Rovnoměrně zrychlený pohyb, volný pád a vrhy

Rovnoměrně zrychlený pohyb je pohyb, při kterém se rychlost tělesa za každou sekundu změní o stejně mnoho. Tu změnu za sekundu udává zrychlení a v metrech za sekundu na druhou (m/s²). Rozjíždějící se auto, vlak, který brzdí, i kámen padající ze skály se pohybují (přibližně) rovnoměrně zrychleně. Všechno, co se na nich počítá, vychází ze tří vzorců:

`\begin{gathered}a = \dfrac{v - v_0}{t} \\[10pt] v = v_0 + a \cdot t \\[10pt] s = v_0 \cdot t + \dfrac{1}{2} a t^2\end{gathered}`

Tady v₀ je počáteční rychlost, v rychlost po čase t a s dráha, kterou těleso za ten čas urazí. Když těleso startuje z klidu, je v₀ = 0 a zbude v = a · t a s = ½ a t². Vlastní čísla dosadíte do kalkulaček výpočet zrychlení, rychlost při zrychlení a dráha při zrychlení, které ukážou celý postup. Zrychlený pohyb, volný pád a vrhy se probírají v 1. ročníku střední školy; rovnoměrný pohyb s v = s / t, ze kterého tohle téma vychází, vysvětluje článek Rychlost, dráha a čas.

Zrychlení: vzorec a jednotka

Zrychlení říká, jak rychle se mění rychlost. Spočítá se jako změna rychlosti dělená dobou, za kterou ke změně došlo:

`a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{v - v_0}{t}`

Jednotka vychází z dosazení: metry za sekundu dělené sekundami jsou m/s². Zrychlení 3 m/s² znamená, že těleso jede každou sekundu o 3 m/s rychleji. Rychlosti se do vzorce dosazují v m/s; kdo dosadí km/h, dostane číslo 3,6krát větší a bez smyslu.

Když těleso zpomaluje, je koncová rychlost menší než počáteční a zrychlení vyjde záporné. Takovému pohybu se říká rovnoměrně zpomalený a velikosti záporného zrychlení zpomalení. Vzorce zůstávají stejné, jen se do nich dosadí záporné a.

Příklad 1: zrychlení auta

Auto zrychlí z 0 na 100 km/h za 9,5 s. Jaké je jeho průměrné zrychlení?

Nejdřív převedeme rychlost na m/s, dělíme 3,6:

`\begin{gathered}v = 100\ \mathrm{km/h} = \dfrac{100}{3{,}6}\ \mathrm{m/s} \doteq 27{,}78\ \mathrm{m/s} \\[10pt] a = \dfrac{27{,}78 - 0}{9{,}5}\ \mathrm{m/s^2} \doteq 2{,}92\ \mathrm{m/s^2}\end{gathered}`

Kontrola: auto přidává necelé 3 m/s každou sekundu, za 9,5 s tedy asi 28 m/s, a to je těch 100 km/h. Pro srovnání: volný pád má zrychlení 9,81 m/s², víc než třikrát větší. Výpočet i s převodem jednotek ukáže kalkulačka výpočet zrychlení, která bere rychlosti rovnou v km/h.

Rychlost a dráha rovnoměrně zrychleného pohybu

Ze vzorce pro zrychlení se vyjádří rychlost v čase t. K počáteční rychlosti se každou sekundu přičte a:

`v = v_0 + a \cdot t`

Dráha je složitější, protože rychlost se pořád mění a vzorec s = v · t z rovnoměrného pohybu tu nejde použít jen tak. Pomůže graf rychlosti v závislosti na čase. U rovnoměrného pohybu je to vodorovná přímka a dráha je plocha obdélníku pod ní, v · t. U rovnoměrně zrychleného pohybu je grafem šikmá přímka a dráha je zase plocha pod grafem:

Plocha se rozpadne na obdélník o výšce v₀, to je dráha, kterou by těleso ujelo bez zrychlení, a na trojúhelník se základnou t a výškou a · t, to je dráha navíc díky zrychlení. Sečtené dávají dráhu rovnoměrně zrychleného pohybu:

`s = v_0 \cdot t + \dfrac{1}{2} a t^2`

Stejný výsledek dá i průměrná rychlost. Rychlost roste rovnoměrně, takže průměrná rychlost je přesně v polovině mezi počáteční a koncovou, (v₀ + v) / 2, a dráha je průměrná rychlost krát čas. To je zároveň nejrychlejší kontrola výsledku.

Příklad 2: koncová rychlost a dráha

Cyklista jede rychlostí 5 m/s a začne zrychlovat se zrychlením 2 m/s². Jakou rychlost má po 8 sekundách a jakou dráhu za tu dobu ujede?

`\begin{gathered}v = 5 + 2 \cdot 8 = 21\ \mathrm{m/s} \\[10pt] s = 5 \cdot 8 + \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 8^2 = 40 + 64 = 104\ \mathrm{m}\end{gathered}`

Kontrola průměrnou rychlostí: (5 + 21) / 2 = 13 m/s a 13 · 8 = 104 m. To jsou přesně čísla z grafu nahoře: 40 m obdélník, 64 m trojúhelník. Kalkulačka rychlost při zrychlení spočítá z v₀, a a t obojí najednou.

Dráha roste s druhou mocninou času

Když těleso startuje z klidu, je s = ½ a t² a dráha roste s druhou mocninou času. Za dvojnásobný čas ujede čtyřikrát delší dráhu, za trojnásobný devětkrát. Tabulka pro zrychlení 2 m/s²:

Rychlost roste rovnoměrně, o 2 m/s za sekundu. Dráhy za jednotlivé sekundy jdou za sebou jako lichá čísla 1 : 3 : 5 : 7, a to při jakémkoli zrychlení, pokud těleso vyjelo z klidu. Tohle pravidlo objevil Galileo Galilei, když pouštěl kuličky po nakloněné rovině. Dráhu pro libovolné v₀, a a t spočítá kalkulačka dráha při zrychlení.

Grafy rovnoměrně zrychleného pohybu jsou tedy tři různé křivky: graf zrychlení je vodorovná přímka (a se nemění), graf rychlosti šikmá přímka a graf dráhy část paraboly, protože s závisí na t².

Zpomalený pohyb a brzdná dráha

Při brzdění má zrychlení opačný směr než rychlost. Těleso zastaví, až v = v₀ − a · t klesne na nulu, kde a je teď velikost zpomalení. Odtud doba brzdění a z ní dosazením do vzorce pro dráhu i brzdná dráha:

`\begin{gathered}t = \dfrac{v_0}{a} \\[10pt] s_b = \dfrac{v_0^2}{2a}\end{gathered}`

Řidič ale nezačne brzdit hned. Než překážku uvidí a sešlápne brzdu, uplyne reakční doba, zhruba 1 sekunda, a auto mezitím jede plnou rychlostí. To je reakční dráha s_r = v₀ · t_r. Dráha do zastavení je součet obou.

Příklad 3: dráha do zastavení

Auto jede 90 km/h, reakční doba řidiče je 1 s a auto brzdí se zpomalením 6 m/s². Na jaké dráze zastaví?

`\begin{gathered}v_0 = 90\ \mathrm{km/h} = 25\ \mathrm{m/s} \\[10pt] s_r = 25 \cdot 1 = 25\ \mathrm{m} \\[10pt] s_b = \dfrac{25^2}{2 \cdot 6} = \dfrac{625}{12} \doteq 52{,}08\ \mathrm{m} \\[10pt] s = 25 + 52{,}08 = 77{,}08\ \mathrm{m}\end{gathered}`

Kontrola: brzdění trvá 25 / 6 ≐ 4,17 s při průměrné rychlosti 12,5 m/s, a 12,5 · 4,17 ≐ 52 m. Brzdná dráha roste s druhou mocninou rychlosti. Při stejném brzdění zastaví auto z 50 km/h na zhruba 30 metrech celkem, ze 100 km/h až na 92 metrech, přestože jede jen dvakrát rychleji. Kalkulačka brzdná dráha to spočítá pro vaši rychlost a ukáže i to, co udělá dvojnásobná.

Vzorec pro brzdnou dráhu je zvláštní případ obecnějšího vztahu mezi rychlostmi a dráhou, ve kterém vůbec není čas. Hodí se, když čas nikdo nezadal:

`v^2 - v_0^2 = 2 a s`

Volný pád

Volný pád je pohyb tělesa puštěného z klidu, na které působí jen tíhová síla. Je to rovnoměrně zrychlený pohyb se zrychlením g = 9,81 m/s², tíhovým zrychlením. Ve sbírkách se často počítá se zaokrouhleným g = 10 m/s²; v příkladech tady je 9,81, stejně jako v kalkulačkách. Vzorce jsou ty z prvního odstavce s v₀ = 0 a a = g:

`\begin{gathered}v = g \cdot t \\[10pt] h = \dfrac{1}{2} g t^2\end{gathered}`

Když známe výšku a chceme čas pádu a dopadovou rychlost, vyjádříme je z těch dvou vzorců:

`\begin{gathered}t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}} \\[10pt] v = \sqrt{2gh}\end{gathered}`

Na hmotnosti tělesa nezáleží. Těžší kámen má větší tíhovou sílu, ale i větší setrvačnost, a obojí se přesně vyruší. Ve vakuu padají kladivo i pírko stejně rychle; astronaut David Scott to v roce 1971 předvedl na Měsíci. Na Zemi pírko brzdí odpor vzduchu, a proto se ve vzorcích volného pádu odpor vzduchu zanedbává. U kamene padajícího pár metrů je to v pořádku, u parašutisty už vůbec ne.

Příklad 4: pád z výšky 20 m

Z výšky 20 m pustíme kámen. Za jak dlouho dopadne a jakou rychlostí?

`\begin{gathered}t = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 20}{9{,}81}}\ \mathrm{s} \doteq 2{,}02\ \mathrm{s} \\[10pt] v = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 20}\ \mathrm{m/s} \doteq 19{,}81\ \mathrm{m/s}\end{gathered}`

To je asi 71 km/h. Kontrola z tabulky: za 2 s spadne kámen 19,62 m, takže 20 m musí trvat o kousek déle než 2 s. Stejnou dopadovou rychlost dá i zákon zachování energie: polohová energie m g h se změní na pohybovou ½ m v² a hmotnost se zkrátí. To počítá kalkulačka přeměna polohové energie na pohybovou. Pád z dané výšky spočítá volný pád z výšky, opačnou úlohu, kdy znáte dobu pádu, volný pád za daný čas.

Svislý vrh vzhůru

Míček vyhozený svisle vzhůru rychlostí v₀ se pohybuje rovnoměrně zpomaleně se zpomalením g, dokud se nezastaví v nejvyšším bodě. Pak padá volným pádem zpátky. Ze vzorců pro brzdění, s a = g:

`\begin{gathered}t_v = \dfrac{v_0}{g} \\[10pt] h_{\mathrm{max}} = \dfrac{v_0^2}{2g}\end{gathered}`

Pád zpátky trvá stejně dlouho jako výstup a míček dopadne do ruky stejnou rychlostí, jakou byl vyhozen, jen opačným směrem. Míček vyhozený rychlostí 10 m/s vystoupá za 1,02 s do výšky 100 / 19,62 ≐ 5,1 m.

Vodorovný vrh

Kámen hozený vodorovně z výšky h rychlostí v₀ letí po parabole. Celý trik je v tom, že se jeho pohyb rozloží na dva nezávislé pohyby. Vodorovně letí rovnoměrně rychlostí v₀, protože vodorovně na něj nic nepůsobí. Svisle padá volným pádem, úplně stejně jako kámen, který bychom z té výšky jen pustili. Oba pohyby spojuje jen společný čas:

`\begin{gathered}x = v_0 \cdot t \\[10pt] y = h - \dfrac{1}{2} g t^2\end{gathered}`

Doba letu je proto stejná jako doba volného pádu z výšky h, a dolet je vodorovná rychlost krát tento čas:

`\begin{gathered}t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}} \\[10pt] d = v_0 \cdot \sqrt{\dfrac{2h}{g}}\end{gathered}`

Příklad 5: kámen ze skály

Ze skály vysoké 45 m hodíme kámen vodorovně rychlostí 20 m/s. Za jak dlouho a jak daleko od skály dopadne?

`\begin{gathered}t = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 45}{9{,}81}}\ \mathrm{s} \doteq 3{,}03\ \mathrm{s} \\[10pt] d = 20 \cdot 3{,}029\ \mathrm{m} \doteq 60{,}58\ \mathrm{m}\end{gathered}`

Vodorovně urazí kámen každou sekundu stejných 20 m, svisle padá stále rychleji. Kontrola: z tabulky volného pádu spadne kámen za 3 s 44,15 m, tedy skoro celých 45 m, a tak má let trvat o málo víc než 3 s. Dopadová rychlost se skládá ze dvou kolmých složek, vodorovné 20 m/s a svislé g · t ≐ 29,71 m/s, a podle Pythagorovy věty je √(20² + 29,71²) ≐ 35,8 m/s. Vlastní zadání spočítá kalkulačka vodorovný vrh.

Šikmý vrh

Při šikmém vrhu míří počáteční rychlost v₀ šikmo vzhůru pod elevačním úhlem α. Postup je stejný jako u vodorovného vrhu, jen se rychlost nejdřív rozloží na vodorovnou a svislou složku. Pomocí sinu a kosinu v pravoúhlém trojúhelníku (viz Úvod do Goniometrie/Trigonometrie):

`\begin{gathered}v_{0x} = v_0 \cos\alpha \\[10pt] v_{0y} = v_0 \sin\alpha\end{gathered}`

Vodorovně je to rovnoměrný pohyb rychlostí v_0x, svisle svislý vrh vzhůru rychlostí v_0y. Pro vrh ze země na zem z toho vyjde doba letu, největší výška a dolet:

`\begin{gathered}T = \dfrac{2 v_0 \sin\alpha}{g} \\[10pt] h_{\mathrm{max}} = \dfrac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g} \\[10pt] d = \dfrac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}\end{gathered}`

Ve vzorci pro dolet se součin 2 sin α cos α, který vznikne dosazením, zapisuje jako sin 2α. Ten je největší, rovný 1, pro 2α = 90°. Nejdál proto doletí vrh pod úhlem 45°. Úhly, které se doplňují do 90°, třeba 30° a 60°, mají stejné sin 2α, a tedy stejný dolet; jeden vrh letí nízko a rychle, druhý vysoko a pomalu.

Příklad 6: míč pod úhlem 45°

Míč vykopneme ze země rychlostí 20 m/s pod úhlem 45°. Jak daleko doletí, jak vysoko vyletí a jak dlouho bude ve vzduchu?

`\begin{gathered}d = \dfrac{20^2 \cdot \sin 90^\circ}{9{,}81}\ \mathrm{m} \doteq 40{,}77\ \mathrm{m} \\[10pt] h_{\mathrm{max}} = \dfrac{20^2 \cdot \sin^2 45^\circ}{2 \cdot 9{,}81}\ \mathrm{m} \\[10pt] h_{\mathrm{max}} = \dfrac{400 \cdot 0{,}5}{19{,}62}\ \mathrm{m} \doteq 10{,}19\ \mathrm{m} \\[10pt] T = \dfrac{2 \cdot 20 \cdot \sin 45^\circ}{9{,}81}\ \mathrm{s} \doteq 2{,}88\ \mathrm{s}\end{gathered}`

Kontrola: vodorovná složka rychlosti je 20 · cos 45° ≐ 14,14 m/s a za 2,88 s s ní míč urazí 14,14 · 2,88 ≐ 40,8 m, to je dolet. Ve skutečnosti doletí míč méně a nejlepší úhel je nižší než 45°, protože ho brzdí vzduch. Vzorec pro dolet platí jen pro vrh ze země na zem. Když se hází z výšky, třeba koulí z ramene, počítá se se dvěma pohyby jako u vodorovného vrhu. Kalkulačka šikmý vrh zvládne i výšku místa odhodu a najde pro ni úhel s největším doletem.

Pohyb po kružnici a dostředivé zrychlení

Zrychlení nemusí měnit jen velikost rychlosti, může měnit i její směr. Těleso, které obíhá po kružnici o poloměru r stále stejně rychle, má rovnoměrný pohyb po kružnici. Za jednu periodu T oběhne obvod kružnice 2πr, takže jeho obvodová rychlost je:

`\begin{gathered}v = \dfrac{2\pi r}{T} = 2\pi r f \\[10pt] \omega = 2\pi f \\[10pt] v = \omega r\end{gathered}`

Tady f je frekvence otáčení, počet oběhů za sekundu, a ω úhlová rychlost v rad/s. Velikost rychlosti se nemění, její směr ale ano, a proto má těleso zrychlení. Míří stále do středu kružnice a jmenuje se dostředivé zrychlení:

`a_d = \dfrac{v^2}{r} = \omega^2 r`

Buben pračky o poloměru 25 cm se při ždímání otáčí 1200krát za minutu, tedy s frekvencí 20 Hz. Obvodová rychlost je 2π · 0,25 · 20 ≐ 31,42 m/s a dostředivé zrychlení 31,42² / 0,25 ≐ 3948 m/s², asi čtyřistakrát víc než g. Prádlo přitlačené ke stěně bubnu takové zrychlení od stěny dostane, vodu v látce ale nic ke středu netlačí. Látka ji neudrží, a tak voda odletí otvory v bubnu. Perioda, frekvence a otáčky za minutu se převádějí v kalkulačce perioda a frekvence, obvodovou rychlost a dostředivé zrychlení spočítá obvodová rychlost. Sílu, která takové zrychlení způsobí, popisuje 2. Newtonův zákon (Newtonovy zákony a třecí síla) a počítá ji kalkulačka dostředivá síla.

Časté chyby

• Rychlost v km/h dosazená do vzorce se zrychlením v m/s². Nejdřív převést: km/h dělit 3,6. Dosadit 90 místo 25 m/s do brzdné dráhy dá skoro třináctkrát delší výsledek.
• Zapomenutá polovina nebo druhá mocnina. Dráha je ½ a t², ne a · t ani a t². Kontrola průměrnou rychlostí, (v₀ + v) / 2 · t, odhalí obojí.
• s = v · t pro zrychlený pohyb. Dosadit koncovou rychlost do vzorce rovnoměrného pohybu dá dvojnásobnou dráhu, když těleso startuje z klidu. Rychlost se mění, takže patří průměrná.
• Těžší těleso padá rychleji. Bez odporu vzduchu ne. Ve vzorcích volného pádu hmotnost vůbec není.
• U vrhu se sčítají rychlosti obou směrů. Vodorovná a svislá složka jsou na sebe kolmé, výsledná rychlost se počítá Pythagorovou větou, ne součtem: 20 m/s a 29,71 m/s dají 35,8 m/s, ne 49,71 m/s.
• Brzdná dráha roste úměrně rychlosti. Roste s druhou mocninou: dvojnásobná rychlost znamená čtyřnásobnou brzdnou dráhu.

Příklady k procvičení

Počítejte s g = 9,81 m/s² a bez odporu vzduchu.

Kam dál

• Kalkulačky na pohyb a rychlost: zrychlení, rychlost při zrychlení, dráha při zrychlení, brzdná dráha, volný pád z výšky, vodorovný vrh, šikmý vrh a obvodová rychlost.
• Rovnoměrný pohyb a převody km/h na m/s: Rychlost, dráha a čas, s příklady v procvičování rychlost, dráha a čas.
• Proč se tělesa zrychlují, síla a zrychlení: Newtonovy zákony a třecí síla.
• Energie místo vzorců pohybu, dopadová rychlost z polohové energie: Práce, výkon a energie.
• Periodický pohyb kyvadla a pružiny: Kmitání: kyvadlo, pružina a harmonický pohyb.