné rychlosti trvá déle, takže čas musí růst s dráhou: t = s : v, ne v : s. A kdo jede rychleji, ujede za stejnou dobu víc, takže dráha je rychlost krát čas.

Veličiny a jednotky

Jednotka dráhy je tedy metr, stejně jako u každé jiné délky. Jednotka rychlosti vznikne z jednotek dráhy a času: dráha v metrech dělená časem v sekundách dává metry za sekundu, dráha v kilometrech dělená časem v hodinách dává kilometry za hodinu. Do vzorce se proto vždy dosazuje dvojice jednotek, která k sobě patří: km a h, nebo m a s. Kilometry s minutami nebo metry s hodinami dají jednotku, se kterou se ve škole nepočítá.

Převod km/h na m/s a minut na hodiny

Z km/h na m/s se dělí 3,6, z m/s na km/h se násobí 3,6. Odkud se to číslo bere: 1 m/s znamená 1 metr každou sekundu. Za hodinu, tedy za 3 600 sekund, je to 3 600 m, a to je 3,6 km. Proto 1 m/s = 3,6 km/h. Kdo si nepamatuje směr, ať si vzpomene, že číslo v km/h je vždy to větší: 90 km/h jsou jen 25 m/s.

Převod libovolného čísla udělá kalkulačka převod rychlosti, která umí i metry za minutu.

Minuty se na hodiny převádějí dělením šedesáti, ne stem. Hodina má 60 minut, takže 15 minut je čtvrt hodiny, tedy 0,25 h, a ne 0,15 h. Nejčastější hodnoty stojí za zapamatování:

Dvacet minut je třetina hodiny, čtyřicet minut dvě třetiny, a ani jedno nevyjde jako desetinné číslo přesně. V příkladu je proto lepší počítat se zlomkem: 40 minut je `\frac{2}{3}` h, ne 0,67 h. A pozor na zápis s hodinami a minutami: 1 h 30 min je 1,5 h, ne 1,3 h.

Řešené příklady

Příklad 1: výpočet rychlosti

Cyklista ujel 12 km za 40 minut. Jakou jel rychlostí?

Dráhu máme v kilometrech, čas tedy převedeme na hodiny: 40 min = `\frac{2}{3}` h. Pak dosadíme do v = s : t:

`v = \dfrac{s}{t} = \dfrac{12}{\frac{2}{3}} = 12 \cdot \dfrac{3}{2} = 18\ \mathrm{km/h}`

Kontrola: za 20 minut, tedy za třetinu hodiny, ujede 6 km, za 40 minut dvakrát tolik, 12 km. Sedí to. V metrech za sekundu je to 18 : 3,6 = 5 m/s, a stejně to vyjde i z 12 000 m za 2 400 s. Celý postup ukáže kalkulačka výpočet rychlosti s těmito čísly.

Příklad 2: výpočet dráhy

Vlak jede stálou rychlostí 90 km/h. Jakou dráhu ujede za 40 minut?

`s = v \cdot t = 90 \cdot \dfrac{2}{3} = 60\ \mathrm{km}`

Kontrola: za celou hodinu by ujel 90 km, za 40 minut tedy méně, dvě třetiny z toho. Kalkulačka výpočet dráhy má právě tento příklad nastavený a počítá ho přes metry a sekundy: 25 m/s · 2 400 s = 60 000 m.

Příklad 3: výpočet času

Jak dlouho pojede auto 150 km, když jede průměrně 90 km/h?

`t = \dfrac{s}{v} = \dfrac{150}{90} = \dfrac{5}{3}\ \mathrm{h}`

Pět třetin hodiny je 1 celá hodina a `\frac{2}{3}` hodiny, tedy 1 h 40 min. Kdo by výsledek zapsal jako 1,67 h a přečetl „hodina šedesát sedm minut“, splete se o 27 minut. Kalkulačka výpočet času vypíše čas rovnou v hodinách a minutách.

Příklad 4: rychlost v m/s

Usain Bolt zaběhl 100 m za 9,58 s. Jakou průměrnou rychlostí běžel v m/s a v km/h?

`v = \dfrac{100\ \mathrm{m}}{9{,}58\ \mathrm{s}} \doteq 10{,}4\ \mathrm{m/s} \doteq 37{,}6\ \mathrm{km/h}`

Na km/h násobíme 3,6, protože z m/s se do km/h násobí. Výsledek dává smysl: nejrychlejší člověk na světě běží zhruba jako pomalé auto v obci.

Příklad 5: dvě sekundy v mobilu

Řidič jede 90 km/h a na 2 sekundy se podívá do mobilu. Kolik metrů ujede, aniž by viděl na silnici?

Čas máme v sekundách, rychlost tedy převedeme na m/s: 90 : 3,6 = 25 m/s. Pak s = v · t = 25 · 2 = 50 m, délka bazénu naslepo. Stejně se počítá reakční dráha, kterou auto ujede, než řidič začne brzdit. Kalkulačka brzdná dráha k ní přičte i samotné brzdění.

Rychlosti, se kterými se v příkladech počítá

Když výsledek vyjde podivně, porovnejte ho s tabulkou. Chodec, který jde 50 km/h, znamená chybu v jednotkách.

Světlo je ještě o mnoho rychlejší než zvuk: urazí asi 300 000 km za sekundu.

Rovnoměrný pohyb a graf dráhy

Rovnoměrný pohyb je pohyb stálou rychlostí: těleso urazí za každou sekundu (minutu, hodinu) stejnou dráhu. Auto na tempomatu, eskalátor, pás v továrně. Nerovnoměrný pohyb má rychlost proměnnou: auto ve městě se rozjíždí, brzdí a stojí na semaforu. Vzorec v = s : t pak dává průměrnou rychlost.

Pohyb se dá zakreslit do grafu závislosti dráhy na čase. Na vodorovnou osu se dává čas, na svislou dráha. V grafu níže jde chodec stále 5 km/h, cyklista jede hodinu rychlostí 20 km/h, pak půl hodiny stojí a nakonec jede ještě půl hodiny zase 20 km/h.

Z grafu se dá vyčíst:

• Rovnoměrný pohyb je přímka. Chodcova čára je rovná, protože za každou půlhodinu ujde stejných 2,5 km. Dráha je přímo úměrná času.
• Čím strmější čára, tím větší rychlost. Cyklistova čára vystoupá za první hodinu na 20 km, chodcova jen na 5 km.
• Vodorovný úsek znamená, že těleso stojí. Mezi 1 h a 1,5 h čas běží, ale dráha se nemění.
• Cyklistův pohyb jako celek rovnoměrný není: jeho čára se láme.

Průměrná rychlost

Průměrná rychlost je celková dráha dělená celkovým časem, včetně zastávek:

`v_p = \dfrac{s_{\mathrm{celk}}}{t_{\mathrm{celk}}}`

Cyklista z grafu ujel za 2 hodiny 30 km. Jeho průměrná rychlost je 30 : 2 = 15 km/h, i když po celou dobu jízdy jel dvacítkou. Zastávka se do času započítává.

Průměrná rychlost není průměr rychlostí. To je nejznámější chyták celé kapitoly. Auto jede do města vzdáleného 60 km rychlostí 60 km/h a zpátky v zácpě jen 20 km/h. Průměr obou rychlostí je 40 km/h, ale průměrná rychlost je jiná:

• tam: 60 km rychlostí 60 km/h trvá 1 h,
• zpátky: 60 km rychlostí 20 km/h trvá 3 h,
• celkem 120 km za 4 h, tedy 30 km/h.

Pomalým úsekem auto jelo třikrát déle, a proto má v průměru větší váhu. Průměr rychlostí by vyšel správně jen tehdy, kdyby oba úseky trvaly stejně dlouho. Ověřit si to můžete v kalkulačce průměrná rychlost, která vypíše i ten špatný průměr pro srovnání.

Vedle průměrné rychlosti se mluví i o okamžité rychlosti, rychlost v jednom okamžiku. Tu ukazuje tachometr v autě.

Pohyb proti sobě a dohánění

Ve slovních úlohách se často pohybují dvě tělesa zároveň. Pomůže myslet na to, jak rychle se k sobě přibližují:

• Proti sobě se rychlosti sčítají. Za každou hodinu se vzdálenost mezi nimi zmenší o obě dráhy.
• Při dohánění se rychlosti odečítají. Rychlejší dohání pomalejšího jen o tolik, o kolik jede rychleji.

Příklad 6: proti sobě

Z míst A a B vzdálených 36 km vyjedou ve stejnou chvíli proti sobě dva cyklisté. První jede 10 km/h, druhý 8 km/h. Za jak dlouho a kde se potkají?

Za hodinu se přiblíží o 10 + 8 = 18 km. Celých 36 km jim tedy zabere 36 : 18 = 2 h. První cyklista za tu dobu ujede 10 · 2 = 20 km, takže se potkají 20 km od A. Kontrola: druhý ujede 8 · 2 = 16 km a 20 + 16 = 36 km.

Příklad 7: dohánění

Chodec vyšel z domu rychlostí 5 km/h. Za hodinu za ním po stejné cestě vyjel cyklista rychlostí 15 km/h. Za jak dlouho chodce dožene?

Za první hodinu ujde chodec 5 km, to je jeho náskok. Cyklista se k němu přibližuje rychlostí 15 − 5 = 10 km/h, takže náskok 5 km stáhne za 5 : 10 = 0,5 h, tedy 30 minut. Kontrola: cyklista ujede za půl hodiny 7,5 km a chodec za hodinu a půl také 7,5 km.

Složitější úlohy tohoto typu, kde se neznámá dá jen do rovnice, ukazují články Auta jedoucí za sebou a Letadla letící proti sobě. Rovnice se ale sestavuje ze stejného vzorce s = v · t.

Rychlost zvuku: bouřka a ozvěna

Zvuk se ve vzduchu šíří rychlostí asi 340 m/s. Světlo je proti tomu tak rychlé, že blesk vidíme prakticky okamžitě. Z toho, kolik sekund uplyne mezi bleskem a hromem, se dá spočítat, jak daleko bouřka je: přijde-li hrom za 6 sekund, je bouřka 340 · 6 = 2 040 m daleko, zhruba 2 km. Pro odhad stačí počet sekund vydělit třemi a máte kilometry. Kalkulačka jak daleko je bouřka počítá s přesnější hodnotou 343 m/s pro vzduch o teplotě 20 °C, takže pro 6 sekund vypíše 2,058 km.

U ozvěny urazí zvuk cestu k překážce i zpátky, takže se výsledek dělí dvěma. Vrátí-li se ozvěna za 1,2 s, urazil zvuk 340 · 1,2 = 408 m a skála je 204 m daleko. Kalkulačka vzdálenost z ozvěny dovolí rychlost zvuku zadat; se svými 343 m/s jí vyjde 205,8 m.

Časté chyby

• Minuty jako desetiny hodiny. 15 min není 0,15 h, ale 0,25 h. 1 h 30 min není 1,3 h, ale 1,5 h.
• Jednotky, které k sobě nepatří. Kilometry dělené sekundami nebo km/h krát minuty. Nejdřív převést, pak dosadit.
• Opačný směr převodu. Z km/h na m/s se dělí 3,6. Když z 90 km/h vyjde 324 m/s, bylo násobeno místo dělení.
• Dělení 3 600 místo 3,6. 3 600 je počet sekund v hodině, převod rychlosti ale počítá i s tisícem metrů v kilometru.
• Průměr rychlostí místo průměrné rychlosti. Celková dráha dělená celkovým časem, ne (60 + 20) : 2.
• Převrácený vzorec. t = v : s místo t = s : v. Pomůže kontrola: delší cesta musí trvat déle.
• Ozvěna bez dělení dvěma. Zvuk letí tam i zpátky.

Příklady k procvičení

Kam dál

• Procvičování rychlosti, dráhy a času s kontrolou každé odpovědi.
• Kalkulačky pohyb a rychlost: rychlost, dráha, čas, průměrná rychlost, brzdná dráha a pro starší zrychlený pohyb a volný pád.
• Převod rychlosti mezi km/h a m/s.
• Slovní úlohy o pohybu s rovnicí: Auta jedoucí za sebou a Letadla letící proti sobě.
• Další kapitola fyziky 7. třídy: Hustota, tlak a vztlak.