Páka a kladka

Páka je v rovnováze, když je síla krát rameno na jedné straně stejná jako síla krát rameno na druhé straně: `F_1 \cdot a_1 = F_2 \cdot a_2`. Rameno je vzdálenost síly od osy otáčení, takže kolikrát delší rameno, tolikrát menší síla stačí. Kladka sílu buď jen otočí, nebo zmenší: pevná kladka nechá sílu stejnou jako gravitační sílu břemene, volná kladka ji zmenší na polovinu a kladkostroj tolikrát, kolik lan nese břemeno.

`F_1 \cdot a_1 = F_2 \cdot a_2 \qquad F = \dfrac{F_g}{n}`

Páka a kladka se probírají v 7. třídě jako jednoduché stroje. Vlastní čísla dosadíte do kalkulaček rovnováha na páce, moment síly a kladka a kladkostroj, které ukážou i postup. Příklady s okamžitou kontrolou jsou v procvičování páka a moment síly a kladka a kladkostroj.

Páka, osa otáčení a rameno síly

Páka je tyč, která se může otáčet kolem pevného bodu, kterému se říká osa otáčení (u páčidla podpěra, u houpačky čep uprostřed). Rameno síly a je vzdálenost od osy k místu, kde síla působí, měřená kolmo na směr síly. Rameno se měří vždycky od osy, ne od konce tyče.

Síla, která na páku působí, ji otáčí. Jak silně, záleží na velikosti síly i na tom, jak daleko od osy působí. Proto se dveře snadno otevřou za kliku na kraji, ale těžko, když tlačíte kousek od pantů.

Moment síly

Otáčivý účinek síly vyjadřuje moment síly M. Je to síla krát její rameno, `M = F \cdot a`. Jednotkou momentu síly je newtonmetr, značka N · m. Aby vyšel v newtonmetrech, musí být síla v newtonech a rameno v metrech.

Příklad 1: klíč na šroub

Na klíč tlačíme silou 150 N ve vzdálenosti 30 cm od osy šroubu. Jak velký je moment síly?

`M = F \cdot a = 150\ \mathrm{N} \cdot 0{,}3\ \mathrm{m} = 45\ \mathrm{N \cdot m}`

Kdo by dosadil centimetry, dostal by 150 · 30 = 4 500, ale to jsou newtoncentimetry, ne newtonmetry. Kalkulačka moment síly má tenhle příklad nastavený a ukáže i to, že dvakrát delší klíč dá při stejné síle dvakrát větší moment.

Rovnováha na páce a momentová věta

Když na páku působí dvě síly, každá ji otáčí na jinou stranu. Páka je v rovnováze, když jsou oba momenty stejně velké. Tomu se říká momentová věta:

`M_1 = M_2 \qquad F_1 \cdot a_1 = F_2 \cdot a_2`

Z rovnosti se dá dopočítat kterákoli ze čtyř veličin. Nejčastěji se hledá síla na druhé straně:

`F_2 = \dfrac{F_1 \cdot a_1}{a_2} \qquad a_2 = \dfrac{F_1 \cdot a_1}{F_2}`

Ramena stačí mít v jakýchkoli stejných jednotkách, obě v centimetrech nebo obě v metrech. Na obou stranách rovnosti jsou stejné, takže se při dělení zkrátí.

Příklad 2: páčidlo

Páčidlem zvedáme kámen, který na páčidlo tlačí silou 1 200 N ve vzdálenosti 20 cm od podpěry. Jak velkou silou musíme tlačit na konec páčidla, který je 100 cm od podpěry?

`\begin{aligned} F_1 \cdot a_1 &= F_2 \cdot a_2 \\ 1\,200 \cdot 20 &= F_2 \cdot 100 \\ F_2 &= \dfrac{24\,000}{100} = 240\ \mathrm{N} \end{aligned}`

Kontrola: dlouhé rameno je pětkrát delší než krátké, takže síla je pětkrát menší, 1 200 : 5 = 240 N. Místo kamene o hmotnosti 120 kg tlačíme, jako bychom zvedali 24 kg. Rovnováha na páce s těmito čísly vypíše stejných 240 N.

Příklad 3: houpačka

Petr o hmotnosti 45 kg sedí na houpačce 1,6 m od osy. Jak daleko od osy si musí na druhou stranu sednout Eva o hmotnosti 36 kg, aby byla houpačka v rovnováze?

Na houpačku tlačí gravitační síly dětí, 450 N a 360 N. Protože se obě počítají jako hmotnost krát stejné g, dá se počítat rovnou s kilogramy:

`\begin{aligned} 45 \cdot 1{,}6 &= 36 \cdot a_2 \\ a_2 &= \dfrac{72}{36} = 2\ \mathrm{m} \end{aligned}`

Kontrola v newtonech: 450 · 1,6 = 720 a 360 · 2 = 720. Lehčí dítě sedí dál od osy, těžší blíž. Na houpačce to každý zná: když se táta houpe s dítětem, posune se skoro až k ose.

Dvojzvratná a jednozvratná páka

Dvojzvratná páka má osu mezi oběma silami, takže síly působí na opačných stranách osy. Tak funguje houpačka, páčidlo, nůžky, kleště nebo vahadlové váhy.

Jednozvratná páka má osu na kraji a obě síly působí na stejné straně osy, jedna dolů a druhá nahoru. Tak funguje kolečko (trakař), louskáček, otvírák na láhve nebo pedál. Momentová věta platí úplně stejně, jen se obě ramena měří od osy na tutéž stranu.

Příklad 4: kolečko

Na kolečku vezeme náklad, jehož gravitační síla je 600 N a působí 40 cm od osy kola. Za rukojeti držíme 120 cm od osy kola. Jakou silou musíme rukojeti zvedat?

`F = \dfrac{600 \cdot 40}{120} = 200\ \mathrm{N}`

Kontrola: rukojeti jsou třikrát dál od osy než náklad, síla je proto třikrát menší, 600 : 3 = 200 N. Čím blíž ke kolu se náklad naloží, tím snáz se kolečko veze.

Když páka sílu nešetří

Páka sílu ušetří, jen když tlačíme na delším rameni. Naše předloktí je páka obráceně: sval bicepsu je k předloktí připojený asi 4 cm od lokte, ale činka v dlani je asi 32 cm od něj. Na udržení činky o hmotnosti 3 kg, tedy síly 30 N, musí sval táhnout silou 30 · 32 : 4 = 240 N, osmkrát větší. Taková páka sílu nešetří, zato dlaň urazí osmkrát větší dráhu než místo, kde je připojený sval, a ruka se proto hýbe rychle. Stejně funguje pinzeta nebo rybářský prut.

Kladka a kladkostroj

Kladka je kolo s drážkou po obvodu, přes které vede lano. Podle toho, jestli je kladka připevněná, nebo se pohybuje s břemenem, je pevná, nebo volná. Ve škole se počítá s ideální kladkou: bez tření a bez hmotnosti kladky a lana.

Pevná kladka je připevněná, třeba ke stropu nebo k rameni na lešení. Sílu nezmenší, jen změní její směr: místo zvedání nahoru se táhne dolů, což je pohodlnější a dá se do toho opřít vlastní vahou. Platí F = F_g.

Volná kladka visí na laně a břemeno je zavěšené na ní. Břemeno nesou dvě části lana, každá polovinou, takže stačí poloviční síla: F = F_g : 2.

Kladkostroj spojuje několik pevných a volných kladek. Břemeno pak nese víc částí lana, takzvaných nosných lan, a síla se dělí jejich počtem n:

`F = \dfrac{F_g}{n}`

Nosná lana jsou ta, která vedou k volným kladkám s břemenem, na obrázku modře. Kladkostroj se dvěma volnými kladkami má čtyři nosná lana, se třemi volnými kladkami šest. Lano, za které táhneme dolů od pevné kladky, mezi nosná nepatří.

Příklad 5: vědro s maltou

Zedník vytahuje vědro s maltou o hmotnosti 18 kg. Jakou silou musí táhnout přes pevnou kladku a jakou přes volnou?

`\begin{aligned} F_g &= m \cdot g = 18 \cdot 10 = 180\ \mathrm{N} \\ \text{pevná: } F &= 180\ \mathrm{N} \\ \text{volná: } F &= 180 : 2 = 90\ \mathrm{N} \end{aligned}`

Gravitační síla F_g = m · g je vysvětlená v článku Hustota, tlak a vztlak; ve škole se počítá s g = 10 N/kg.

Příklad 6: kladkostroj

Kladkostrojem se dvěma volnými kladkami zvedáme bednu o hmotnosti 60 kg o 3 m výš. Jakou silou musíme táhnout a kolik metrů lana přitom přitáhneme?

`\begin{aligned} F &= \dfrac{m \cdot g}{n} = \dfrac{60 \cdot 10}{4} = 150\ \mathrm{N} \\ s &= n \cdot h = 4 \cdot 3 = 12\ \mathrm{m} \end{aligned}`

Kontrola: každé ze čtyř nosných lan se musí zkrátit o 3 m, aby se bedna zvedla o 3 m, a všechno to lano projde rukama. Kalkulačka kladka a kladkostroj má tenhle příklad nastavený a vypíše 147,15 N, protože počítá s přesnějším g = 9,81 N/kg.

Úloha jde i obráceně. Člověk, který dokáže táhnout silou 500 N, zvedne kladkostrojem se třemi volnými kladkami, tedy se šesti nosnými lany, náklad s gravitační silou 6 · 500 = 3 000 N. To je 300 kg, třeba klavír.

Zlaté pravidlo mechaniky a nakloněná rovina

Ve fyzice se práce počítá jako síla krát dráha, po které síla působí, W = F · s, a měří se v joulech (J). Podrobně ji vysvětluje článek Práce, výkon a energie, který patří do 8. třídy. Páka i kladka šetří sílu, ale ne práci. Co ušetří na síle, to přidají na dráze. Páčidlo z příkladu 2 má ramena v poměru 1 : 5. Když kámen zvedne o 2 cm, musí ruka sjet o 10 cm. Práce je na obou stranách stejná:

`1\,200\ \mathrm{N} \cdot 0{,}02\ \mathrm{m} = 240\ \mathrm{N} \cdot 0{,}1\ \mathrm{m} = 24\ \mathrm{J}`

U kladkostroje z příkladu 6 je to stejné: 150 N po 12 m lana je 1 800 J a zvednutí bedny s gravitační silou 600 N o 3 m je také 1 800 J. Tomu se říká zlaté pravidlo mechaniky.

Na stejném pravidle stojí nakloněná rovina, třeba prkno, po kterém se vytahuje sud na korbu, nebo rampa pro kočárek. Břemeno se netáhne do výšky h svisle, ale po delší šikmé dráze l, a proto stačí menší síla. Ze zlatého pravidla F · l = F_g · h plyne:

`F = \dfrac{F_g \cdot h}{l}`

Příklad 7: bedna po rampě

Bednu o hmotnosti 80 kg vytahujeme po rampě dlouhé 4 m do výšky 1 m. Jakou silou ji musíme táhnout, když zanedbáme tření?

`F = \dfrac{800 \cdot 1}{4} = 200\ \mathrm{N}`

Kontrola prací: 200 N po 4 m je 800 J, stejně jako zvednout 800 N o 1 m. Kalkulačka nakloněná rovina má tenhle příklad nastavený, vypíše 196,2 N kvůli g = 9,81 N/kg a ukáže i úhel sklonu. Na stejném principu, menší síla po delší dráze, funguje i hydraulický lis z článku Hustota, tlak a vztlak.

Přehled jednoduchých strojů

Co každý stroj ušetří na síle, to se podle zlatého pravidla zaplatí delší dráhou.

Časté chyby

• Rameno měřené od konce tyče. Rameno je vždycky vzdálenost od osy otáčení. U páčidla dlouhého 120 cm s podpěrou 20 cm od kamene je dlouhé rameno 100 cm, ne 120 cm.
• Centimetry v momentu síly. 150 N · 30 cm je 4 500 N · cm, a to je 45 N · m. V rovnováze na páce centimetry nevadí, pokud jsou na obou stranách.
• Kilogramy na jedné straně a newtony na druhé. U houpačky lze počítat s kilogramy jen tehdy, když jsou v kilogramech obě strany. 45 kg na jedné a 360 N na druhé straně dá nesmysl.
• Pevná kladka, která má šetřit sílu. Nešetří, F = F_g. Mění jen směr síly.
• Špatně spočítaná nosná lana. Lano, za které se táhne dolů od pevné kladky, se nepočítá. Kladkostroj se dvěma volnými kladkami má čtyři nosná lana, ne pět.
• Páka, která má vždy šetřit sílu. Šetří ji jen tehdy, když síla působí na delším rameni. Předloktí nebo pinzeta pracují obráceně.

Příklady k procvičení

Počítejte s g = 10 N/kg a bez tření.

Kam dál

• Procvičování páky a momentu síly a kladky a kladkostroje s kontrolou každé odpovědi.
• Kalkulačky rovnováha na páce, moment síly, kladka a kladkostroj a nakloněná rovina, další v sadě síla, tlak a hustota.
• Gravitační síla a hydraulický lis: Hustota, tlak a vztlak. Práce a výkon: Práce, výkon a energie.