Kmitání: kyvadlo, pružina a harmonický pohyb

Kmitání je pohyb, při kterém se těleso pravidelně vrací do stejných poloh kolem své rovnovážné polohy: kyvadlo hodin, závaží na pružině, struna kytary. Doba jednoho kmitu je perioda T, počet kmitů za sekundu je frekvence f a největší výchylka z rovnovážné polohy je amplituda. Periodu kyvadla a pružinového oscilátoru dávají dva vzorce:

`\begin{gathered}T = 2\pi \sqrt{\dfrac{l}{g}} \quad \text{(kyvadlo)} \\[10pt] T = 2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k}} \quad \text{(pružina)}\end{gathered}`

U kyvadla rozhoduje délka závěsu l, u pružiny hmotnost závaží m a tuhost pružiny k. Hmotnost závaží v periodě kyvadla vůbec není. Vlastní čísla spočítají kalkulačky sady kmitání: kyvadlo, pružina a harmonický pohyb, například perioda kyvadla nebo perioda pružiny. Mechanické kmitání se na střední škole probírá ve 2. ročníku, kyvadlo a pojmy perioda a frekvence potkáte už na základní škole u zvuku.

Perioda, frekvence a amplituda

Kmitavý pohyb popisuje několik veličin. Všechny se dají ukázat na houpačce: rovnovážná poloha je místo, kde houpačka visí v klidu, výchylka je to, o kolik je z něj zrovna vychýlená, a krajní poloha je místo, kde se na okamžik zastaví a vrací se zpět.

Perioda a frekvence jsou převrácené hodnoty:

`\begin{gathered}f = \dfrac{1}{T} \\[10pt] \omega = 2\pi f = \dfrac{2\pi}{T}\end{gathered}`

Pozor na rozdíl mezi kmitem a kyvem. Kmit je celý pohyb tam i zpět, kyv jen polovina, z jedné krajní polohy do druhé. Perioda je doba kmitu, takže kyv trvá T / 2. Převod mezi periodou a frekvencí, i na otáčky za minutu, udělá kalkulačka perioda a frekvence.

Příklad 1: perioda z počtu kmitů

Kyvadlo vykoná 20 kmitů za 30 s. Jaká je jeho perioda a frekvence?

`\begin{gathered}T = \dfrac{30\ \mathrm{s}}{20} = 1{,}5\ \mathrm{s} \\[10pt] f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{1{,}5\ \mathrm{s}} \doteq 0{,}67\ \mathrm{Hz}\end{gathered}`

Kontrola: 0,67 kmitu za sekundu krát 30 sekund dává 20 kmitů. Periodu se vyplatí měřit takhle, z většího počtu kmitů. Jeden kmit trvá tak krátce, že by chyba stopek při zmáčknutí byla větší než celý rozdíl, který chceme změřit.

Harmonický pohyb: výchylka, rychlost a zrychlení

Nejjednodušší kmitání je harmonické. Jeho výchylka se s časem mění podle sinu a graf výchylky je sinusoida:

`y = y_m \sin(\omega t + \varphi_0)`

Úhel ωt + φ₀ je fáze kmitání a φ₀ je počáteční fáze, tedy fáze v čase t = 0. Když začneme měřit ve chvíli, kdy těleso prochází rovnovážnou polohou směrem nahoru, je φ₀ = 0 a zbude y = y_m sin ωt. Fáze se dosazuje v radiánech, takže kalkulačka musí být přepnutá na RAD. Jak sinusoida vzniká a proč má periodu 2π, vysvětluje článek Funkce sinus a kosekans.

Harmonický pohyb vznikne, kdykoli na těleso působí síla, která je úměrná výchylce a míří zpátky do rovnovážné polohy. Proto i zrychlení je úměrné výchylce a má opačný směr. Rychlost a zrychlení harmonického pohybu jsou:

`\begin{gathered}v = \omega y_m \cos(\omega t + \varphi_0) \\[10pt] a = -\omega^2 y_m \sin(\omega t + \varphi_0) = -\omega^2 y\end{gathered}`

Z toho plyne, kde je co největší. V rovnovážné poloze je výchylka nulová, zrychlení také nulové a rychlost největší, v_m = ωy_m. V krajní poloze se těleso na okamžik zastaví, rychlost je nulová a zrychlení největší, a_m = ω²y_m.

Příklad 2: výchylka v daném čase

Těleso kmitá harmonicky s amplitudou 10 cm a periodou 2 s, v čase 0 prochází rovnovážnou polohou. Jaká je jeho výchylka, rychlost a zrychlení v čase 0,25 s?

`\begin{gathered}\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{2\ \mathrm{s}} = \pi\ \mathrm{s^{-1}} \doteq 3{,}14\ \mathrm{s^{-1}} \\[10pt] \omega t = \pi \cdot 0{,}25 = \dfrac{\pi}{4} \\[10pt] y = 0{,}1 \cdot \sin\dfrac{\pi}{4} \doteq 0{,}0707\ \mathrm{m} \\[10pt] v = 0{,}1 \cdot \pi \cdot \cos\dfrac{\pi}{4} \doteq 0{,}222\ \mathrm{m/s} \\[10pt] a = -\pi^2 \cdot 0{,}0707 \doteq -0{,}698\ \mathrm{m/s^2}\end{gathered}`

Výchylka je asi 7,07 cm. Kontrola: 0,25 s je osmina periody, fáze π/4 je 45° a sin 45° ≐ 0,707, takže výchylka je 70,7 % amplitudy. Záporné zrychlení znamená, že míří dolů, proti výchylce. Největší rychlost by byla π · 0,1 ≐ 0,314 m/s a největší zrychlení π² · 0,1 ≐ 0,987 m/s². Tenhle příklad má nastavený kalkulačka harmonický pohyb, která počítá s nulovou počáteční fází.

Pružinový oscilátor a Hookův zákon

Pružinový oscilátor je závaží zavěšené na pružině. Pružina působí silou podle Hookova zákona: síla je přímo úměrná prodloužení. Konstanta úměrnosti k je tuhost pružiny v newtonech na metr a říká, jakou silou pružinu natáhneme o jeden metr.

`F = k \cdot \Delta l`

Například pružina o tuhosti 20 N/m natažená o 5 cm, tedy o 0,05 m, táhne silou 20 · 0,05 = 1 N. Sílu, prodloužení nebo tuhost dopočítá kalkulačka Hookův zákon. Když se závaží z rovnovážné polohy vychýlí o y, změní se síla pružiny o k · y a ta táhne zpět. Výsledná síla je F = −ky, úměrná výchylce a proti ní, takže kmitání je harmonické. Z druhého Newtonova zákona (článek Newtonovy zákony a třecí síla) vyjde a = −(k/m) · y. Porovnáním s a = −ω²y dostaneme ω² = k/m, a tedy:

`\begin{gathered}\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}} \\[10pt] T = 2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k}}\end{gathered}`

Těžší závaží kmitá pomaleji, tužší pružina rychleji. Hmotnost i tuhost jsou pod odmocninou, takže čtyřnásobné závaží periodu jen zdvojnásobí. Tíhové zrychlení ve vzorci není: tíha závaží jen posune rovnovážnou polohu níž, ale periodu nezmění. Proto pružinový oscilátor kmitá stejně na Zemi, na Měsíci i ve stavu beztíže a kosmonauti se na oběžné dráze váží právě jím.

Příklad 3: perioda závaží na pružině

Na pružině o tuhosti 20 N/m kmitá závaží o hmotnosti 0,5 kg. Jaká je perioda a frekvence?

`\begin{gathered}T = 2\pi \sqrt{\dfrac{0{,}5}{20}} = 2\pi \sqrt{0{,}025} \doteq 0{,}993\ \mathrm{s} \\[10pt] f = \dfrac{1}{T} \doteq 1{,}01\ \mathrm{Hz}\end{gathered}`

Závaží udělá zhruba jeden kmit za sekundu. Výpočet s postupem ukáže kalkulačka perioda pružiny.

Příklad 4: tuhost z protažení

Závaží o hmotnosti 200 g protáhne pružinu o 4 cm. Jakou tuhost má pružina a s jakou periodou bude závaží kmitat?

V klidu je tíha závaží v rovnováze se silou pružiny, mg = k · Δl:

`\begin{gathered}k = \dfrac{m g}{\Delta l} = \dfrac{0{,}2 \cdot 9{,}81}{0{,}04} = 49{,}05\ \mathrm{N/m} \\[10pt] T = 2\pi \sqrt{\dfrac{0{,}2}{49{,}05}} \doteq 0{,}401\ \mathrm{s}\end{gathered}`

Kontrola: z mg = kΔl plyne m/k = Δl/g, takže stejně vyjde T = 2π √(0,04 / 9,81) ≐ 0,401 s. Pružinový oscilátor má stejnou periodu jako kyvadlo, jehož délka se rovná protažení pružiny.

Kyvadlo

Matematické kyvadlo je malé závaží na tenkém závěsu, jehož hmotnost zanedbáme. Kýve se v tíhovém poli a jeho perioda závisí jen na délce závěsu l a na tíhovém zrychlení g:

`T = 2\pi \sqrt{\dfrac{l}{g}}`

Hmotnost závaží ve vzorci chybí. Těžké i lehké kyvadlo stejné délky kmitají stejně rychle. Tíha těžšího závaží je sice větší, ale stejně tolikrát je větší i jeho setrvačnost, a obojí se vykrátí. Vzorec platí pro malé výchylky, zhruba do 5°. Při větších je perioda o něco delší, při výchylce 20° asi o 0,8 %.

Příklad 5: kyvadlo dlouhé metr

`T = 2\pi \sqrt{\dfrac{1}{9{,}81}} \doteq 2{,}006\ \mathrm{s}`

Metrové kyvadlo kmitá s periodou téměř přesně 2 s, každý kyv tedy trvá asi sekundu. Sekundové kyvadlo starých hodin, s periodou přesně 2 s, je dlouhé 99,4 cm. Délka je pod odmocninou, takže čtyřikrát delší kyvadlo (4 m) má periodu jen dvakrát delší, asi 4,01 s. Na Měsíci, kde je g = 1,62 m/s², by metrové kyvadlo kmitalo s periodou 4,94 s. Spočítá to kalkulačka perioda kyvadla, opačný směr, délku pro zadanou periodu, kalkulačka délka kyvadla.

Příklad 6: měření tíhového zrychlení

Ve fyzikální laboratoři má kyvadlo délku 80 cm a 10 kmitů trvá 17,9 s. Jaké tíhové zrychlení z toho vyjde?

`\begin{gathered}T = \dfrac{17{,}9\ \mathrm{s}}{10} = 1{,}79\ \mathrm{s} \\[10pt] g = \dfrac{4\pi^2 l}{T^2} = \dfrac{4\pi^2 \cdot 0{,}8}{1{,}79^2} \doteq 9{,}86\ \mathrm{m/s^2}\end{gathered}`

Výsledek se od tabulkových 9,81 m/s² liší o půl procenta, což je při měření stopkami dobrá shoda. Vzorec pro g je jen vzorec pro periodu vyjádřený pro jinou neznámou.

Kyvadlo a pružina vedle sebe

Oba oscilátory vypadají podobně, ale na vnějších podmínkách závisí opačně. Na to se v testech ptají nejčastěji.

Energie kmitání

Při kmitání se energie neustále přelévá mezi dvěma podobami. V krajní poloze je závaží v klidu a všechna energie je uložená v napjaté pružině jako potenciální energie pružnosti. V rovnovážné poloze je pružina „vybitá“ a všechna energie je pohybová. Bez tření se součet nemění:

`\begin{gathered}E = \dfrac{1}{2} k y_m^2 \\[10pt] E = \dfrac{1}{2} m v_m^2\end{gathered}`

Z rovnosti obou vyjádření vyjde největší rychlost `v_m = y_m \sqrt{\dfrac{k}{m}}`, což je totéž jako ωy_m. Energie roste s druhou mocninou amplitudy: dvojnásobný rozkmit znamená čtyřnásobnou energii. Obecně o energii a práci píše článek Práce, výkon a energie.

Příklad 7: energie a největší rychlost

Závaží 0,5 kg kmitá na pružině o tuhosti 20 N/m s amplitudou 10 cm. Jaká je celková energie kmitání a největší rychlost závaží?

`\begin{gathered}E = \dfrac{1}{2} \cdot 20 \cdot 0{,}1^2 = 0{,}1\ \mathrm{J} \\[10pt] v_m = 0{,}1 \cdot \sqrt{\dfrac{20}{0{,}5}} = 0{,}1 \cdot \sqrt{40} \doteq 0{,}632\ \mathrm{m/s}\end{gathered}`

Kontrola přes kinetickou energii: ½ · 0,5 · 0,632² ≐ 0,1 J. V polovině amplitudy, při výchylce 5 cm, je potenciální energie jen čtvrtina, 0,025 J, a zbylých 0,075 J je pohybová energie. Rozložení energie v krajní poloze, v polovině a v rovnovážné poloze ukáže kalkulačka energie oscilátoru.

Ve skutečnosti část energie při každém kmitu odebere tření a odpor vzduchu a mění ji v teplo. Amplituda pak postupně klesá a kmitání je tlumené. Perioda se přitom skoro nemění, a proto kyvadlové hodiny jdou přesně, i když se jim kyvadlo pomalu zastavuje. Když oscilátor pravidelně postrkujeme s frekvencí, která se rovná jeho vlastní frekvenci, amplituda roste. Tomu se říká rezonance a funguje tak i houpání na houpačce: odrazit se je potřeba ve správné chvíli, ne co nejsilněji.

Od kmitání k vlnění

Když kmitající těleso rozkmitá své okolí, šíří se kmitání prostorem jako vlnění. Struna kytary rozkmitá vzduch a k uchu dorazí zvuk. Za jednu periodu postoupí vlna o vlnovou délku λ, takže

`\begin{gathered}\lambda = v \cdot T \\[10pt] \lambda = \dfrac{v}{f}\end{gathered}`

kde v je rychlost šíření vlnění. Tón komorní a má frekvenci 440 Hz a zvuk se ve vzduchu šíří rychlostí asi 343 m/s, takže jeho vlnová délka je 343 / 440 ≐ 0,78 m. Spočítá to kalkulačka vlnová délka, opačný směr kalkulačka frekvence z vlnové délky. Světlo je také vlnění, s jeho odrazem a lomem pokračuje článek Optika: odraz a lom světla, čočky a zrcadla.

Vzorce na jednom místě

Časté chyby

• Hmotnost v periodě kyvadla. Těžší závaží na stejném závěsu kmitá stejně rychle. Hmotnost patří jen do periody pružiny.
• Kmit místo kyvu. Kmit je tam i zpět, kyv jen tam. Kdo napočítá 20 kyvů za 30 s, má periodu 3 s, ne 1,5 s.
• Centimetry ve vzorci. Délka závěsu, prodloužení i amplituda se dosazují v metrech. Kdo dosadí do T = 2π √(l / g) délku 100 místo 1, dostane desetkrát delší periodu.
• Stupně místo radiánů. Fáze ωt vychází v radiánech. Kalkulačka přepnutá na stupně spočítá sin(0,785°) místo sin(0,785 rad) a výchylka vyjde skoro nulová.
• Čtyřnásobek místo dvojnásobku. Délka i hmotnost jsou pod odmocninou: dvakrát delší kyvadlo má periodu jen asi 1,41krát delší.
• Největší rychlost v krajní poloze. Je to naopak: v krajní poloze se těleso zastaví, největší rychlost má v rovnovážné poloze. Největší zrychlení je v krajní poloze.

Příklady k procvičení

Kam dál

• Všech šest kalkulaček sady kmitání: perioda a délka kyvadla, perioda pružiny, Hookův zákon, harmonický pohyb a energie oscilátoru.
• Převod periody a frekvence: kalkulačka perioda a frekvence.
• Vlnění a zvuk: vlnová délka a celá sada optika a zvuk.
• Související články: Newtonovy zákony a třecí síla, Práce, výkon a energie, Funkce sinus a kosekans a Optika: odraz a lom světla, čočky a zrcadla.