Slovní úlohy o pohybu proti sobě

Když se dvě tělesa pohybují proti sobě, vzdálenost mezi nimi se každou hodinu zmenší o obě dráhy, které za tu hodinu urazí. Jejich rychlosti se proto sčítají: auto jedoucí 80 km/h a náklaďák jedoucí 60 km/h se k sobě přibližují rychlostí 140 km/h. Ve chvíli, kdy se potkají, ujeli dohromady celou vzdálenost s, a z toho vychází rovnice i čas setkání:

`\begin{gathered} s_1 + s_2 = s \\[4pt] v_1 \cdot t + v_2 \cdot t = s \\[10pt] t = \dfrac{s}{v_1 + v_2} \end{gathered}`

Vzorec pro čas platí, když oba vyjedou ve stejnou chvíli. Když jeden vyjede později nebo když hledáme neznámou rychlost, sestaví se rovnice ze stejné úvahy: dráha prvního plus dráha druhého je celá vzdálenost. Takové úlohy se počítají v 8. a 9. třídě s lineárními rovnicemi; samotný vzorec s = v · t a převody jednotek vysvětluje článek Rychlost, dráha a čas.

Níže je postup řešení, příklad se dvěma auty, úloha o letadlech s neznámou rychlostí, úloha, kde jeden vyjede později, s grafem setkání, otázka „kdy budou od sebe 5 km“ se dvěma odpověďmi, pohyb od sebe, míjení dvou vlaků, časté chyby a šest příkladů k procvičení s řešením.

Postup řešení

1. Náčrtek. Úsečka mezi místy A a B, šipky proti sobě a místo setkání. Dráhy obou se na něm sejdou a dají celou vzdálenost.
2. Jednotky. Rychlost v km/h znamená čas v hodinách: 20 minut je `\frac{1}{3}` h, ne 0,2 h.
3. Kdo jede jak dlouho. Vyjedou-li současně, jedou do setkání oba stejně dlouho, t. Vyjede-li jeden o půl hodiny později, jede o půl hodiny kratší dobu, t − 0,5.
4. Rovnice `s_1 + s_2 = s`, do ní za každou dráhu rychlost krát čas.
5. Kontrola. Spočítat obě dráhy zvlášť a sečíst je. Musí vyjít celá vzdálenost.

Příklad 1: dvě auta, kdy a kde se potkají

Z měst A a B vzdálených 210 km vyjedou ve stejnou chvíli proti sobě osobní auto rychlostí 80 km/h a nákladní auto rychlostí 60 km/h. Za jak dlouho se potkají a jak daleko od města A?

Auta se k sobě přibližují rychlostí 80 + 60 = 140 km/h. Rovnicí:

`\begin{gathered} 80t + 60t = 210 \\[4pt] 140t = 210 \\[10pt] t = \dfrac{210}{140} = 1{,}5\ \mathrm{h} \end{gathered}`

Potkají se za 1,5 hodiny, tedy za 1 h 30 min. Osobní auto za tu dobu ujede 80 · 1,5 = 120 km, takže místo setkání je 120 km od A.

Kontrola: nákladní auto ujede 60 · 1,5 = 90 km a 120 + 90 = 210 km. Rychlejší auto ujelo víc, setkání je tedy blíž k B, jak má být. Čas setkání spočítá i kalkulačka výpočet času, když do ní zadáte vzdálenost a součet obou rychlostí.

Neznámá rychlost: letadla letící proti sobě

V další úloze je čas setkání známý a hledají se rychlosti. Postup je stejný, jen neznámá je jinde.

Příklad 2: letadla

Dvě letadla startují současně z letišť A a B, letí navzájem proti sobě a setkají se za 20 minut. Vzdálenost letišť je 220 km. Průměrná rychlost letadla z A je o 60 km/h větší než průměrná rychlost letadla z B. Vypočítejte průměrné rychlosti obou letadel.

Rychlost letadla z B označíme v, letadlo z A pak letí v + 60. Čas převedeme na hodiny: 20 min = `\frac{1}{3}` h. Za tu dobu uletí obě letadla dohromady 220 km:

`\begin{gathered} (v + 60) \cdot \dfrac{1}{3} + v \cdot \dfrac{1}{3} = 220 \\[10pt] (v + 60) + v = 660 \\[4pt] 2v + 60 = 660 \\[4pt] 2v = 600 \\[4pt] v = 300\ \mathrm{km/h} \end{gathered}`

Letadlo z B letí 300 km/h, letadlo z A 360 km/h.

Kontrola: za třetinu hodiny uletí první 360 : 3 = 120 km a druhé 300 : 3 = 100 km, dohromady 220 km.

Bez rovnice: 220 km za třetinu hodiny znamená, že se letadla přibližují rychlostí 220 · 3 = 660 km/h. To je součet obou rychlostí. Rozdíl je 60 km/h, takže pomalejší letadlo má (660 − 60) : 2 = 300 km/h a rychlejší 300 + 60 = 360 km/h. Je to stejná úvaha jako v rovnici, jen bez písmenka.

Když jeden vyjede později

Ve školních úlohách často jeden vyjede dřív a druhý až po něm. Pak do setkání nejedou stejně dlouho a vzorec `t = \frac{s}{v_1 + v_2}` se nedá použít rovnou. Jsou dvě cesty: rovnice s časem t − zpoždění, nebo nejdřív spočítat, kolik ujede ten první sám, a pak teprve oba spolu.

Příklad 3: dva vlaky, v kolik se potkají

Ze stanic A a B vzdálených 150 km vyjede v 8:00 z A osobní vlak rychlostí 60 km/h. V 8:30 vyjede proti němu z B rychlík rychlostí 90 km/h. V kolik hodin a jak daleko od A se potkají?

Rovnicí. Osobní vlak jede do setkání t hodin, rychlík o půl hodiny méně, t − 0,5:

`\begin{gathered} 60t + 90(t - 0{,}5) = 150 \\[4pt] 60t + 90t - 45 = 150 \\[4pt] 150t = 195 \\[4pt] t = 1{,}3\ \mathrm{h} \end{gathered}`

Desetiny hodiny se převádějí na minuty násobením šedesáti: 0,3 · 60 = 18 minut. Osobní vlak jede 1 h 18 min, takže se vlaky potkají v 9:18, a to 78 km od A (60 · 1,3 = 78).

Úvahou. Než rychlík vyjede, ujede osobní vlak za půl hodiny 30 km. Mezi vlaky pak zbývá 150 − 30 = 120 km a od 8:30 se přibližují rychlostí 60 + 90 = 150 km/h. Těch 120 km stáhnou za `\frac{120}{150}` = 0,8 h, tedy 48 minut. 8:30 a 48 minut je 9:18.

Kontrola: rychlík jede 0,8 h a ujede 90 · 0,8 = 72 km. 78 + 72 = 150 km.

Graf: setkání je průsečík dvou přímek

Stejný příklad se dá nakreslit do grafu. Na vodorovnou osu dáme čas, na svislou vzdálenost od stanice A. Osobní vlak začíná v 8:00 na nule a stoupá, rychlík začíná v 8:30 nahoře na 150 km a klesá k nule. Místo, kde se čáry protnou, je setkání: na vodorovné ose se z něj přečte čas, na svislé vzdálenost od A.

Strmější čára patří rychlejšímu vlaku. Graf se hodí jako kontrola: když vyjde setkání v jiném čase, než kde se čáry kříží, je chyba v rovnici.

Kdy budou od sebe určitou vzdálenost

Otázka „za jak dlouho budou od sebe 5 km“ má u pohybu proti sobě obvykle dvě odpovědi: jednou před setkáním, kdy se k sobě teprve blíží, a jednou po něm, kdy se už zase vzdalují. Kdo najde jen první, má úlohu napůl.

Příklad 4: dva chodci

Dva chodci vyjdou současně proti sobě z obcí vzdálených 20 km, první rychlostí 4 km/h, druhý 6 km/h. Za jak dlouho budou od sebe 5 km?

Přibližují se rychlostí 4 + 6 = 10 km/h.

• Před setkáním musí ujít dohromady 20 − 5 = 15 km. To trvá 15 : 10 = 1,5 h, tedy 1 h 30 min.
• Po setkání jdou dál a vzdalují se stejně rychle, jako se předtím blížili. Dohromady tedy ujdou 20 + 5 = 25 km, a to trvá 25 : 10 = 2,5 h, tedy 2 h 30 min.

Kontrola: po 1,5 h je první chodec 6 km od své obce, druhý 9 km od své, mezi nimi zbývá 20 − 15 = 5 km. Po 2,5 h ušel první 10 km a druhý 15 km. Sešli se po 2 hodinách, 8 km od obce prvního, a od té chvíle se vzdalují 10 km za hodinu, takže za další půlhodinu jsou od sebe 5 km.

Pohyb od sebe

Když dva vyjedou ze stejného místa opačnými směry, vzdálenost mezi nimi naopak každou hodinu roste o obě dráhy. Rychlosti se sčítají stejně jako u pohybu proti sobě, jen se vzdálenost nezmenšuje, ale zvětšuje.

Příklad 5: auta z jedné křižovatky

Z jedné křižovatky vyjedou ve stejnou chvíli dvě auta opačnými směry, jedno rychlostí 70 km/h, druhé 50 km/h. Za jak dlouho budou od sebe 300 km?

`\begin{gathered} 70t + 50t = 300 \\[4pt] 120t = 300 \\[4pt] t = 2{,}5\ \mathrm{h} \end{gathered}`

Za 2 h 30 min. Kontrola: 70 · 2,5 = 175 km a 50 · 2,5 = 125 km, dohromady 300 km.

Rychlosti se odečítají jen tehdy, když jedou oba stejným směrem a jeden druhého dohání nebo mu ujíždí. Takové úlohy řeší článek Auta jedoucí za sebou.

Míjení dvou vlaků

Zvláštní případ pohybu proti sobě: jak dlouho trvá, než se dva vlaky minou. Míjení začíná, když se potkají lokomotivy, a končí, když se minou konce posledních vagonů. Za tu dobu musí oba vlaky dohromady ujet součet svých délek.

Příklad 6: osobní vlak a nákladní vlak

Osobní vlak dlouhý 150 m jede rychlostí 72 km/h. Proti němu jede nákladní vlak dlouhý 200 m rychlostí 54 km/h. Jak dlouho trvá, než se minou?

Délky jsou v metrech, a tak rychlosti převedeme na m/s dělením 3,6: 72 : 3,6 = 20 m/s a 54 : 3,6 = 15 m/s. Vlaky se míjejí rychlostí 20 + 15 = 35 m/s a musí spolu ujet 150 + 200 = 350 m:

`t = \dfrac{350}{35} = 10\ \mathrm{s}`

Míjení trvá 10 sekund. Kontrola: osobní vlak za 10 s ujede 200 m, nákladní 150 m, dohromady 350 m. Pro převod jiných rychlostí je tu kalkulačka převod rychlosti.

Časté chyby

• Minuty jako desetiny hodiny. 20 minut není 0,2 h, ale `\frac{1}{3}` h. V úloze o letadlech by 0,2 h dalo rychlosti 520 a 580 km/h místo 300 a 360.
• Stejný čas pro oba, i když jeden vyjel později. Kdo vyjel o půl hodiny později, jede do setkání t − 0,5, ne t.
• Odečtení rychlostí. Proti sobě i od sebe se rychlosti sčítají; odečítají se jen při pohybu stejným směrem.
• Místo setkání měřené odjinud. „Jak daleko od A“ je dráha toho, kdo vyjel z A. Dráha druhého udává vzdálenost od B.
• Čas jízdy místo hodin na ciferníku. Když se ptají „v kolik hodin“, přičte se čas jízdy k času odjezdu, a to k odjezdu toho, k jehož jízdě se t vztahuje.
• Jen jedna odpověď u otázky „kdy budou od sebe 5 km“. Před setkáním i po něm.
• Bez kontroly. Obě dráhy spočítané zvlášť musí dát dohromady celou vzdálenost. Rychlejší ujede víc, takže setkání leží blíž k místu, odkud vyjel pomalejší (pokud vyjeli současně).

Příklady k procvičení

Kam dál

• Procvičování rychlosti, dráhy a času: příklady s okamžitou kontrolou na vzorec, ze kterého se tyto úlohy skládají.
• Kalkulačky výpočet času, výpočet dráhy a výpočet rychlosti s postupem a převodem jednotek.
• Lineární rovnice: dořeší rovnici, která z úlohy vyjde, a příklady na lineární rovnice k procvičení.
• Auta jedoucí za sebou: pohyb stejným směrem a dohánění.
• Slovní úlohy na společnou práci: stejná myšlenka, jen se místo drah sčítají díly práce.
• Soustava dvou rovnic a slovní úlohy: pohyb, kde jsou neznámé dvě.