Izotopy a relativní atomová hmotnost

Izotopy jsou atomy téhož prvku, které mají stejný počet protonů, ale různý počet neutronů. Mají proto stejné protonové číslo Z a různé nukleonové číslo A. Relativní atomová hmotnost prvku v periodické tabulce je vážený průměr hmotností jeho izotopů podle toho, kolik procent atomů každý z nich tvoří:

`A_r = \dfrac{A_1 \cdot x_1 + A_2 \cdot x_2 + \dots}{100}`

A₁, A₂ jsou hmotnosti izotopů (ve škole se za ně dosazují nukleonová čísla) a x₁, x₂ jejich zastoupení v procentech. Vlastní čísla dosadí kalkulačka relativní atomová hmotnost z izotopů, opačnou úlohu, procenta z tabulkové A_r, řeší kalkulačka zastoupení izotopů.

Izotopy a stavbu jádra probírá 8. a 9. třída, výpočet průměrné relativní atomové hmotnosti a zastoupení izotopů je látka chemických výpočtů na střední škole. Článek jde v tomto pořadí: co je izotop a jak se zapisuje, co znamená relativní atomová hmotnost, a pak oba výpočty s řešenými příklady.

Co je izotop

Jádro atomu tvoří protony a neutrony, dohromady se jim říká nukleony. Jádro popisují dvě čísla:

protonové číslo Z je počet protonů. Určuje, o jaký prvek jde: každý atom s 6 protony je uhlík, každý se 17 protony chlor,
nukleonové číslo A je počet protonů a neutronů dohromady.

Počet neutronů je rozdíl obou čísel, N = A − Z. Konkrétní druh atomu s daným Z a A se jmenuje nuklid a píše se se značkou prvku, nukleonové číslo nahoře, protonové dole:

`\begin{gathered}\ce{^{12}_{6}C}: \quad 6\ \text{protonů},\ 12 - 6 = 6\ \text{neutronů} \\[10pt] \ce{^{14}_{6}C}: \quad 6\ \text{protonů},\ 14 - 6 = 8\ \text{neutronů}\end{gathered}`

Oba jsou uhlík, protože mají šest protonů. Liší se jen počtem neutronů, a to je přesně definice izotopu. Mluví se o nich jako o uhlíku 12 a uhlíku 14 a píše se také C-12, C-14 nebo jen ¹⁴C; protonové číslo se často vynechává, protože ho určuje už značka.

Většina prvků má v přírodě dva nebo více izotopů. Několik známých:

Izotop	Protony	Neutrony	Kde se s ním setkáte
¹H, protium	1	0	99,98 % všeho vodíku
²H, deuterium	1	1	těžká voda D₂O
³H, tritium	1	2	radioaktivní, jen stopy
¹²C	6	6	skoro 99 % uhlíku, podle něj je definována jednotka hmotnosti atomů
¹⁴C	6	8	radioaktivní, radiouhlíková metoda určování stáří
³⁵Cl, ³⁷Cl	17	18, 20	chlor je jejich směs, asi 3 : 1
²³⁵U, ²³⁸U	92	143, 146	palivo jaderné elektrárny je uran obohacený o ²³⁵U

Vodík je jediný prvek, jehož izotopy mají vlastní jména. Podrobněji o nich píše článek Vodík.

Izotopy mají stejné chemické vlastnosti. O tom, jak atom reaguje, rozhodují elektrony v obalu, a těch má neutrální atom stejně jako protonů. Uhlík 12 i uhlík 14 tedy hoří na stejný oxid uhličitý a chlor 35 i chlor 37 tvoří s sodíkem stejnou kuchyňskou sůl. Liší se hmotností a některé izotopy jsou radioaktivní, jádro se samo přemění na jiné. Radioaktivitu a poločas rozpadu vysvětluje článek Atomová fyzika: radioaktivita, poločas rozpadu a foton.

Častá chyba: považovat za izotopy dva atomy se stejným nukleonovým číslem. `\ce{^{40}_{18}Ar}`, `\ce{^{40}_{19}K}` a `\ce{^{40}_{20}Ca}` mají všechny A = 40, ale různé Z, takže jsou to tři různé prvky. Izotopy musí mít stejné dolní číslo, ne horní.

Počet protonů, neutronů a elektronů v izotopu

Postup je u každého izotopu stejný:

Počet protonů je protonové číslo Z. Když v zápisu chybí, najdete ho v periodické tabulce.
Počet neutronů je A − Z.
Neutrální atom má elektronů stejně jako protonů. Kationt jich má méně o svůj náboj, aniont více.

Příklad 1

Kolik protonů, neutronů a elektronů mají izotopy uranu ²³⁵U a ²³⁸U?

Uran má v tabulce protonové číslo 92, oba izotopy tedy mají 92 protonů a jako neutrální atomy i 92 elektronů. Neutronů má uran 235 celkem 235 − 92 = 143, uran 238 celkem 238 − 92 = 146. Kontrola: rozdíl nukleonových čísel je 3 a o tři se liší i počty neutronů, protony se nezměnily.

Totéž pro libovolný izotop nebo ion udělá kalkulačka počet protonů, neutronů a elektronů (otevře se s uranem 235) a procvičit to jde v procvičování protonů, neutronů a elektronů. Ionty a jejich náboje podrobně probírá článek Ionty: kationty a anionty.

Co je relativní atomová hmotnost

Atomy jsou tak lehké, že jejich hmotnost v kilogramech se špatně používá. Atom uhlíku 12 váží asi 1,99 · 10⁻²⁶ kg. Proto se hmotnost atomů porovnává s malou jednotkou, atomovou hmotnostní konstantou m_u, což je dvanáctina hmotnosti atomu uhlíku 12:

`\begin{gathered}m_u = \dfrac{m(\ce{^{12}C})}{12} \doteq 1{,}66 \cdot 10^{-27}\ \mathrm{kg} \\[10pt] A_r = \dfrac{m_a}{m_u}\end{gathered}`

Relativní atomová hmotnost A_r říká, kolikrát je atom těžší než m_u. Je to podíl dvou hmotností, a proto nemá jednotku. Uhlík 12 má podle definice A_r přesně 12.

Proton i neutron mají hmotnost skoro přesně m_u, elektrony skoro nic neváží. Proto má každý izotop relativní atomovou hmotnost velmi blízko svému nukleonovému číslu: chlor 35 má 34,969, chlor 37 má 36,966. Ve školních úlohách se za hmotnost izotopu bere rovnou jeho nukleonové číslo, pokud zadání neříká jinak.

V periodické tabulce ale u chloru stojí 35,45, číslo, které neodpovídá žádnému atomu chloru. Je to průměr přes všechny atomy chloru, jak se vyskytují v přírodě: asi tři čtvrtiny z nich jsou chlor 35 a čtvrtina chlor 37. Proto skoro žádná tabulková A_r není celé číslo. S tabulkovou hodnotou se pak počítá molární hmotnost, viz článek Molární hmotnost a látkové množství.

Výpočet relativní atomové hmotnosti z izotopů

Průměrná relativní atomová hmotnost je vážený průměr: hmotnost každého izotopu se vynásobí jeho zastoupením v procentech, součiny se sečtou a vydělí stem. Izotop, kterého je víc, má ve výsledku větší váhu. Stejně se počítá vážený průměr známek, viz vážený průměr v článku o průměru.

Příklad 2: měď

Měď má v přírodě dva izotopy, ⁶³Cu (69,2 %) a ⁶⁵Cu (30,8 %). Jaká je její průměrná relativní atomová hmotnost?

`\begin{gathered}A_r(\mathrm{Cu}) = \dfrac{63 \cdot 69{,}2 + 65 \cdot 30{,}8}{100} \\[10pt] = \dfrac{4359{,}6 + 2002}{100} = \dfrac{6361{,}6}{100} \doteq 63{,}62\end{gathered}`

Kontrola: výsledek leží mezi 63 a 65 a blíž k 63, protože izotopu 63 je víc. Tabulka uvádí 63,55. Rozdíl sedmi setin je tím, že jsme za hmotnosti izotopů dosadili nukleonová čísla. Na kalkulačce s mědí vyjde totéž.

Příklad 3: hořčík, tři izotopy

Hořčík tvoří ²⁴Mg (79,0 %), ²⁵Mg (10,0 %) a ²⁶Mg (11,0 %). Se třemi izotopy je ve vzorci prostě o člen víc:

`\begin{gathered}A_r(\mathrm{Mg}) = \dfrac{24 \cdot 79 + 25 \cdot 10 + 26 \cdot 11}{100} \\[10pt] = \dfrac{1896 + 250 + 286}{100} = \dfrac{2432}{100} = 24{,}32\end{gathered}`

Tabulka uvádí 24,31. Kontrola: zastoupení dávají dohromady 79 + 10 + 11 = 100 %. Když součet procent nevyjde 100, chybí v zadání izotop nebo je v něm překlep.

Příklad 4: s přesnými hmotnostmi izotopů

Když zadání dá skutečné hmotnosti izotopů, dosadí se ty. Chlor: ³⁵Cl má hmotnost 34,969 a zastoupení 75,78 %, ³⁷Cl hmotnost 36,966 a 24,22 %.

`\begin{gathered}A_r(\mathrm{Cl}) = \dfrac{34{,}969 \cdot 75{,}78 + 36{,}966 \cdot 24{,}22}{100} \\[10pt] \doteq \dfrac{2649{,}95 + 895{,}32}{100} \doteq 35{,}45\end{gathered}`

Teď vyšla přesně tabulková hodnota. S nukleonovými čísly by vyšlo 35,48.

Zastoupení se někdy zadává jako podíl místo procent, třeba 0,7578 a 0,2422. Pak se součiny jen sečtou a stem se nedělí, protože podíly dávají dohromady 1, ne 100.

Časté chyby:

Prostý průměr místo váženého. (35 + 37) : 2 = 36 je špatně, protože chloru 35 je třikrát víc než chloru 37. Prostý průměr vyjde jen tehdy, když jsou oba izotopy zastoupeny stejně.
Zapomenuté dělení stem. Výsledek 3548 pro chlor je zjevně nesmysl. Průměr musí vždy ležet mezi nejlehčím a nejtěžším izotopem.
Výsledek blíž k méně častému izotopu. To je znamení, že se procenta přiřadila k opačným izotopům.

Pro představu, jak blízko se průměr z nukleonových čísel dostane k tabulce:

Prvek	Izotopy a zastoupení	Průměr z A	A_r z tabulky
C, uhlík	¹²C 98,9 %, ¹³C 1,1 %	12,01	12,01
N, dusík	¹⁴N 99,6 %, ¹⁵N 0,4 %	14,00	14,01
B, bor	¹⁰B 19,9 %, ¹¹B 80,1 %	10,80	10,81
Li, lithium	⁶Li 7,6 %, ⁷Li 92,4 %	6,92	6,94
Cl, chlor	³⁵Cl 75,8 %, ³⁷Cl 24,2 %	35,48	35,45
Cu, měď	⁶³Cu 69,2 %, ⁶⁵Cu 30,8 %	63,62	63,55
Br, brom	⁷⁹Br 50,7 %, ⁸¹Br 49,3 %	79,99	79,90
Ag, stříbro	¹⁰⁷Ag 51,8 %, ¹⁰⁹Ag 48,2 %	107,96	107,87
Mg, hořčík	²⁴Mg 79,0 %, ²⁵Mg 10,0 %, ²⁶Mg 11,0 %	24,32	24,31

Rozdíl je u všech nejvýš asi desetina, a proto stačí nukleonová čísla, když úloha chce výsledek na desetiny nebo setiny a nic jiného neříká. Tyto úlohy si můžete vyzkoušet v procvičování relativní atomové hmotnosti z izotopů.

Výpočet zastoupení izotopů z relativní atomové hmotnosti

Opačná úloha: známe hmotnosti dvou izotopů a průměrnou A_r a hledáme, kolik procent atomů tvoří každý z nich. Zastoupení prvního izotopu označíme x (v procentech), druhého je pak 100 − x, a dosadíme do vzorce pro průměr:

`A_r = \dfrac{A_1 \cdot x + A_2 \cdot (100 - x)}{100}`

Je to lineární rovnice s jednou neznámou. Když ji vyřešíme obecně, vyjde vzorec, do kterého stačí dosadit:

`x_1 = \dfrac{A_2 - A_r}{A_2 - A_1} \cdot 100\ \%`

Příklad 5: bor

Bor má izotopy ¹⁰B a ¹¹B, jeho relativní atomová hmotnost je 10,81. Kolik procent atomů boru je ¹⁰B?

`\begin{gathered}10{,}81 = \dfrac{10 x + 11 \cdot (100 - x)}{100} \\[10pt] 1081 = 10 x + 1100 - 11 x \\[10pt] x = 1100 - 1081 = 19\end{gathered}`

Izotopu ¹⁰B je 19 %, izotopu ¹¹B tedy 81 %. Zkouška: (10 · 19 + 11 · 81) : 100 = (190 + 891) : 100 = 10,81. Sedí to i s tím, že 10,81 leží blíž k 11, takže těžšího izotopu musí být víc.

Vzorcem je to rychlejší: x₁ = (11 − 10,81) : (11 − 10) · 100 % = 0,19 · 100 % = 19 %.

Proč to funguje. Představte si A_r na číselné ose mezi oběma izotopy jako podpěru páky. Čím víc je některého izotopu, tím blíž k němu průměr leží. Zastoupení izotopu je vzdálenost průměru od druhého izotopu, dělená vzdáleností obou izotopů. U mědi s A_r = 63,55:

Příklad 6: měď a proč na přesnosti záleží

S nukleonovými čísly 63 a 65 a s tabulkovou A_r = 63,55 vyjde měď 63 na (65 − 63,55) : 2 · 100 % = 72,5 %. Skutečně je jí ale 69,2 %. Rozdíl tří procent vzniká tím, že průměr leží jen 0,55 od lehčího izotopu a chyba v hmotnosti izotopů o pár setin tu vzdálenost znatelně posune. S přesnými hmotnostmi 62,930 a 64,928 vychází správně:

`\begin{gathered}x(\ce{^{63}Cu}) = \dfrac{64{,}928 - 63{,}546}{64{,}928 - 62{,}930} \cdot 100\ \% \\[10pt] \doteq 69{,}2\ \%\end{gathered}`

Proto úlohy na zastoupení izotopů často dávají přesné hmotnosti, nebo pracují s vymyšleným prvkem X, u kterého se hmotnost izotopu rovná nukleonovému číslu. Obojí spočítá kalkulačka zastoupení izotopů i se zkouškou.

Ze samotné A_r jde zastoupení spočítat jen u prvku se dvěma izotopy. Se třemi izotopy jsou neznámé dvě a jedna rovnice nestačí, zadání pak musí jedno zastoupení prozradit.

Pozor na rozdíl mezi počtem a hmotností. Zastoupení izotopu je podíl na počtu atomů, ne na hmotnosti. Chloru 37 je 24,2 % atomů, ale protože je těžší, připadá na něj o něco víc hmotnosti chloru, asi 25,2 %.

Příklady k procvičení

1. Kolik protonů, neutronů a elektronů má atom ³⁷Cl a kolik aniont ³⁷Cl⁻?

2. Které z těchto nuklidů jsou izotopy téhož prvku? `\ce{^{39}_{19}K}`, `\ce{^{40}_{19}K}`, `\ce{^{40}_{20}Ca}`, `\ce{^{41}_{19}K}`, `\ce{^{40}_{18}Ar}`

3. Gallium má izotopy ⁶⁹Ga (60,1 %) a ⁷¹Ga (39,9 %). Vypočítejte jeho průměrnou relativní atomovou hmotnost na setiny.

`\begin{gathered}A_r = \dfrac{69 \cdot 60{,}1 + 71 \cdot 39{,}9}{100} \\[10pt] = \dfrac{4146{,}9 + 2832{,}9}{100} \doteq 69{,}80\end{gathered}`

Výsledek 69,80 leží blíž k 69, protože galia 69 je víc. Tabulka uvádí 69,72.

4. Křemík tvoří ²⁸Si (92,2 %), ²⁹Si (4,7 %) a ³⁰Si (3,1 %). Jaká je jeho průměrná relativní atomová hmotnost?

`\begin{gathered}A_r = \dfrac{28 \cdot 92{,}2 + 29 \cdot 4{,}7 + 30 \cdot 3{,}1}{100} \\[10pt] = \dfrac{2581{,}6 + 136{,}3 + 93}{100} \doteq 28{,}11\end{gathered}`

Vyjde 28,11, tabulka uvádí 28,09. Křemíku 28 je přes 92 %, a tak je průměr jen o kousek větší než 28.

5. Lithium má dva izotopy, ⁶Li s hmotností 6,015 a ⁷Li s hmotností 7,016. Jeho relativní atomová hmotnost je 6,94. Kolik procent atomů lithia tvoří ⁶Li?

`x(\ce{^6Li}) = \dfrac{7{,}016 - 6{,}94}{7{,}016 - 6{,}015} \cdot 100\ \% \doteq 7{,}59\ \%`

Lithia 6 je asi 7,6 %, lithia 7 zbytek, 92,4 %. Kontrola: 6,94 leží velmi blízko 7,016, takže těžšího izotopu je velká většina. S nukleonovými čísly 6 a 7 by vyšlo 6 %, to je přesně ta nepřesnost z příkladu 6.

6. Prvek X má dva izotopy, ⁵⁰X a ⁵²X, a jeho průměrná relativní atomová hmotnost je 50,6. Hmotnost izotopu berte rovnou jako jeho nukleonové číslo. Kolik atomů ⁵²X je ve vzorku, který obsahuje 2 000 atomů prvku X?

Kam dál

Kalkulačky: relativní atomová hmotnost z izotopů (až tři izotopy), zastoupení izotopů a protony, neutrony a elektrony.
Procvičování: relativní atomová hmotnost z izotopů, protony, neutrony a elektrony a navazující výpočet molární hmotnosti.
Související články: Molární hmotnost a látkové množství, Značky prvků a periodická tabulka, Ionty: kationty a anionty, Atomová fyzika: radioaktivita, poločas rozpadu a foton a Vodík.