Stavová rovnice a plynové děje

Stavová rovnice spojuje tři veličiny, které popisují stav plynu: tlak p, objem V a termodynamickou teplotu T. Pro ideální plyn o látkovém množství n platí pV = nRT, kde R = 8,314 J/(K · mol) je molární plynová konstanta. Když se množství plynu nemění, zůstává stálý podíl pV / T, a z toho plynou všechny plynové děje: izotermický, izochorický a izobarický.

`p V = n R T`
`\dfrac{p_1 V_1}{T_1} = \dfrac{p_2 V_2}{T_2}`

Teplota se do obou vzorců dosazuje vždy v kelvinech. Vlastní čísla spočítá kalkulačka stavová rovnice ideálního plynu, která z tlaku, objemu a teploty určí látkové množství i hmotnost plynu, a kalkulačky sady plynové děje, které z počátečního stavu dopočítají nový. Ve fyzice se tohle učivo probírá ve 2. ročníku střední školy v kapitole o molekulové fyzice, v chemii se stavová rovnice používá už v 1. ročníku.

Ideální plyn a stavové veličiny

Ideální plyn je zjednodušený model skutečného plynu. Jeho molekuly mají zanedbatelně malé rozměry, kromě srážek na sebe nepůsobí a srážky jsou dokonale pružné. Vzduch, kyslík, dusík nebo helium se za běžných podmínek chovají téměř přesně jako ideální plyn. Odchylky jsou znát až při velmi vysokém tlaku nebo při teplotě blízko zkapalnění.

Stav plynu popisují stavové veličiny:

Užitečná zkratka: kilopascal krát litr je přesně joule, stejně jako pascal krát metr krychlový. Kdo dosadí tlak v kPa a objem v litrech, dostane s R = 8,314 správný výsledek a nemusí nic převádět. Jen nesmí míchat, tedy dosadit kPa s m³ nebo Pa s litry. Převody jednotek objemu a tlaku podrobně vysvětluje článek Převody jednotek.

Teplota v kelvinech

Plynové zákony platí jen pro termodynamickou teplotu T, která se měří v kelvinech a začíná absolutní nulou. Celsiova teplota t se na ni převede přičtením 273,15:

`T = t + 273{,}15\ \mathrm{K}`

Takže 0 °C je 273,15 K, 20 °C je 293,15 K a 100 °C je 373,15 K. Ve školních úlohách se často zaokrouhluje na T = t + 273 K a výsledek se tím změní jen nepatrně. Teplotní rozdíl je v obou stupnicích stejný: ohřátí o 10 °C je ohřátí o 10 K.

Proč na tom tolik záleží: ohřátí z 20 °C na 40 °C vypadá jako dvojnásobek, ale termodynamická teplota vzroste jen z 293,15 K na 313,15 K, tedy o 6,8 %. Přesně o tolik se při stálém tlaku zvětší objem plynu. Kdo by počítal ve stupních Celsia, dostal by dvojnásobek a navíc by mu při teplotách pod nulou vycházely záporné objemy. Chyba se přitom neprojeví ničím jiným než nesmyslným číslem.

Stavová rovnice ideálního plynu

Pro libovolné množství ideálního plynu platí

`p V = n R T`

kde n je látkové množství v molech a R = 8,314 J/(K · mol) molární plynová konstanta. Ve fyzikálních učebnicích se značí také `R_m`. Protože `n = \dfrac{m}{M}` (hmotnost děleno molární hmotností) a `n = \dfrac{N}{N_A}` (počet molekul děleno Avogadrovou konstantou), píše se stavová rovnice i v dalších dvou tvarech:

`p V = \dfrac{m}{M} R T`
`p V = N k T`

kde `k = 1{,}38 \cdot 10^{-23}\ \mathrm{J/K}` je Boltzmannova konstanta. Všechny tři tvary říkají totéž, liší se jen tím, jak je zadané množství plynu: v molech, v gramech, nebo počtem molekul. Pozoruhodné je, že ve vzorci není žádná vlastnost konkrétního plynu. Mol vodíku a mol oxidu uhličitého zaberou při stejném tlaku a teplotě stejný objem.

Příklad 1: kolik je v nádobě kyslíku

V uzavřené nádobě o objemu 10 l je kyslík O₂ při tlaku 101,325 kPa a teplotě 25 °C. Jaké je jeho látkové množství a hmotnost?

`\begin{gathered} T = 25 + 273{,}15 = 298{,}15\ \mathrm{K} \\[10pt] n = \dfrac{p V}{R T} = \dfrac{101\,325 \cdot 0{,}01}{8{,}314 \cdot 298{,}15} \doteq 0{,}409\ \mathrm{mol} \\[10pt] m = n \cdot M = 0{,}409 \cdot 32 \doteq 13{,}1\ \mathrm{g} \end{gathered}`

Tlak jsme dosadili v pascalech a objem v metrech krychlových (10 l = 0,01 m³). Stejně dobře by šlo dosadit 101,325 kPa a 10 l. Kontrola: za normálních podmínek zabere mol plynu asi 22,4 l, takže 10 l je necelá polovina molu. Tenhle příklad má nastavený kalkulačka stavová rovnice ideálního plynu, která ukáže i hustotu a počet molekul.

Molární objem 22,4 litru

Ze stavové rovnice plyne, kolik místa zabere jeden mol plynu. Za normálních podmínek, tedy při 0 °C a tlaku 101,325 kPa, vychází

`\begin{gathered} V_m = \dfrac{R T}{p} = \dfrac{8{,}314 \cdot 273{,}15}{101\,325} \\[10pt] V_m \doteq 0{,}0224\ \mathrm{m^3} = 22{,}4\ \mathrm{l} \end{gathered}`

To je známý molární objem, se kterým se počítá v chemii, viz článek Molární hmotnost a látkové množství a kalkulačka objem plynu. Platí ale jen při 0 °C. Při pokojové teplotě 20 °C a stejném tlaku zabere mol plynu už 24,1 l a při jiných podmínkách se musí počítat ze stavové rovnice.

Stálé množství plynu: stavová rovnice pro dva stavy

Ve většině úloh se množství plynu nemění: plyn je zavřený v nádobě, v pneumatice nebo pod pístem a mění se jen jeho stav. Pak je podíl pV / T = nR stálý a stavová rovnice dostane tvar

`\dfrac{p_1 V_1}{T_1} = \dfrac{p_2 V_2}{T_2}`

Někdy se mu říká spojený plynový zákon. Stačí znát celý počáteční stav a dvě veličiny nového stavu, třetí se dopočítá. Molární hmotnost ani konstanta R k tomu potřeba nejsou.

Příklad 2: bublina, která stoupá k hladině

Potápěč v hloubce 20 m vydechne bublinu vzduchu o objemu 0,5 l. Tlak je tam 300 kPa (100 kPa atmosférický a 200 kPa hydrostatický) a voda má 7 °C. U hladiny je tlak 100 kPa a voda má 22 °C. Jaký objem bude mít bublina u hladiny?

`\begin{gathered} T_1 = 7 + 273{,}15 = 280{,}15\ \mathrm{K} \\[4pt] T_2 = 22 + 273{,}15 = 295{,}15\ \mathrm{K} \\[10pt] V_2 = \dfrac{p_1 V_1 T_2}{T_1 p_2} \\[10pt] V_2 = \dfrac{300 \cdot 0{,}5 \cdot 295{,}15}{280{,}15 \cdot 100} \doteq 1{,}58\ \mathrm{l} \end{gathered}`

Kontrola: tlak klesl na třetinu, takže samotný pokles tlaku by objem ztrojnásobil na 1,5 l. Teplota v kelvinech vzrostla o něco přes 5 %, a tak je výsledek o trochu větší. Spočítá to kalkulačka spojený plynový zákon. Hydrostatický tlak 200 kPa je ρ · g · h = 1 000 · 10 · 20 Pa, podrobněji v článku Hustota, tlak a vztlak. Proto potápěč nesmí při výstupu zadržet dech: vzduch v plicích se rozpíná stejně jako bublina.

Plynové děje: izotermický, izochorický, izobarický

Když se při ději jedna ze tří stavových veličin nemění, vypadne ze stavové rovnice a zbude jednodušší vztah mezi zbylými dvěma. Každý z nich má své jméno i svůj zákon.

Všechny tři děje ukazuje p-V diagram, graf tlaku v závislosti na objemu. Izotermy, tedy křivky stálé teploty, jsou v něm hyperboly, a čím vyšší teplota, tím dál od počátku leží. Izochora je svislá úsečka, izobara vodorovná. Na obrázku vychází z bodu A izochorický děj svisle nahoru, izobarický vodorovně doprava (oba plyn ohřejí z teploty T₁ na T₂) a izotermický po hyperbole T₁.

Izotermický děj: Boylův-Mariottův zákon

Při stálé teplotě je součin tlaku a objemu stálý. Když se objem zmenší na polovinu, tlak vzroste na dvojnásobek. Tlak a objem jsou nepřímo úměrné.

`p_1 V_1 = p_2 V_2`

Příklad 3. Ve válci s pístem je 6 l vzduchu při tlaku 100 kPa. Píst pomalu zatlačíme, až má vzduch objem 2 l. Teplota se nemění. Jaký je nový tlak?

`p_2 = \dfrac{p_1 V_1}{V_2} = \dfrac{100 \cdot 6}{2} = 300\ \mathrm{kPa}`

Objem klesl na třetinu, tlak se ztrojnásobil. Tohle je výchozí příklad kalkulačky izotermický děj. Slovo „pomalu“ v zadání není náhodou: při rychlém stlačení se plyn zahřeje, protože teplo nestihne odejít do okolí, a děj už izotermický není. Každý, kdo hustil kolo, zná zahřátou pumpičku.

Izochorický děj: Charlesův zákon

Při stálém objemu roste tlak přímo úměrně termodynamické teplotě. Plyn je zavřený v pevné nádobě a ohříváním se v ní zvyšuje tlak.

`\dfrac{p_1}{T_1} = \dfrac{p_2}{T_2}`

Příklad 4. Pneumatika je ráno při 10 °C nahuštěná na přetlak 200 kPa. Po jízdě se zahřeje na 40 °C. Jaký přetlak teď ukáže manometr? Objem pneumatiky považujeme za stálý, atmosférický tlak je 100 kPa.

Manometr ukazuje přetlak, tedy o kolik je tlak větší než okolní. Do Charlesova zákona patří skutečný, absolutní tlak: 200 + 100 = 300 kPa.

`\begin{gathered} p_2 = p_1 \cdot \dfrac{T_2}{T_1} = 300 \cdot \dfrac{313{,}15}{283{,}15} \doteq 331{,}8\ \mathrm{kPa} \\[10pt] \text{přetlak} = 331{,}8 - 100 \doteq 232\ \mathrm{kPa} \end{gathered}`

Kontrola: termodynamická teplota vzrostla asi o 10,6 %, o tolik vzrostl i absolutní tlak. Kdo by dosadil rovnou přetlak 200 kPa, dostal by 221 kPa, a kdo stupně Celsia, dokonce 1 200 kPa. Výpočet ukáže kalkulačka izochorický děj, do které se zadává absolutní tlak.

Izobarický děj: Gay-Lussacův zákon

Při stálém tlaku roste objem přímo úměrně termodynamické teplotě. Plyn se ohřívá pod volně pohyblivým pístem nebo v balonku a rozpíná se.

`\dfrac{V_1}{T_1} = \dfrac{V_2}{T_2}`

Příklad 5. Plyn pod pístem má při 20 °C objem 5 l. Při stálém tlaku ho ohřejeme na 100 °C. Jaký bude mít objem?

`V_2 = V_1 \cdot \dfrac{T_2}{T_1} = 5 \cdot \dfrac{373{,}15}{293{,}15} \doteq 6{,}36\ \mathrm{l}`

Teplota ve stupních Celsia vzrostla pětkrát, objem ale jen o 27 %. Ověřit to jde v kalkulačce izobarický děj, která má právě tento příklad nastavený.

Adiabatický děj

Čtvrtý děj, se kterým se na střední škole počítá, je adiabatický: plyn si s okolím nevyměňuje žádné teplo. Tak se chová plyn při velmi rychlém stlačení nebo rozepnutí, kdy teplo nestihne projít stěnami. Mění se při něm všechny tři stavové veličiny najednou. Při adiabatickém stlačení se plyn zahřívá: na tom je založený vznětový motor, ve kterém se nasátý vzduch stlačením ohřeje na několik set stupňů Celsia a vstříknutá nafta se v něm sama vznítí. Při adiabatickém rozepnutí se plyn ochlazuje: vzduch, který v atmosféře stoupá, se rozpíná, chladne a vznikají z něj mraky. Pro adiabatický děj platí Poissonův zákon `p V^{\kappa} = \text{konst.}`, kde κ je Poissonova konstanta, pro vzduch asi 1,4. V p-V diagramu je adiabata strmější než izoterma.

Práce plynu a první termodynamický zákon

Když se plyn rozpíná a posouvá píst, koná práci. Při stálém tlaku je tato práce

`W' = p \cdot \Delta V = p \cdot (V_2 - V_1)`

V p-V diagramu je to obsah plochy pod čarou děje. Například plyn, který se při stálém tlaku 150 kPa rozepne ze 2 l na 5 l, vykoná práci 150 · 3 = 450 J. Kilopascal krát litr je joule, takže se nic nepřevádí. Spočítá to kalkulačka práce plynu. Při izotermickém ději se tlak během rozpínání mění a plocha pod hyperbolou se počítá integrálem.

Kam se podělo teplo, které plynu dodáme, říká první termodynamický zákon: dodané teplo Q se spotřebuje na zvýšení vnitřní energie plynu ΔU a na práci W′, kterou plyn vykoná.

`Q = \Delta U + W'`

• Izochorický děj: objem se nemění, plyn práci nekoná, W′ = 0. Všechno teplo zvýší vnitřní energii, Q = ΔU.
• Izotermický děj: teplota se nemění, takže se nemění ani vnitřní energie ideálního plynu, ΔU = 0. Všechno dodané teplo plyn vydá jako práci, Q = W′.
• Izobarický děj: teplo se dělí, část zvýší vnitřní energii a část plyn vydá jako práci `W' = p \Delta V`.
• Adiabatický děj: teplo se nevyměňuje, Q = 0, takže plyn koná práci na úkor vnitřní energie, `W' = -\Delta U`. Proto se rozpínáním ochlazuje.

O teple, měrné tepelné kapacitě a ohřívání látek je článek Teplo a měrná tepelná kapacita, o práci a energii obecně Práce, výkon a energie.

Hustota plynu

Ze stavové rovnice ve tvaru s hmotností plyne i hustota plynu. Stačí dosadit `\rho = \dfrac{m}{V}`:

`\rho = \dfrac{p M}{R T}`

Pro vzduch (M = 28,96 g/mol) při 20 °C a 101,325 kPa vychází 1,20 kg/m³, při 0 °C 1,29 kg/m³. Teplota je ve jmenovateli, takže teplejší plyn má menší hustotu. Proto teplý vzduch stoupá vzhůru a proto létá horkovzdušný balon. Výpočet pro libovolný plyn udělá kalkulačka hustota plynu; když se dosadí tlak v kPa a molární hmotnost v g/mol, vyjde hustota rovnou v kg/m³.

Vzorce na jednom místě

Časté chyby

• Stupně Celsia místo kelvinů. Nejčastější chyba v celé kapitole. Ve vzorcích s T se dosazuje vždy t + 273,15. Jen tam, kde se počítá rozdíl teplot, je jedno, ve kterých jednotkách.
• Přetlak místo tlaku. Manometr na pneumatice nebo na tlakové láhvi ukazuje přetlak nad atmosférickým tlakem. Do stavové rovnice patří absolutní tlak, tedy přetlak plus asi 100 kPa.
• Smíchané jednotky. Buď pascaly a metry krychlové, nebo kilopascaly a litry. Pascaly s litry dají výsledek tisíckrát mimo.
• 22,4 l/mol vždycky. Molární objem 22,4 l platí jen za normálních podmínek, při 0 °C a 101,325 kPa. Při pokojové teplotě je to 24,1 l.
• Zákon pro dva stavy u plynu, který uniká. Vztah p₁V₁ / T₁ = p₂V₂ / T₂ platí jen pro stálé množství plynu. Když se pneumatika dohušťuje nebo z láhve plyn ubývá, musí se počítat se stavovou rovnicí pV = nRT pro každý stav zvlášť.
• Prohozené názvy dějů. Izo- znamená „stejný“: izotermický se stálou teplotou, izochorický se stálým objemem, izobarický se stálým tlakem.

Příklady k procvičení

Kam dál

• Všech šest kalkulaček sady plynové děje: izotermický, izochorický a izobarický děj, spojený plynový zákon, hustota plynu a práce plynu.
• Stavová rovnice s chemickým vzorcem plynu: kalkulačka stavové rovnice, objem plynu za normálních podmínek a článek Molární hmotnost a látkové množství.
• Teplo a ohřívání: Teplo a měrná tepelná kapacita. Práce a energie: Práce, výkon a energie. Tlak a hydrostatický tlak: Hustota, tlak a vztlak.