Optika: odraz a lom světla, čočky a zrcadla

Světlo se šíří přímočaře. Když dopadne na zrcadlo, odrazí se pod stejným úhlem, pod jakým dopadlo. Když přechází do jiného prostředí, třeba ze vzduchu do vody, láme se: do opticky hustšího prostředí ke kolmici, do řidšího od kolmice. Na lomu stojí čočky. Spojka paprsky soustřeďuje do ohniska, rozptylka je rozptyluje, a kde vznikne obraz, říká zobrazovací rovnice:

`\alpha' = \alpha \qquad \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{a'}`

Světelné jevy se probírají v 7. třídě, zobrazovací rovnice, Snellův zákon a mezní úhel přicházejí na střední škole. Vlastní čísla dosadíte do kalkulaček v sadě optika, zvuk a vlnění: zobrazovací rovnice, lom světla nebo optická mohutnost v dioptriích. Každá vypíše i postup a slovy řekne, co vyšlo.

Jak se šíří světlo

Světlo vychází ze zdroje, například ze Slunce, žárovky nebo plamene. Ostatní tělesa vidíme jen proto, že světlo ze zdroje odrážejí do našich očí. Ve stejnorodém prostředí se světlo šíří přímočaře, proto má předmět ostrý stín a proto se cesta světla kreslí jako přímka, paprsek.

Rychlost světla ve vakuu je `c = 299\,792\,458\ \mathrm{m/s}`, ve škole se počítá zaokrouhleně 300 000 km/s. Ve vzduchu je skoro stejná, ve vodě nebo ve skle menší.

Příklad 1: světlo ze Slunce

Slunce je od Země asi 150 milionů kilometrů daleko. Jak dlouho k nám jeho světlo letí?

`t = \dfrac{s}{v} = \dfrac{150\,000\,000\ \mathrm{km}}{300\,000\ \mathrm{km/s}} = 500\ \mathrm{s}`

To je 8 minut a 20 sekund. Slunce tedy vidíme takové, jaké bylo před osmi minutami. Vzorec `v = s / t` je stejný jako u každého rovnoměrného pohybu, viz článek Rychlost, dráha a čas.

Odraz světla a zákon odrazu

Na hladkém povrchu se světlo odráží podle zákona odrazu: úhel odrazu se rovná úhlu dopadu, `\alpha' = \alpha`. Dopadající paprsek, odražený paprsek a kolmice dopadu přitom leží v jedné rovině.

Oba úhly se měří od kolmice dopadu, tedy od přímky kolmé na zrcadlo v místě, kam paprsek dopadl, ne od zrcadla samotného. Když paprsek svírá se zrcadlem 30°, je úhel dopadu 90° − 30° = 60°.

Na drsném povrchu, třeba na papíře nebo na zdi, se světlo odráží do všech stran. Tomu se říká rozptyl a díky němu vidíme předmět ze všech míst v místnosti, kdežto v zrcadle vidí každý něco jiného.

Rovinné zrcadlo

Obraz v rovinném zrcadle je zdánlivý (paprsky se za zrcadlem nesbíhají, jen to tak vypadá), stejně velký a přímý, tedy ne vzhůru nohama. Leží stejně daleko za zrcadlem jako předmět před ním. Zrcadlo jen prohodí levou a pravou stranu, proto se nápis v zrcadle čte pozpátku.

Příklad 2: zrcadlo v předsíni

Jana stojí 1,5 m před zrcadlem. Jak daleko od ní je její obraz? A jak vysoké zrcadlo potřebuje, aby se viděla celá, když měří 160 cm?

Obraz je 1,5 m za zrcadlem, od Jany tedy 1,5 + 1,5 = 3 m. Na celou postavu stačí zrcadlo poloviční výšky, 80 cm, pověšené tak, aby jeho horní hrana byla v půli mezi očima a temenem hlavy. Paprsek od nohou se totiž odráží v polovině výšky očí a paprsek od temene v polovině mezi očima a temenem. Na vzdálenosti od zrcadla to nezávisí.

Duté a vypuklé zrcadlo

Duté zrcadlo odráží paprsky rovnoběžné s osou do jednoho bodu, do ohniska. Ohnisková vzdálenost je polovina poloměru křivosti, `f = r / 2`. Když je zdroj v ohnisku, jde od zrcadla rovnoběžný svazek: tak svítí reflektor nebo baterka. Kosmetické zrcátko je také duté, a když jsme mu blíž než ohnisko, ukáže obličej zvětšený.

Vypuklé zrcadlo paprsky rozptyluje. Obraz v něm je vždy zdánlivý, přímý a zmenšený, zato je vidět velký kus okolí. Proto se dává na nepřehledné křižovatky a do obchodů.

Lom světla

Když světlo přechází šikmo z jednoho prostředí do druhého, změní na rozhraní směr. Říká se tomu lom světla. Příčinou je, že se v různých prostředích šíří různě rychle. Prostředí, ve kterém je světlo pomalejší, se nazývá opticky hustší.

• Do opticky hustšího prostředí (ze vzduchu do vody) se paprsek láme ke kolmici, úhel lomu β je menší než úhel dopadu α.
• Do opticky řidšího prostředí (z vody do vzduchu) se láme od kolmice, β je větší než α.
• Paprsek, který dopadá kolmo, se neláme vůbec.

Lom je vidět na lžičce ve sklenici, která vypadá zlomená na hladině. Proto se také bazén zdá mělčí, než je: při pohledu kolmo shora vypadá 2 m hluboký bazén zhruba na 1,5 m. Hloubka se zdá menší asi 1,33krát, tolikrát, kolik je index lomu vody.

Index lomu

Kolikrát je světlo v prostředí pomalejší než ve vakuu, říká index lomu n:

`n = \dfrac{c}{v}`

Index lomu nemá jednotku a je vždy větší než 1. Čím je větší, tím je prostředí opticky hustší a tím víc se v něm světlo láme. Rychlosti v tabulce jsou zaokrouhlené na tisíce km/s, přesné hodnoty vypíše kalkulačka index lomu.

Snellův zákon

O kolik se paprsek zalomí, určuje Snellův zákon lomu. Úhly se zase měří od kolmice dopadu:

`n_1 \cdot \sin\alpha = n_2 \cdot \sin\beta`

Tady `n_1` je index lomu prostředí, ze kterého světlo přichází, a `n_2` index lomu prostředí, do kterého vstupuje.

Příklad 3: ze vzduchu do vody

Paprsek dopadá ze vzduchu na vodní hladinu pod úhlem 40°. Jaký je úhel lomu?

`\begin{gathered} 1 \cdot \sin 40^\circ = 1{,}33 \cdot \sin\beta \\[10pt] \sin\beta = \dfrac{0{,}643}{1{,}33} \doteq 0{,}483 \\[10pt] \beta \doteq 28{,}9^\circ \end{gathered}`

Kontrola: voda je opticky hustší, paprsek se má lámat ke kolmici, a opravdu je 28,9° méně než 40°. Kalkulačka lom světla má právě tento příklad nastavený a vypíše 28,91°.

Úplný odraz a mezní úhel

Při přechodu do opticky řidšího prostředí se paprsek láme od kolmice, úhel lomu je větší než úhel dopadu. Při určitém úhlu dopadu vyjde úhel lomu 90° a paprsek klouže po rozhraní. Tento úhel dopadu se nazývá mezní úhel. Při větším úhlu dopadu už světlo do druhého prostředí neprojde vůbec a celé se odrazí zpátky. To je úplný odraz.

`\sin\alpha_m = \dfrac{n_2}{n_1} \qquad n_1 \gt n_2`

Příklad 4: ze skla do vzduchu

Jaký je mezní úhel pro přechod světla ze skla (n = 1,52) do vzduchu?

`\begin{gathered} \sin\alpha_m = \dfrac{1}{1{,}52} \doteq 0{,}658 \\[10pt] \alpha_m \doteq 41{,}1^\circ \end{gathered}`

Paprsek, který ve skle dopadne na stěnu pod úhlem větším než 41°, ze skla nevyjde. Kalkulačka mezní úhel má tento příklad nastavený. Pro vodu vyjde 48,8°, pro diamant jen 24,4°, a proto se v broušeném diamantu světlo mnohokrát odrazí, než vyjde ven, a diamant tolik třpytí. Úplný odraz vede světlo i v optických vláknech, kterými jde internet.

Ze vzduchu do vody úplný odraz nastat nemůže: do hustšího prostředí se paprsek vždy láme ke kolmici a úhel lomu nikdy nedosáhne 90°.

Čočky: spojka a rozptylka

Čočka je průhledné těleso ze skla nebo plastu ohraničené dvěma kulovými plochami. Podle tvaru a účinku jsou dva druhy:

• Spojka je uprostřed silnější než na krajích. Paprsky rovnoběžné s optickou osou spojí v jednom bodě za čočkou, v ohnisku F′.
• Rozptylka je uprostřed tenčí než na krajích. Rovnoběžné paprsky rozptýlí tak, že se zdá, jako by vycházely z ohniska F′ před čočkou.

Vzdálenost ohniska od středu čočky je ohnisková vzdálenost f. Každá čočka má dvě ohniska, jedno na každé straně, stejně daleko. Ve schématu se spojka kreslí jako úsečka se šipkami ven, rozptylka se šipkami dovnitř.

Jak sestrojit obraz

Obraz bodu najdeme pomocí tří význačných paprsků, stačí dva z nich:

1. Paprsek rovnoběžný s optickou osou jde po lomu ohniskem F′.
2. Paprsek jdoucí středem čočky nemění směr.
3. Paprsek jdoucí ohniskem F před čočkou jde po lomu rovnoběžně s osou.

Kde se paprsky za čočkou protnou, tam je obraz. Na obrázku je spojka s ohniskovou vzdáleností 10 cm a předmět 4 cm vysoký ve vzdálenosti 30 cm. Svislý směr je kvůli čitelnosti nakreslený ve dvojnásobném měřítku.

Obraz vznikl 15 cm za čočkou, je převrácený a 2 cm velký. Paprsky se v něm opravdu sbíhají, takže by ho šlo zachytit na papír nebo stínítko. Takový obraz se nazývá skutečný. Obraz, ze kterého paprsky jen zdánlivě vycházejí, jako v zrcadle nebo v lupě, je zdánlivý a na stínítko ho zachytit nejde.

Jaký obraz dává spojka

Záleží jen na tom, jak daleko je předmět od čočky v porovnání s ohniskovou vzdáleností f:

Rozptylka dává vždy obraz zdánlivý, přímý a zmenšený, ať je předmět kdekoli.

Zobrazovací rovnice a zvětšení

Místo konstrukce se dá poloha obrazu spočítat. Pro tenkou čočku platí zobrazovací rovnice:

`\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{a'}`

Tady a je vzdálenost předmětu od čočky a `a'` vzdálenost obrazu. Počítá se se znaménky:

• vzdálenost předmětu a je kladná,
• ohnisková vzdálenost f je u spojky kladná, u rozptylky záporná,
• kladné `a'` znamená skutečný obraz za čočkou, záporné zdánlivý obraz před čočkou, na straně předmětu.

Pro vzdálenost obrazu se rovnice upraví na

`a' = \dfrac{a \cdot f}{a - f}`

Kolikrát je obraz větší než předmět, říká příčné zvětšení Z, kde y je velikost předmětu a `y'` velikost obrazu:

`Z = \dfrac{y'}{y} = -\dfrac{a'}{a}`

Záporné Z znamená převrácený obraz, kladné přímý. Když |Z| vyjde menší než 1, je obraz zmenšený, i když se veličina pořád jmenuje zvětšení.

Příklad 5: spojka z obrázku

Spojka má ohniskovou vzdálenost 10 cm, předmět vysoký 4 cm je 30 cm před ní. Kde vznikne obraz a jak bude velký?

`\begin{gathered} a' = \dfrac{30 \cdot 10}{30 - 10} = \dfrac{300}{20} = 15\ \mathrm{cm} \\[10pt] Z = -\dfrac{15}{30} = -0{,}5 \\[10pt] y' = Z \cdot y = -0{,}5 \cdot 4 = -2\ \mathrm{cm} \end{gathered}`

Obraz je 15 cm za čočkou, skutečný, převrácený (Z je záporné) a 2 cm velký, přesně jako na obrázku. Kontrola podle tabulky: předmět je dál než 2f = 20 cm, takže obraz má být zmenšený a ležet mezi f a 2f za čočkou, a 15 cm mezi 10 a 20 cm opravdu leží. Kalkulačka zobrazovací rovnice má tento příklad nastavený.

Příklad 6: lupa

Lupa je spojka s ohniskovou vzdáleností 5 cm. Známku pozorujeme ve vzdálenosti 4 cm od lupy. Kde je obraz a kolikrát je zvětšený?

`\begin{gathered} a' = \dfrac{4 \cdot 5}{4 - 5} = \dfrac{20}{-1} = -20\ \mathrm{cm} \\[10pt] Z = -\dfrac{-20}{4} = 5 \end{gathered}`

Záporné `a'` znamená zdánlivý obraz 20 cm před lupou, na straně známky. Kladné Z znamená přímý obraz, pětkrát větší. Lupa funguje jen tehdy, když je předmět blíž než ohnisko.

Příklad 7: rozptylka

Rozptylka má ohniskovou vzdálenost 20 cm, předmět vysoký 5 cm je 30 cm před ní. Ohniskovou vzdálenost rozptylky dosadíme se znaménkem minus:

`\begin{gathered} a' = \dfrac{30 \cdot (-20)}{30 - (-20)} = \dfrac{-600}{50} = -12\ \mathrm{cm} \\[10pt] Z = -\dfrac{-12}{30} = 0{,}4 \qquad y' = 0{,}4 \cdot 5 = 2\ \mathrm{cm} \end{gathered}`

Obraz je zdánlivý, 12 cm před čočkou, přímý a zmenšený na 2 cm. Tak to u rozptylky vychází vždy.

Rovnice jde použít i obráceně. Když v laboratoři posouváme stínítko, dokud není obraz svíčky ostrý, a změříme `a = 30\ \mathrm{cm}` a `a' = 15\ \mathrm{cm}`, vyjde ohnisková vzdálenost `f = a \cdot a' / (a + a') = 450 / 45 = 10\ \mathrm{cm}`. To počítá kalkulačka ohnisková vzdálenost a velikost obrazu z obou vzdáleností zvětšení čočky. Stejná zobrazovací rovnice platí i pro kulová zrcadla, s `f = r / 2`, u vypuklého zrcadla záporným.

Optická mohutnost a dioptrie

Síla čočky se udává optickou mohutností φ, převrácenou hodnotou ohniskové vzdálenosti v metrech. Jednotkou je dioptrie, značka D:

`\varphi = \dfrac{1}{f} \qquad 1\ \mathrm{D} = 1\ \mathrm{m^{-1}}`

Spojka má optickou mohutnost kladnou, rozptylka zápornou. Čím kratší ohnisková vzdálenost, tím silnější čočka.

Příklad 8: brýle

Spojka s ohniskovou vzdáleností 50 cm má optickou mohutnost `\varphi = 1 / 0{,}5 = 2\ \mathrm{D}`. Ohnisková vzdálenost musí být v metrech: kdo dosadí 50 cm, dostane 0,02, a to je nesmysl. Obráceně brýle s −2,5 D mají `f = 1 / (-2{,}5) = -0{,}4\ \mathrm{m}`, tedy rozptylku s ohniskovou vzdáleností 40 cm. Převod v obou směrech dělá kalkulačka optická mohutnost.

Dvě tenké čočky těsně u sebe se chovají jako jedna, jejíž optická mohutnost je součtem obou: +2 D a +3 D dají +5 D, tedy ohniskovou vzdálenost 20 cm.

Oko a brýle

Oko je také spojná soustava. Na sítnici vytváří obraz skutečný, převrácený a zmenšený, otočení zpátky obstará mozek. Aby byl obraz ostrý pro blízké i vzdálené předměty, mění oční čočka svůj tvar.

• Krátkozraké oko vytváří obraz vzdálených předmětů před sítnicí. Vidí dobře na blízko a špatně do dálky. Pomůže rozptylka, brýle mají dioptrie se znaménkem minus.
• Dalekozraké oko vytváří obraz blízkých předmětů za sítnicí. Pomůže spojka, dioptrie jsou plusové.

Přehled vzorců

Časté chyby

• Úhel měřený od zrcadla nebo od hladiny. Úhel dopadu, odrazu i lomu se měří od kolmice dopadu. Kdo měří od rozhraní, dostane doplněk do 90°.
• Prohozené „ke kolmici“ a „od kolmice“. Do hustšího prostředí (vzduch → voda, vzduch → sklo) ke kolmici, úhel se zmenší. Do řidšího od kolmice, úhel se zvětší.
• Úplný odraz při vstupu do vody. Nastává jen při přechodu z hustšího prostředí do řidšího, tedy z vody nebo ze skla ven.
• Zapomenutá převrácená hodnota. Ze zobrazovací rovnice vyjde nejdřív `1/a'`. Pro f = 10 a a = 30 je `1/a' = 1/10 - 1/30 = 2/30`, takže `a' = 15\ \mathrm{cm}`, ne 2/30 cm.
• Rozptylka bez minusu. Kdo u rozptylky dosadí f kladně, počítá vlastně spojku a vyjde mu skutečný obraz, který rozptylka nikdy nedá.
• Dioptrie z centimetrů. φ = 1/f platí pro f v metrech. 25 cm je 0,25 m a 4 D, ne 0,04 D.
• Obraz v zrcadle „vzhůru nohama“. Rovinné zrcadlo dává obraz přímý, jen stranově převrácený.

Příklady k procvičení

Rychlost světla ve vakuu i ve vzduchu počítejte 300 000 km/s, index lomu vzduchu 1.

Kam dál

• Kalkulačky zobrazovací rovnice, ohnisková vzdálenost, zvětšení čočky a optická mohutnost pro čočky, index lomu, lom světla a mezní úhel pro lom. Všechny jsou v sadě optika, zvuk a vlnění.
• Rychlost zvuku, bouřka a ozvěna: Rychlost, dráha a čas.
• Sinus a úhly, které Snellův zákon potřebuje: Úvod do Goniometrie/Trigonometrie.