Teplo a měrná tepelná kapacita

Teplo potřebné k ohřátí tělesa se vypočítá jako hmotnost krát měrná tepelná kapacita krát rozdíl teplot: Q = m · c · Δt. Ohřát 2 kg vody z 20 °C na 100 °C stojí 2 · 4 180 · 80 = 668 800 J, tedy asi 669 kJ. Měrná tepelná kapacita c říká, kolik joulů je potřeba na ohřátí 1 kg látky o 1 °C, a u vody je to 4 180 J.

`Q = m \cdot c \cdot \Delta t`

Teplo se probírá v 8. třídě. Vlastní čísla dosadíte do kalkulačky výpočet tepla, která má příklad se dvěma kilogramy vody rovnou nastavený a měrnou tepelnou kapacitu doplní sama, a další výpočty jsou v sadě teplo a teplota. Níže je rozdíl mezi teplem a teplotou, tabulka měrných tepelných kapacit, výpočet tepla a opačné úlohy, doba ohřevu, kalorimetrická rovnice, skupenské teplo tání a varu, teplotní roztažnost, časté chyby a příklady k procvičení.

Teplo a teplota nejsou totéž

Teplota říká, jak je těleso teplé. Měří se teploměrem a udává ve stupních Celsia (°C), ve fyzice také v kelvinech (K). Teplo je energie, kterou těleso přijme nebo odevzdá, když se dotýká teplejšího nebo studenějšího tělesa. Značí se Q a měří v joulech (J) jako každá jiná energie. Samo od sebe přechází teplo vždycky z teplejšího tělesa na studenější, nikdy naopak, dokud se jejich teploty nevyrovnají.

Rozdíl je dobře vidět na vaně a hrnku. Hrnek čaje má 80 °C, vana vody 40 °C, takže čaj má vyšší teplotu. Na ohřátí vany bylo ale potřeba mnohem víc tepla, protože vody je v ní několiksetkrát víc.

Ve vzorci je rozdíl teplot Δt (čti delta té), tedy konečná teplota minus počáteční. Rozdíl vyjde stejně ve stupních Celsia i v kelvinech: ohřátí z 20 °C na 100 °C je o 80 °C, a z 293 K na 373 K je to také o 80 K. Proto se měrná tepelná kapacita píše v J/(kg·°C) i v J/(kg·K) a jde o totéž číslo. Převod samotných teplot dělá kalkulačka převod teploty.

Měrná tepelná kapacita

Měrná tepelná kapacita c je teplo, které je potřeba na ohřátí 1 kg látky o 1 °C. Každá látka ji má jinou a hodnoty se hledají v tabulkách:

Voda má měrnou tepelnou kapacitu skoro nejvyšší ze všech běžných látek. Ohřívá se pomalu a pomalu také chladne, a proto se hodí do radiátorů a do termoforu. Ze stejného důvodu je moře v červnu ještě studené, i když už je horko, a v září je naopak teplé. Kovy mají kapacitu malou: železo se stejným teplem ohřeje zhruba devětkrát víc než voda.

Některé učebnice pro 8. třídu zaokrouhlují kapacitu vody na 4 200 J/(kg·°C). Výsledek se tím změní o půl procenta, ale počítejte s tím číslem, které udává vaše učebnice nebo zadání. Kalkulačky na tomhle webu počítají se 4 180.

Výpočet tepla: vzorec Q = m · c · Δt

Dosazuje se hmotnost v kilogramech, měrná tepelná kapacita v J/(kg·°C) a rozdíl teplot ve °C. Teplo pak vyjde v joulech. Litr vody váží 1 kg, takže objem vody v litrech je rovnou její hmotnost v kilogramech.

Příklad 1: voda v konvici

V konvici je 1,5 l vody o teplotě 20 °C. Kolik tepla je potřeba, aby se uvařila, tedy ohřála na 100 °C?

`\begin{aligned} \Delta t &= 100\ {}^\circ\mathrm{C} - 20\ {}^\circ\mathrm{C} = 80\ {}^\circ\mathrm{C} \\ Q &= m \cdot c \cdot \Delta t = 1{,}5 \cdot 4\,180 \cdot 80 \\ &= 501\,600\ \mathrm{J} \doteq 502\ \mathrm{kJ} \end{aligned}`

Kontrola odhadem: 1,5 kg krát zhruba 4 000 krát 80 je 480 000, takže výsledek kolem půl milionu joulů sedí.

Příklad 2: hrnec s vodou

V hliníkovém hrnci o hmotnosti 0,5 kg jsou 2 l vody. Hrnec i voda mají 20 °C a ohřejí se na 100 °C. Kolik tepla je potřeba na hrnec a kolik na vodu?

`\begin{aligned} Q_1 &= 0{,}5 \cdot 896 \cdot 80 = 35\,840\ \mathrm{J} \\ Q_2 &= 2 \cdot 4\,180 \cdot 80 = 668\,800\ \mathrm{J} \\ Q &= Q_1 + Q_2 = 704\,640\ \mathrm{J} \doteq 705\ \mathrm{kJ} \end{aligned}`

Hrnec spotřebuje jen asi 5 % tepla, i když váží čtvrtinu toho co voda. Hliník má kapacitu skoro pětkrát menší než voda. Každé těleso se počítá zvlášť se svou kapacitou a tepla se nakonec sečtou.

Příklad 3: o kolik stupňů se látka ohřeje

Ze vzorce Q = m · c · Δt se dá vyjádřit kterákoli veličina:

`\Delta t = \dfrac{Q}{m \cdot c} \qquad m = \dfrac{Q}{c \cdot \Delta t}`

Pěti kilogramům vody dodáme teplo 209 kJ. O kolik stupňů se ohřejí? A o kolik by se stejným teplem ohřálo 5 kg železa?

`\begin{aligned} \Delta t &= \dfrac{209\,000}{5 \cdot 4\,180} = \dfrac{209\,000}{20\,900} = 10\ {}^\circ\mathrm{C} \\[6pt] \Delta t &= \dfrac{209\,000}{5 \cdot 452} = \dfrac{209\,000}{2\,260} \doteq 92{,}5\ {}^\circ\mathrm{C} \end{aligned}`

Voda se ohřeje o 10 °C, železo o víc než 92 °C. To je ta malá kapacita kovů v praxi. Oba opačné výpočty mají své kalkulačky: o kolik stupňů se látka ohřeje a hmotnost z dodaného tepla.

Jak dlouho trvá ohřev

Ohřívač s výkonem P dodá za čas t teplo P · t, stejně jako se počítá práce z výkonu v článku Práce, výkon a energie. Doba ohřevu je tedy teplo dělené výkonem. Do vody ale nejde všechno: část tepla ohřeje samotnou konvici a okolní vzduch. Kolik se využije, říká účinnost η:

`t = \dfrac{Q}{P \cdot \eta}`

Písmeno t tu znamená čas v sekundách, ne teplotu. Účinnost se dosazuje jako desetinné číslo, 90 % je 0,9.

Příklad 4: za jak dlouho se uvaří voda

Konvice z příkladu 1 má příkon 2 000 W a účinnost 90 %. Za jak dlouho uvaří 1,5 l vody z 20 °C?

`\begin{aligned} P \cdot \eta &= 2\,000\ \mathrm{W} \cdot 0{,}9 = 1\,800\ \mathrm{W} \\ t &= \dfrac{501\,600\ \mathrm{J}}{1\,800\ \mathrm{W}} \doteq 279\ \mathrm{s} \end{aligned}`

To jsou asi 4 minuty a 39 sekund, což odpovídá tomu, jak dlouho konvice opravdu vaří. Přesně tento příklad má nastavený kalkulačka doba ohřevu.

Teplo se dá vyjádřit i v kilowatthodinách, ve kterých se platí za elektřinu: 1 kWh = 3 600 000 J. Uvaření 2 l vody z úvodu, 668 800 J, je 668 800 : 3 600 000 ≐ 0,186 kWh, tedy při ceně 6 Kč za kWh asi 1,1 Kč. Kolik stojí ohřát vodu v bojleru nebo ve vaně, spočítá cena ohřevu vody.

Kalorimetrická rovnice

Když se smíchá teplá a studená voda, teplá vychladne a studená se ohřeje, až mají obě stejnou teplotu t. Teplo, které teplejší voda odevzdá, studenější přijme. Pokud se žádné teplo neztratí do okolí, platí kalorimetrická rovnice:

`m_1 \cdot c_1 \cdot (t_1 - t) = m_2 \cdot c_2 \cdot (t - t_2)`

Vlevo je teplo odevzdané teplejší látkou (teplota t₁), vpravo teplo přijaté studenější (teplota t₂). Výsledná teplota t leží vždycky mezi t₁ a t₂.

Příklad 5: míchání vody

Do kbelíku nalijeme 3 kg vody o teplotě 80 °C a 5 kg vody o teplotě 20 °C. Jaká bude výsledná teplota?

Obě látky jsou voda, takže c je na obou stranách stejné a vykrátí se:

`\begin{aligned} 3 \cdot (80 - t) &= 5 \cdot (t - 20) \\ 240 - 3t &= 5t - 100 \\ 340 &= 8t \\ t &= 42{,}5\ {}^\circ\mathrm{C} \end{aligned}`

Zkouška: teplá voda vychladla o 37,5 °C a odevzdala 3 · 4 180 · 37,5 = 470 250 J. Studená se ohřála o 22,5 °C a přijala 5 · 4 180 · 22,5 = 470 250 J. Tepla se rovnají. Výsledek je blíž ke 20 °C, protože studené vody bylo víc. U dvou dávek téže kapaliny se výsledná teplota dá spočítat rovnou jako vážený průměr, (3 · 80 + 5 · 20) : 8 = 42,5 °C. Tenhle příklad má nastavený kalkulačka kalorimetrická rovnice.

Rovnice se dá použít i pro dvě různé látky, například pro horký kov ponořený do vody. Pak se kapacity nevykrátí a každá strana má svou. Takovou úlohu najdete mezi příklady na konci.

Skupenské teplo tání a varu

Když led při 0 °C taje, teplota se nemění. Led i voda z něj mají pořád 0 °C, dokud neroztaje všechen, i když teplo stále přijímají. To teplo se spotřebuje na změnu skupenství a říká se mu skupenské teplo tání. Stejně se chová voda při varu: zůstává na 100 °C, dokud se nevyvaří, a teplo jde na vypařování. To je skupenské teplo varu.

`Q = m \cdot l_t \qquad Q = m \cdot l_v`

l_t je měrné skupenské teplo tání, teplo potřebné k roztátí 1 kg látky při teplotě tání, a l_v je měrné skupenské teplo varu. Opačné děje, tuhnutí a kapalnění (kondenzace), stejné teplo zase uvolní. Proto voda v zimě zamrzá pomalu a pára opaří víc než stejně horká voda.

Příklad 6: roztátí ledu

Kolik tepla je potřeba na roztátí 2 kg ledu o teplotě 0 °C?

`\begin{aligned} Q &= m \cdot l_t = 2 \cdot 334\,000 \\ &= 668\,000\ \mathrm{J} = 668\ \mathrm{kJ} \end{aligned}`

Je to skoro stejně jako 668,8 kJ z úvodu na ohřátí 2 kg vody o 80 °C. Roztát led tedy stojí zhruba tolik tepla jako ohřát vzniklou vodu skoro k varu. Vyvařit 1 kg vody stojí 2 256 kJ, téměř sedmkrát víc, než ho ohřát z 20 °C na 100 °C. Spočítají to kalkulačky skupenské teplo tání a skupenské teplo varu.

Příklad 7: z ledu na vodu

Kostka ledu o hmotnosti 1 kg má teplotu −10 °C. Kolik tepla je potřeba, aby z ní byla voda o teplotě 20 °C?

Úloha se rozdělí na tři části, protože v každé platí jiný vzorec nebo jiná kapacita: led se ohřeje na 0 °C, roztaje a voda z něj se ohřeje na 20 °C.

`\begin{aligned} Q_1 &= 1 \cdot 2\,100 \cdot 10 = 21\,000\ \mathrm{J} \\ Q_2 &= 1 \cdot 334\,000 = 334\,000\ \mathrm{J} \\ Q_3 &= 1 \cdot 4\,180 \cdot 20 = 83\,600\ \mathrm{J} \\ Q &= Q_1 + Q_2 + Q_3 = 438\,600\ \mathrm{J} \end{aligned}`

V grafu je vidět, co je na tom nejdražší: vodorovný úsek, kdy led taje a teplota stojí. Na tání padne přes tři čtvrtiny všeho tepla. U ledu se navíc počítá s kapacitou ledu, 2 100 J/(kg·°C), ne vody. Celý postup i s podílem jednotlivých částí ukáže kalkulačka ohřev ledu na vodu.

Teplotní roztažnost

Většina látek se při zahřátí roztahuje a při ochlazení smršťuje. Na tom stojí teploměr: rtuť nebo líh v trubičce zabírá při vyšší teplotě víc místa a vystoupá výš. Proto mají mosty a betonové desky dilatační spáry a dráty elektrického vedení se v létě prověšují víc než v zimě. Voda je výjimka: nejmenší objem a největší hustotu má při 4 °C, ne při 0 °C, a když zamrzne, objem se jí zvětší. Proto led plave a rybníky zamrzají od hladiny.

Na střední škole se prodloužení počítá vzorcem

`\Delta l = \alpha \cdot l \cdot \Delta t`

kde α je součinitel délkové teplotní roztažnosti, u oceli 0,000 012 na stupeň. Ocelová kolejnice dlouhá 25 m se při oteplení o 40 °C prodlouží o 0,000 012 · 25 · 40 = 0,012 m, tedy o 12 mm. Spočítají to kalkulačky délková teplotní roztažnost a objemová teplotní roztažnost.

Přehled vzorců

Časté chyby

• Teplota místo rozdílu teplot. Do vzorce patří Δt, o kolik se teplota změní. Ohřátí z 20 °C na 100 °C je Δt = 80 °C, ne 100 °C.
• Gramy místo kilogramů. 500 g je 0,5 kg. Kdo dosadí 500, dostane tisíckrát větší teplo.
• Kilojouly a jouly. Měrná tepelná kapacita vody je 4 180 J/(kg·°C), nebo 4,18 kJ/(kg·°C). S druhým číslem vyjde teplo v kilojoulech, ne v joulech.
• Kapacita vody pro led. Led má 2 100 J/(kg·°C), skoro polovinu toho co voda.
• Zapomenuté tání. Při ohřevu ledu na vodu je tání největší část tepla. Kdo počítá jen m · c · Δt od −10 °C do 20 °C, vynechá tři čtvrtiny.
• Výsledná teplota mimo rozsah. Po smíchání vody o 80 °C a 20 °C musí vyjít něco mezi 20 a 80 °C. Jinak je v rovnici prohozené znaménko.
• Doba ohřevu v minutách. Jouly dělené watty dají sekundy. 279 s jsou 4 min 39 s, ne 2,79 min.

Příklady k procvičení

Hodnoty c a l berte z tabulek výše.

Kam dál

• Kalkulačky teplo a teplota: teplo při ohřevu, hmotnost a rozdíl teplot z tepla, doba ohřevu, kalorimetrická rovnice, skupenské teplo tání a varu, ohřev ledu na vodu a teplotní roztažnost.
• Kolik stojí ohřát vodu v bojleru nebo v konvici.
• Práce, výkon, kilowatthodina a účinnost: Práce, výkon a energie. Hustota, ze které se z objemu počítá hmotnost: Hustota, tlak a vztlak.