Slovní úlohy o pohybu za sebou

Když jedou dvě tělesa stejným směrem a rychlejší dohání pomalejší, zmenší se vzdálenost mezi nimi každou hodinu jen o tolik, o kolik jede rychlejší rychleji. Rychlosti se proto odečítají: osobní auto jedoucí 90 km/h dohání nákladní auto jedoucí 60 km/h rychlostí 30 km/h. Ve chvíli, kdy ho dohoní, ujela obě auta od startu stejnou dráhu, a z toho vychází rovnice i čas dohnání:

`\begin{gathered} s_1 = s_2 \\[4pt] v_1 \cdot t = v_2 \cdot (t - t_0) \\[10pt] t_d = \dfrac{\text{náskok}}{v_2 - v_1} \end{gathered}`

Tady v₁ je rychlost pomalejšího, který vyjel první, v₂ rychlost rychlejšího, který vyjel o t₀ hodin později, t čas jízdy pomalejšího a t_d čas, za který rychlejší pomalejšího dožene od chvíle, kdy sám vyjel. Náskok je vzdálenost, kterou pomalejší ujel, než rychlejší vyrazil, tedy `v_1 \cdot t_0`.

Takové úlohy se počítají v 8. a 9. třídě s lineárními rovnicemi. Samotný vzorec s = v · t a převody jednotek vysvětluje článek Rychlost, dráha a čas, pohyb proti sobě, kde se rychlosti naopak sčítají, článek Slovní úlohy o pohybu proti sobě.

Níže je postup řešení, dohánění dvou aut s náčrtkem a grafem, původní úloha o koloně aut, neznámá rychlost, dohánění z různých míst, otázka „kdy budou od sebe 15 km“ se dvěma odpověďmi, předjíždění, časté chyby a šest příkladů k procvičení s řešením.

Postup řešení

1. Náčrtek. Přímka, na ní start, šipky stejným směrem a místo dohnání. Když oba vyjeli ze stejného místa, končí obě dráhy v místě dohnání, a jsou proto stejně dlouhé.
2. Jednotky. Rychlost v km/h znamená čas v hodinách: 15 minut je 0,25 h, 20 minut `\frac{1}{3}` h, ne 0,2 h.
3. Kdo jede jak dlouho. Ten, kdo vyjel první, jede do dohnání t hodin. Kdo vyjel o hodinu později, jede o hodinu kratší dobu, t − 1.
4. Rovnice `s_1 = s_2`, do ní za každou dráhu rychlost krát čas. Vyjeli-li z různých míst, přičte se k dráze toho vpředu vzdálenost, o kterou byl napřed.
5. Kontrola. Spočítat obě dráhy zvlášť. Ze stejného startu musí vyjít stejné číslo.

Příklad 1: kdy a kde osobní auto dohoní nákladní

V 8:00 vyjede ze skladu nákladní auto rychlostí 60 km/h. V 9:00 vyjede ze stejného skladu po stejné silnici osobní auto rychlostí 90 km/h. V kolik hodin a jak daleko od skladu nákladní auto dohoní?

Úvahou. Do 9:00 ujede nákladní auto samo 60 km, to je jeho náskok. Od té chvíle se k němu osobní auto přibližuje rychlostí 90 − 60 = 30 km/h, takže náskok stáhne za `\dfrac{60}{30} = 2\ \mathrm{h}`.

Rovnicí. Nákladní auto jede do dohnání t hodin, osobní o hodinu méně, t − 1. Obě ujedou stejnou dráhu:

`\begin{gathered} 60t = 90(t - 1) \\[4pt] 60t = 90t - 90 \\[4pt] 30t = 90 \\[4pt] t = 3\ \mathrm{h} \end{gathered}`

Nákladní auto jede 3 hodiny, osobní 2. Osobní auto dohoní nákladní v 11:00, a to 180 km od skladu (90 · 2 = 180).

Kontrola: nákladní auto ujede 60 · 3 = 180 km, stejně jako osobní. Čas dohnání spočítá i kalkulačka výpočet času, když do ní zadáte náskok a rozdíl obou rychlostí.

Graf: dohnání je průsečík dvou přímek

Na vodorovnou osu dáme čas, na svislou vzdálenost od skladu. Nákladní auto začíná v 8:00 na nule, osobní v 9:00 také na nule, ale stoupá strměji, protože jede rychleji. Svislá vzdálenost mezi čarami je v každém okamžiku vzdálenost mezi auty: v 9:00 je to náskok 60 km, pak se zmenšuje, až je v průsečíku nulová.

Za průsečíkem je osobní auto nahoře, tedy vpředu, a vzdálenost mezi auty zase roste o 30 km každou hodinu. To se hodí v oddílu Kdy budou od sebe určitou vzdálenost.

Kolona aut a terénní vozidlo

Tahle úloha byla na této stránce jako první. Ptá se jinak: čas dohnání není neznámá, protože se ví, kde k němu došlo. Hledá se vzdálenost.

Příklad 2: jak daleko je vojenský prostor

Z kasáren vyjela kolona aut průměrnou rychlostí 28 km/h do vojenského prostoru. Za 1 hodinu a 15 minut vyjelo za kolonou terénní vozidlo rychlostí 63 km/h a přijelo do vojenského prostoru současně s kolonou. Urči vzdálenost vojenského prostoru od kasáren.

Obě vozidla jedou z kasáren do stejného cíle, jejich dráhy jsou tedy stejné. Terénní vozidlo dohnalo kolonu právě v cíli. Čas převedeme na hodiny: 1 h 15 min = 1,25 h. Kolona jede t hodin, terénní vozidlo t − 1,25:

`\begin{gathered} 28t = 63(t - 1{,}25) \\[4pt] 28t = 63t - 78{,}75 \\[4pt] 35t = 78{,}75 \\[4pt] t = 2{,}25\ \mathrm{h} \end{gathered}`

Kolona jede 2,25 h, tedy 2 h 15 min, a ujede 28 · 2,25 = 63 km. Vojenský prostor je 63 km od kasáren.

Kontrola: terénní vozidlo jede 2,25 − 1,25 = 1 hodinu a ujede 63 · 1 = 63 km.

Bez rovnice: za 1,25 h ujede kolona 28 · 1,25 = 35 km náskoku. Terénní vozidlo ho stahuje rychlostí 63 − 28 = 35 km/h, takže kolonu dožene za 1 hodinu, a to 63 km od kasáren. Protože tam dorazily současně, je to cíl.

Neznámá rychlost

Když je známý čas dohnání a chybí rychlost, stačí spočítat dráhu toho, jehož rychlost známe. Ten druhý ujel do dohnání stejně, jen za kratší dobu.

Příklad 3: autobus a auto

Autobus vyjel v 7:00 z nádraží rychlostí 60 km/h. V 7:30 za ním z nádraží vyjelo auto a dohnalo ho v 9:00. Jakou rychlostí jelo auto?

Autobus jel do dohnání 2 hodiny a ujel 60 · 2 = 120 km. Auto ujelo stejných 120 km za 1,5 hodiny:

`\begin{gathered} 1{,}5v = 60 \cdot 2 \\[10pt] v = \dfrac{120}{1{,}5} = 80\ \mathrm{km/h} \end{gathered}`

Auto jelo 80 km/h. Kontrola: 80 · 1,5 = 120 km. Náskok autobusu v 7:30 byl 30 km a auto ho stáhlo za 1,5 h, tedy rychlostí 20 km/h vůči autobusu. To je rozdíl 80 − 60.

Dohánění z různých míst

Někdy oba vyjedou ve stejnou chvíli, ale ten pomalejší je už napřed. Pak náskok není potřeba počítat, je v zadání. Dráhy tentokrát stejné nejsou: rychlejší musí ujet o celý náskok víc.

Příklad 4: auto a cyklista

Obec B leží na silnici 30 km za obcí A. V 10:00 vyjede z B cyklista rychlostí 20 km/h směrem od A. Ve stejnou chvíli vyjede z A po stejné silnici za ním auto rychlostí 80 km/h. Kdy a jak daleko od A auto cyklistu dohoní?

`\begin{gathered} s_{\text{auto}} = 30 + s_{\text{cyklista}} \\[4pt] 80t = 30 + 20t \\[4pt] 60t = 30 \\[4pt] t = 0{,}5\ \mathrm{h} \end{gathered}`

Auto dohoní cyklistu za půl hodiny, v 10:30, 40 km od A (80 · 0,5 = 40). Kontrola: cyklista ujede 20 · 0,5 = 10 km a je 30 + 10 = 40 km od A. Úvahou je to totéž: náskok 30 km, rozdíl rychlostí 60 km/h, 30 : 60 = 0,5 h.

Kdy budou od sebe určitou vzdálenost

Při dohánění má otázka „kdy budou od sebe 15 km“ obvykle dvě odpovědi: jednou předtím, než rychlejší pomalejšího dožene, a jednou potom, když už mu ujíždí. Vzdálenost se před dohnáním zmenšuje a po něm zase roste, v obou případech o rozdíl rychlostí za hodinu.

Příklad 5: znovu nákladní a osobní auto

Auta z příkladu 1: v 9:00 je nákladní auto 60 km před osobním a osobní se přibližuje o 30 km za hodinu. Kdy budou od sebe 15 km?

• Před dohnáním musí osobní auto stáhnout 60 − 15 = 45 km. To trvá 45 : 30 = 1,5 h, takže v 10:30.
• Po dohnání musí stáhnout celých 60 km a pak ještě ujet 15 km navíc, dohromady 75 km rozdílu. To trvá 75 : 30 = 2,5 h, takže v 11:30.

Kontrola: v 10:30 ujelo nákladní auto 60 · 2,5 = 150 km a osobní 90 · 1,5 = 135 km, rozdíl 15 km. V 11:30 ujelo nákladní 60 · 3,5 = 210 km a osobní 90 · 2,5 = 225 km, osobní je 15 km vpředu. V grafu nahoře jsou to dvě místa, kde jsou čáry od sebe svisle 15 km, jedno před průsečíkem a jedno za ním.

Když dva vyjedou ze stejného místa ve stejnou chvíli stejným směrem, je dohnání hned na začátku a zbývá jen ujíždění. Dva cyklisté jedoucí 18 km/h a 24 km/h jsou od sebe po hodině 6 km, takže 9 km od sebe budou za 9 : 6 = 1,5 h.

Předjíždění

Předjíždění je dohánění, při kterém záleží na délce vozidel. Auto musí vůči kamionu ujet vzdálenost, o kterou je na začátku za ním, celou délku kamionu, svou vlastní délku a mezeru, se kterou se před kamion zařadí. Vůči kamionu se přitom pohybuje jen rozdílem rychlostí.

Příklad 6: osobní auto předjíždí kamion

Kamion dlouhý 18 m jede rychlostí 72 km/h. Osobní auto dlouhé 4,5 m jede za ním rychlostí 90 km/h. Začne předjíždět, když je 20 m za kamionem, a zařadí se, až je 20 m před ním. Jak dlouho předjíždění trvá a jakou dráhu auto mezitím ujede?

Délky jsou v metrech, a tak rychlosti převedeme na m/s dělením 3,6: 90 : 3,6 = 25 m/s a 72 : 3,6 = 20 m/s. Auto se vůči kamionu posouvá rychlostí 25 − 20 = 5 m/s a musí se posunout o 20 + 18 + 4,5 + 20 = 62,5 m:

`t = \dfrac{62{,}5}{5} = 12{,}5\ \mathrm{s}`

Předjíždění trvá 12,5 sekundy a auto za tu dobu ujede 25 · 12,5 = 312,5 m. Kontrola: kamion mezitím ujede 20 · 12,5 = 250 m a 312,5 − 250 = 62,5 m.

Proto je předjíždění tak nebezpečné. Kdyby v protisměru jelo auto také 90 km/h, ujede za stejných 12,5 s dalších 312,5 m, a volná silnice před předjíždějícím tedy musí být dlouhá aspoň 625 m. Tam se rychlosti sčítají, jako u míjení vlaků. Rychlosti jiných vozidel převede kalkulačka převod rychlosti.

Časté chyby

• Sečtení rychlostí. Při pohybu stejným směrem se rychlosti odečítají. Součet patří k pohybu proti sobě a od sebe.
• Náskok v hodinách místo v kilometrech. „Vyjel o hodinu dřív“ neznamená náskok 1 km. Náskok je to, co pomalejší za tu hodinu ujede: rychlost pomalejšího krát zpoždění, ne rychlost toho, kdo dohání.
• Minuty jako desetiny hodiny. 1 h 15 min je 1,25 h, ne 1,15 h. U kolony by 1,15 h dalo místo 63 km asi 57,96 km.
• Stejný čas pro oba. Kdo vyjel později, jede do dohnání kratší dobu: t − zpoždění.
• Čas od jiného okamžiku. Úvaha s náskokem dává čas od odjezdu rychlejšího, rovnice s t obvykle čas od odjezdu pomalejšího. V příkladu 1 je to 2 h a 3 h, a obojí vede k 11:00. Když se ptají „v kolik hodin“, přičte se čas k odjezdu toho, ke komu patří.
• Dohnání za cílem. Výpočet vždy najde místo, kde se dráhy vyrovnají, i když leží za cílem cesty. Kdyby se v příkladu 4 ptali, jestli auto dožene cyklistu dřív, než projedou obcí C 35 km od A, odpověď je ne: dráhy se vyrovnají až 40 km od A. A když vyjde čas záporný nebo rozdíl rychlostí nulový, pomalejší dohnán nebude vůbec.
• Jen jedna odpověď u otázky „kdy budou od sebe 15 km“. Před dohnáním i po něm.

Příklady k procvičení

Kam dál

• Procvičování rychlosti, dráhy a času: příklady s okamžitou kontrolou na vzorec, ze kterého se tyto úlohy skládají.
• Kalkulačky výpočet času, výpočet dráhy a výpočet rychlosti s postupem a převodem jednotek.
• Lineární rovnice: dořeší rovnici, která z úlohy vyjde, a příklady na lineární rovnice k procvičení.
• Slovní úlohy o pohybu proti sobě: kdy a kde se potkají, rychlosti se sčítají.
• Rychlost, dráha a čas: vzorec v = s / t, převody jednotek a průměrná rychlost.
• Slovní úlohy na společnou práci: další typ úloh, kde jeden začne později.