Hmotnostní zlomek w říká, jakou část hmotnosti roztoku tvoří rozpuštěná látka. Spočítá se jako hmotnost rozpuštěné látky dělená hmotností celého roztoku, tedy látky i vody dohromady. Vynásobený stem udává koncentraci roztoku v procentech. Když rozpustíme 25 g cukru ve 225 g vody, vznikne 250 g roztoku:

`w = \dfrac{m(\text{látky})}{m(\text{roztoku})}`
`w = \dfrac{25}{250} = 0{,}1 = 10\ \%`

Hmotnostní zlomek z vlastních čísel i s postupem spočítá kalkulačka hmotnostního zlomku, kolik vody přidat při ředění kalkulačka ředění roztoku a poměr smíchání dvou roztoků směšovací rovnice. Příklady s okamžitou kontrolou jsou v procvičování hmotnostního zlomku a v procvičování ředění a směšování.

Roztoky se probírají v chemii v 8. třídě a stejné výpočty se vracejí na střední škole. Níže je vysvětlené, co je roztok a nasycený roztok, jak počítat s hmotnostním zlomkem oběma směry, jak se roztok ředí vodou a zahušťuje odpařením, jak se počítá smíchání dvou roztoků a proč funguje křížové pravidlo. Na konci je krátce molární koncentrace, časté chyby a šest příkladů s řešením.

Co je roztok

Roztok je stejnorodá směs, ve které je jedna látka rozptýlená v druhé tak jemně, že ji nevidíme ani pod mikroskopem. Látka, které je víc a ve které se rozpouští, je rozpouštědlo, nejčastěji voda. Látka, která se v ní rozpustila, je rozpuštěná látka, například sůl, cukr nebo hydroxid sodný. Slazený čaj, mořská voda, ocet i minerálka jsou roztoky.

Pro všechny výpočty níže platí jedno jednoduché pravidlo: roztok váží tolik co rozpuštěná látka a rozpouštědlo dohromady. Při rozpouštění se nic neztratí ani nepřibude.

`m(\text{roztoku}) = m(\text{látky}) + m(\text{rozpouštědla})`
cukr 25 gvoda 225 groztok 250 g, w = 25 : 250 = 10 %

V daném množství vody se ale nerozpustí libovolně mnoho látky. Když už se další sůl nerozpouští a zůstává na dně, je roztok nasycený. Kolik látky se nejvýš rozpustí ve 100 g vody, udává rozpustnost. U chloridu sodného je to při 20 °C asi 36 g, takže ve 200 g vody se rozpustí nejvýš 72 g soli. Nasycený roztok soli má pak hmotnostní zlomek 36 : 136, tedy asi 26,5 %, a silnější solný roztok při této teplotě udělat nejde. Rozpustnost většiny pevných látek s teplotou roste, proto se v horkém čaji rozpustí víc cukru než ve studeném. Kolik se rozpustí a kolik zůstane na dně, spočítá kalkulačka rozpustnosti.

Hmotnostní zlomek a koncentrace v procentech

Hmotnostní zlomek je číslo od 0 do 1. Čistá voda má w = 0, čistá látka w = 1. V praxi se častěji udává v procentech: w = 0,1 je 10% roztok, což znamená, že ve 100 g roztoku je 10 g rozpuštěné látky. Tohle čtení je užitečné si pamatovat, protože se z něj dá většina úloh spočítat i bez vzorce.

Ze vzorce pro w se dá vyjádřit každá ze tří veličin. Které z nich známe, rozhoduje, kterou podobu použijeme:

`w = \dfrac{m(\text{látky})}{m(\text{roztoku})}`
`m(\text{látky}) = w \cdot m(\text{roztoku})`
`m(\text{roztoku}) = \dfrac{m(\text{látky})}{w}`

Do vzorců se w dosazuje jako desetinné číslo, tedy 5 % jako 0,05. Pozor také na to, že se počítá s hmotností roztoku. Když je v zadání hmotnost vody, musí se k ní nejdřív přičíst hmotnost látky.

Příklad 1: kolik procent má roztok

V 148 g vody rozpustíme 12 g kuchyňské soli. Jaký je hmotnostní zlomek soli v roztoku?

Roztok váží 148 + 12 = 160 g. Hmotnostní zlomek je

`w = \dfrac{12}{160} = 0{,}075 = 7{,}5\ \%`

Kontrola: 7,5 % ze 160 g je 0,075 · 160 = 12 g, sedí. Kdybychom dělili jen hmotností vody, vyšlo by 12 : 148 ≐ 8,1 %, což je špatně.

Příklad 2: příprava roztoku

Kolik gramů hydroxidu sodného a kolik vody je potřeba na 200 g 5% roztoku?

`m(\text{látky}) = 0{,}05 \cdot 200 = 10\ \mathrm{g}`
`m(\text{vody}) = 200 - 10 = 190\ \mathrm{g}`

Navážíme 10 g NaOH a rozpustíme je ve 190 g vody. Vody je 190 g, ne 200 g: těch 200 g musí vážit celý roztok.

Příklad 3: kolik roztoku obsahuje danou látku

Mořská voda obsahuje asi 3,5 % soli. Kolik gramů mořské vody musíme odpařit do sucha, aby zbylo 7 g soli?

`m(\text{roztoku}) = \dfrac{7}{0{,}035} = 200\ \mathrm{g}`

Kontrola: ve 100 g mořské vody je 3,5 g soli, ve dvojnásobném množství tedy 7 g.

Hmotnostní zlomek se v chemii používá ještě v jednom smyslu: kolik procent hmotnosti sloučeniny připadá na jeden prvek, třeba železo v Fe2O3. To je jiná úloha, počítá se z molárních hmotností a je vysvětlená v článku Molární hmotnost a látkové množství.

Ředění roztoku vodou

Když do roztoku přilijeme vodu, roztoku přibude, ale rozpuštěné látky je pořád stejně. Na tomhle stojí každý výpočet ředění. Hmotnost látky před ředěním a po něm je stejná:

`m_1 \cdot w_1 = m_2 \cdot w_2`

Tady m1 a w1 patří k původnímu roztoku, m2 a w2 ke zředěnému. Přidaná voda je rozdíl `m_2 - m_1`.

před: 200 g, w = 15 %látka 30 gpo: 500 g, w = 6 %látka 30 gpřidaná voda 300 g

Příklad 4: kolik vody přidat

Máme 200 g 15% roztoku. Kolik vody přidáme, aby byl roztok 6%?

Látky je v roztoku 0,15 · 200 = 30 g. Těchto 30 g má tvořit 6 % nového roztoku:

`m_2 = \dfrac{30}{0{,}06} = 500\ \mathrm{g}`

Roztok musí vážit 500 g, takže přidáme 500 − 200 = 300 g vody. Častá chyba je odpovědět 500 g: to je hmotnost celého zředěného roztoku, ne přidané vody.

Stejně to spočítá kalkulačka ředění. Její pole se jmenují objem, ale vzorec je stejný: zadáte-li místo objemu hmotnost v gramech, vyjde i výsledek v gramech. U procent je to tak dokonce přesnější, protože hmotnostní zlomek se počítá z hmotností.

Koncentrované kyseliny se ředí vždy tak, že se kyselina pomalu lije do vody, nikdy obráceně. Při ředění se uvolňuje hodně tepla, a kdyby se lila voda do kyseliny, mohla by se na hladině prudce vařit a vystříknout. Ve školách se to učí říkankou „nejdřív voda, potom kyselina, jinak se stane veliká psina“.

Zahuštění odpařením a přidáním látky

Opačný postup je odpařování. Voda odchází, látka zůstává, a tak roztok sílí. Výpočet je stejný jako u ředění, jen m2 je menší než m1.

Příklad 5: odpaření vody

Ze 400 g 5% roztoku soli odpaříme 150 g vody. Jaký je výsledný roztok?

Soli je 0,05 · 400 = 20 g a po odpaření jich je pořád 20 g. Roztok váží 400 − 150 = 250 g:

`w_2 = \dfrac{20}{250} = 0{,}08 = 8\ \%`

Roztok jde zesílit také tím, že do něj přisypeme další látku. Pak ale přibude látka i roztok, a to o stejnou hmotnost.

Příklad 6: přidání látky

Do 200 g 10% roztoku cukru přisypeme 50 g cukru a rozpustíme ho. Kolik procent má nový roztok?

Cukru bylo 0,1 · 200 = 20 g, teď je ho 20 + 50 = 70 g. Roztok váží 200 + 50 = 250 g:

`w = \dfrac{70}{250} = 0{,}28 = 28\ \%`

Kdo by přičetl 50 g jen k látce a ne k roztoku, dostal by 70 : 200 = 35 %, a to je špatně.

Smíchání dvou roztoků: směšovací rovnice

Když smícháme dva roztoky téže látky, sečtou se hmotnosti roztoků a sečtou se i hmotnosti rozpuštěné látky. To zapisuje směšovací rovnice:

`m_1 \cdot w_1 + m_2 \cdot w_2 = (m_1 + m_2) \cdot w`

Vlevo je látka z prvního a z druhého roztoku, vpravo látka ve směsi. Ředění vodou je zvláštní případ: voda je „roztok“ s w = 0, takže jeden člen vlevo vypadne.

Příklad 7: jaká bude směs

Smícháme 300 g 20% roztoku a 200 g 5% roztoku. Kolik procent má směs?

`w = \dfrac{0{,}2 \cdot 300 + 0{,}05 \cdot 200}{300 + 200} = \dfrac{70}{500} = 14\ \%`

Výsledek musí ležet mezi oběma koncentracemi a blíž té, které je víc. 14 % leží mezi 5 % a 20 % a blíž ke 20 %, sedí. Procenta se nikdy nesčítají: 20 + 5 = 25 % by byl roztok silnější než oba původní, a to smícháním vzniknout nemůže.

Příklad 8: kolik čeho smíchat

Máme 60% a 10% roztok. Kolik gramů každého potřebujeme na 500 g 25% roztoku?

Prvního roztoku vezmeme x gramů, druhého zbytek do 500 g, tedy 500 − x. Směs má obsahovat 0,25 · 500 = 125 g látky:

`\begin{aligned} 0{,}6x + 0{,}1 \cdot (500 - x) &= 125 \\ 0{,}5x + 50 &= 125 \\ x &= 150 \end{aligned}`

Smícháme 150 g 60% roztoku a 350 g 10% roztoku. Kontrola: 0,6 · 150 + 0,1 · 350 = 90 + 35 = 125 g látky v 500 g, tedy 25 %.

Křížové pravidlo

Poměr, ve kterém se dva roztoky smíchají, jde zjistit i bez rovnice. Křížové pravidlo se zapisuje takto: vlevo nad sebe obě koncentrace, doprostřed cílovou koncentraci a vpravo rozdíly, které se odečítají křížem, vždy větší číslo minus menší.

6010251535roztoky (%)dílů25 − 1060 − 25cíl

Pro příklad 8 vychází 25 − 10 = 15 dílů 60% roztoku a 60 − 25 = 35 dílů 10% roztoku. Poměr 15 : 35 se zkrátí na 3 : 7. Dílů je celkem 10, na 500 g směsi tedy připadá na jeden díl 50 g: 3 · 50 = 150 g prvního a 7 · 50 = 350 g druhého roztoku. Stejně jako z rovnice.

Proč to funguje: směšovací rovnici lze přepsat jako m1 · (w1 − w) = m2 · (w − w2). Silnější roztok má nad cílem „přebytek“ w1 − w, slabší má „nedostatek“ w − w2, a ty se musí vyrovnat. Proto je hmotnost každého roztoku úměrná rozdílu u druhého roztoku. Pro ředění vodou se za slabší roztok dosadí 0 %. Celé křížové pravidlo i s krácením poměru rozepíše kalkulačka směšovací rovnice.

Poměr z křížového pravidla je hmotnostní. Roztoky se proto odvažují, ne odměřují odměrným válcem, protože roztoky o různé koncentraci mají různou hustotu.

Molární koncentrace

Na střední škole a v laboratoři se koncentrace častěji udává jako molární koncentrace c, tedy látkové množství v jednom litru roztoku, v jednotkách mol/l:

`c = \dfrac{n}{V}`

Rozpustíme-li 8 g hydroxidu sodného (M = 40 g/mol) a doplníme vodou na 0,5 l roztoku, je n = 8 : 40 = 0,2 mol a c = 0,2 : 0,5 = 0,4 mol/l. Objem se dosazuje v litrech a je to objem hotového roztoku, ne přidané vody. Látkové množství a molární hmotnost vysvětluje článek Molární hmotnost a látkové množství, výpočet c z navážky dělá kalkulačka molární koncentrace a příklady jsou v procvičování molární koncentrace.

Ředí se roztoky o molární koncentraci stejně, jen místo hmotností jsou objemy: c1 · V1 = c2 · V2. Převést procenta na mol/l jde jen se znalostí hustoty roztoku. Litr 10% kyseliny sírové o hustotě 1,07 g/cm³ váží 1070 g a obsahuje 107 g H2SO4, to je 107 : 98 ≐ 1,09 mol, takže c ≐ 1,09 mol/l. Tento převod oběma směry dělá přepočet procent na mol/l.

Časté chyby

  • Dělení hmotností vody místo roztoku. 12 g soli ve 148 g vody je 12 : 160, ne 12 : 148. Roztok je látka i voda.
  • Přidaná voda je hmotnost nového roztoku. V příkladu 4 musí zředěný roztok vážit 500 g, ale přidává se jen 300 g vody.
  • Sčítání procent při smíchání. 20% a 5% roztok nedají 25 %. Výsledek leží vždy mezi oběma koncentracemi a průměr 12,5 % vyjde jen tehdy, když smícháme stejné hmotnosti.
  • Procenta dosazená jako celé číslo. Do w = m(látky) : m(roztoku) patří 0,05, ne 5. Kdo dosadí 5, dostane výsledek stokrát větší.
  • Přidaná látka jen v čitateli. Když do roztoku přisypeme látku, přibude i v roztoku (příklad 6).
  • Sčítání objemů. Smícháním 50 ml lihu a 50 ml vody nevznikne 100 ml, ale o několik mililitrů méně. Hmotnosti se sčítají přesně, objemy ne. Proto se s procenty počítá v gramech.
  • Mililitry v molární koncentraci. 0,2 mol ve 250 ml je 0,2 : 0,25 = 0,8 mol/l, ne 0,2 : 250.

Příklady k procvičení

1. Kolik gramů cukru a kolik gramů vody potřebujeme na přípravu 250 g 8% roztoku cukru?

2. V 340 g vody rozpustíme 60 g soli. Jaký je hmotnostní zlomek soli v roztoku?

3. Kolik vody musíme přidat ke 150 g 12% roztoku, aby vznikl 4% roztok?

4. Ze 600 g 3% roztoku soli se odpaří 200 g vody. Kolik procent soli má roztok potom?

5. Smícháme 150 g 30% roztoku a 350 g 10% roztoku téže látky. Kolik procent má směs?

6. Zahrádkář má 10% koncentrát hnojiva a potřebuje 2 kg 2% roztoku na zalévání. Kolik koncentrátu a kolik vody smíchá?

Kam dál