Magnetické pole a elektromagnetická indukce

Magnetické pole je prostor kolem magnetu nebo kolem vodiče, kterým teče proud, ve kterém působí magnetické síly. Znázorňuje se indukčními čarami, které vně magnetu vycházejí ze severního pólu a vstupují do jižního. Elektromagnetická indukce je opačný jev: když se magnetické pole procházející cívkou mění, vzniká v cívce napětí. Na tom stojí generátor v elektrárně i transformátor v nabíječce.

`F = B \cdot I \cdot l \cdot \sin\alpha`
`U_i = -N \cdot \dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}`

První vzorec je síla, kterou magnetické pole působí na vodič s proudem, druhý napětí indukované v cívce s N závity. Magnetismus se probírá v 9. třídě (magnety, elektromagnet, elektromotor, indukce, střídavý proud a transformátor), výpočty s magnetickou indukcí B a magnetickým indukčním tokem Φ přijdou na střední škole. Vlastní čísla dosadíte do kalkulaček magnetické pole cívky, síla na vodič, indukované napětí a transformátor, které ukážou i postup.

Magnet a jeho póly

Každý magnet má dva póly, severní (značí se N) a jižní (S). Nejsilnější přitažlivé účinky má magnet právě u pólů, uprostřed skoro žádné.

• Nesouhlasné póly se přitahují, severní a jižní.
• Souhlasné póly se odpuzují, dva severní nebo dva jižní.
• Póly nejdou oddělit. Když tyčový magnet rozlomíme, vzniknou dva menší magnety a každý má zase severní i jižní pól.
• Magnet přitahuje jen feromagnetické látky: železo, ocel, nikl a kobalt. Hliník, měď, dřevo ani plast nepřitáhne.

Magnetické pole se zviditelní železnými pilinami nasypanými na papír nad magnetem: seřadí se do čar, kterým se říká indukční čáry. Jejich směr ukazuje magnetka, malý otočný magnet, jejíž severní pól se natočí ve směru čáry.

Indukční čáry jsou uzavřené: vně magnetu vedou od severního pólu k jižnímu a uvnitř magnetu se vracejí od jižního k severnímu. Nikde se nekříží a tam, kde jsou hustší, je pole silnější. Proto se na obrázku shlukují u pólů.

Země je velký magnet. Severní pól střelky kompasu ukazuje k zeměpisnému severu, a protože se přitahují nesouhlasné póly, leží u zeměpisného severního pólu ve skutečnosti jižní magnetický pól Země. Magnetické póly navíc nejsou přesně u zeměpisných a pomalu se posouvají.

Magnetické pole vodiče a cívky, elektromagnet

Magnetické pole nemají jen magnety. Kolem každého vodiče, kterým teče proud, vzniká magnetické pole; magnetka položená pod vodič se po zapnutí proudu vychýlí. Indukční čáry tvoří kolem přímého vodiče soustředné kružnice a jejich směr určuje Ampérovo pravidlo pravé ruky: uchopíme vodič do pravé ruky tak, aby palec ukazoval směr proudu, a prsty pak ukazují směr indukčních čar. Směrem proudu se myslí směr od kladného pólu zdroje k zápornému.

Když vodič navineme do cívky, pole jednotlivých závitů se sečtou. Uvnitř cívky jsou indukční čáry rovnoběžné a pole je tam silné a stejnoměrné, venku vypadá stejně jako pole tyčového magnetu. Cívka s proudem má tedy také severní a jižní pól. Kde je který, určuje pravidlo pravé ruky pro cívku: pravou ruku položíme na cívku tak, aby pokrčené prsty ukazovaly směr proudu v závitech, a odtažený palec pak ukazuje k severnímu pólu.

Na obrázku je cívka v řezu. Tečka znamená proud tekoucí z obrázku ven k nám, křížek proud tekoucí od nás do obrázku. Pole je spočítané z proudů v závitech, ne nakreslené od ruky.

Elektromagnet je cívka s železným jádrem. Jádro pole zesílí zhruba tisíckrát, a hlavně se elektromagnet dá vypnout: bez proudu přestane přitahovat. Jeho magnetické účinky jsou tím silnější, čím větší proud cívkou teče a čím víc má cívka závitů. Elektromagnet je v jeřábu na železný šrot, v elektrickém zvonku, v relé i v jističi.

Na střední škole se síla pole vyjadřuje magnetickou indukcí B a měří v teslách (T). Uvnitř dlouhé cívky bez jádra je

`B = \mu_0 \cdot \dfrac{N \cdot I}{l}`

kde N je počet závitů, I proud, l délka cívky v metrech a `\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\ \mathrm{T \cdot m/A}` je permeabilita vakua, konstanta.

Příklad 1

Cívka dlouhá 20 cm má 500 závitů a teče jí proud 2 A. Jaká je magnetická indukce uvnitř?

`B = 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot \dfrac{500 \cdot 2}{0{,}2}`
`B \doteq 6{,}28 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{T} = 6{,}28\ \mathrm{mT}`

Délku jsme převedli na metry, 20 cm je 0,2 m. Kontrola řádu: pole Země má asi 50 µT, takže cívka dá zhruba 126krát silnější pole, s železným jádrem by to bylo tisíckrát víc. Kalkulačka magnetické pole cívky má právě tenhle příklad nastavený.

Pro představu, jak velká je jedna tesla:

Síla na vodič a elektromotor

Magnetické pole působí silou na vodič, kterým teče proud. Síla je kolmá na vodič i na indukční čáry a její směr určuje Flemingovo pravidlo levé ruky: otevřenou levou ruku položíme k vodiči tak, aby prsty ukazovaly směr proudu a indukční čáry vstupovaly do dlaně, a odtažený palec pak ukazuje směr síly. Když se otočí směr proudu, nebo se prohodí póly magnetu, síla míří opačně.

Na střední škole se velikost síly počítá podle vzorce

`F = B \cdot I \cdot l \cdot \sin\alpha`

kde B je magnetická indukce, l délka vodiče v poli a α úhel mezi vodičem a indukčními čarami. Vodič kolmý na čáry (α = 90°, `\sin 90^\circ = 1`) cítí největší sílu, vodič s čarami rovnoběžný žádnou.

Příklad 2

Vodič o délce 30 cm je v magnetickém poli o indukci 0,5 T kolmo na indukční čáry a teče jím proud 2 A. Jak velká síla na něj působí?

`F = 0{,}5 \cdot 2 \cdot 0{,}3 \cdot \sin 90^\circ = 0{,}3\ \mathrm{N}`

To je zhruba tíha třicetigramového závaží. Kdyby vodič svíral s čarami úhel 30°, síla by klesla na polovinu, na 0,15 N, protože `\sin 30^\circ = 0{,}5`. Kalkulačka síla na vodič v magnetickém poli má tenhle příklad nastavený, úhel v ní můžete změnit.

Na této síle stojí elektromotor. Mezi póly magnetu je otočná cívka, a když jí teče proud, na její dvě strany působí síly opačným směrem a cívku otáčejí. Aby se točila pořád stejným směrem, mění komutátor po každé půlotáčce směr proudu v cívce. Stejně funguje reproduktor, jen se v něm cívka s membránou nehýbe dokola, ale kmitá tam a zpět.

Na letící náboj (střední škola) působí magnetické pole také, Lorentzovou silou `F = B \cdot Q \cdot v \cdot \sin\alpha`. Je stále kolmá na rychlost, takže částici nezrychlí ani nezpomalí, jen ji stáčí, a v kolmém poli letí částice po kružnici o poloměru `r = \dfrac{m v}{Q B}`. Elektron letící rychlostí `10^6\ \mathrm{m/s}` kolmo do pole 0,2 T cítí sílu `3{,}2 \cdot 10^{-14}\ \mathrm{N}` a opíše kružnici o poloměru 0,028 mm, jak spočítá kalkulačka Lorentzova síla. Stejně stáčí magnetické pole Země nabité částice ze Slunce k pólům, kde je vidět polární záře.

Elektromagnetická indukce

Když do cívky připojené k citlivému měřidlu zasuneme magnet, ručička se vychýlí: v cívce vzniklo napětí a obvodem teče indukovaný proud. Když magnet vysuneme, ručička se vychýlí na druhou stranu. Když magnet v cívce jen leží, neukáže nic. Tento jev objevil Michael Faraday v roce 1831.

• Napětí se indukuje, jen když se magnetické pole v cívce mění: magnet se pohybuje, cívka se pohybuje, nebo se mění proud v jiné cívce vedle.
• Indukované napětí je tím větší, čím rychleji se pole mění, čím víc má cívka závitů a čím silnější je magnet.
• Lenzův zákon: indukovaný proud má takový směr, že svým magnetickým polem působí proti změně, která ho vyvolala. Proto magnet puštěný do měděné trubky padá znatelně pomaleji: proudy indukované v trubce ho brzdí.

Na střední škole se to počítá přes magnetický indukční tok Φ, tedy kolik pole prochází plochou závitu. Jednotkou je weber (Wb).

`\Phi = B \cdot S \cdot \cos\alpha`

Úhel α se tu měří mezi indukčními čarami a kolmicí k ploše, ne plochou samotnou. Plocha kolmá na čáry má α = 0° a tok největší. Faradayův zákon pak říká, že indukované napětí v cívce s N závity je

`U_i = -N \cdot \dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}`

Minus vyjadřuje Lenzův zákon, tedy že indukované napětí působí proti změně. Pro velikost napětí se počítá bez něj.

Příklad 3

Cívka s 200 závity má plochu závitu 200 cm² a leží kolmo na indukční čáry v poli 0,4 T. Za 0,02 s ji z pole vytáhneme. Jaké napětí se v ní indukuje?

`\Phi = 0{,}4 \cdot 0{,}02 \cdot \cos 0^\circ = 0{,}008\ \mathrm{Wb} = 8\ \mathrm{mWb}`
`U_i = 200 \cdot \dfrac{0{,}008}{0{,}02} = 80\ \mathrm{V}`

Plochu jsme převedli na metry čtvereční, 200 cm² je 0,02 m². Tok klesne z 8 mWb na nulu, takže změna je 8 mWb. Kontrola: kdybychom cívku vytahovali desetkrát pomaleji, za 0,2 s, indukovalo by se desetkrát menší napětí, 8 V. Oba kroky mají nastavené kalkulačky magnetický indukční tok a indukované napětí.

Generátor a střídavý proud

Když se cívka otáčí v magnetickém poli, nebo se magnet otáčí uvnitř cívek, tok cívkou se pořád mění a indukuje se v ní napětí. To je generátor. V elektrárně ho roztáčí turbína a říká se mu alternátor, na kole je to dynamo. Napětí z něj střídá směr: chvíli je kladné, chvíli záporné, a jeho průběh v čase je sinusovka. Takovému proudu se říká střídavý.

V české síti má střídavé napětí frekvenci 50 Hz: za jednu sekundu proběhne 50 celých kmitů, jeden trvá 20 ms, a napětí přitom stokrát projde nulou. Údaj 230 V není nejvyšší napětí v zásuvce, ale efektivní hodnota: takové stálé napětí, které by v žárovce nebo v topení vyrobilo stejné teplo. Nejvyšší hodnota, amplituda, je √2krát větší:

`U = \dfrac{U_m}{\sqrt{2}}`
`U_m = 230 \cdot \sqrt{2} \doteq 325\ \mathrm{V}`

Napětí v zásuvce tedy kmitá mezi +325 V a −325 V. Stejně se přepočítává proud. Kalkulačka efektivní hodnota střídavého napětí převádí oběma směry.

Transformátor

Transformátor mění střídavé napětí na vyšší nebo nižší. Má dvě cívky na společném železném jádře. Střídavý proud v primární cívce vytváří v jádře magnetické pole, které se pořád mění, a to indukuje napětí v sekundární cívce. Každý závit obou cívek dostane stejné napětí, takže napětí jsou ve stejném poměru jako počty závitů:

`\dfrac{U_2}{U_1} = \dfrac{N_2}{N_1}`

Tomuto poměru se říká transformační poměr k. Když má sekundární cívka méně závitů než primární, transformátor napětí snižuje (k je menší než 1), když víc, zvyšuje. Na stejnosměrný proud transformátor nefunguje: stálý proud vytvoří stálé pole a stálé pole nic neindukuje.

Příklad 4

Transformátor má na primární cívce 1 150 závitů a je připojený do zásuvky na 230 V. Sekundární cívka má 60 závitů. Jaké napětí je na ní?

`U_2 = U_1 \cdot \dfrac{N_2}{N_1} = 230 \cdot \dfrac{60}{1150} = 12\ \mathrm{V}`

Dá se to spočítat i bez vzorce: na jeden závit připadá 230 : 1 150 = 0,2 V, a 60 závitů tedy dá 60 · 0,2 = 12 V. Je to snižovací transformátor s poměrem k = 60 : 1 150, tedy asi 0,052.

Výkon transformátor nevyrobí. Ideální transformátor beze ztrát přenese stejný výkon `P = U \cdot I`, takže kde se napětí sníží, proud se ve stejném poměru zvýší. Kdyby primární cívkou tekl proud 0,1 A, sekundární by dala `0{,}1 \cdot \dfrac{1150}{60} \doteq 1{,}92\ \mathrm{A}`, a výkon je na obou stranách 23 W. Kalkulačka transformátor s tímto příkladem spočítá napětí i proudy. Skutečný transformátor se trochu zahřívá, takže výstupní výkon je o něco menší.

Proč se elektřina přenáší vysokým napětím

Dráty vedení mají odpor a proud v nich část energie mění v teplo. Ztráty jsou tím větší, čím větší proud vedením teče. Spočítáme to pro výkon 100 kW a vedení s odporem 0,5 Ω:

• Při napětí 400 V by vedením tekl proud `I = \dfrac{P}{U} = \dfrac{100\,000}{400} = 250\ \mathrm{A}`. Na vedení by byl úbytek napětí `0{,}5 \cdot 250 = 125\ \mathrm{V}` a ztráty `125 \cdot 250 = 31\,250\ \mathrm{W}`, skoro třetina přenášeného výkonu.
• Při napětí 22 000 V teče jen asi 4,55 A, úbytek je asi 2,3 V a ztráty jen asi 10 W.

Proto se u elektrárny napětí transformátorem zvýší až na 400 000 V, dálkovým vedením teče malý proud a u měst a vesnic se napětí postupně snižuje (110 kV, 22 kV) až na 230 V do zásuvky. Bez transformátorů by to nešlo, a to je hlavní důvod, proč se v síti používá střídavý proud. Ztrátový výkon na vlastních číslech spočítá kalkulačka výkon na rezistoru.

Cívka a kondenzátor ve střídavém obvodu (střední škola)

Pro střídavý proud kladou odpor i cívka a kondenzátor, každý ale jinak podle frekvence. Cívka se brání změnám proudu (indukuje se v ní napětí proti nim), a tím víc, čím rychleji se proud mění. Kondenzátor se nabíjí a vybíjí, a tím snáz, čím vyšší je frekvence. Jejich odporům se říká induktance a kapacitance:

`X_L = 2\pi f \cdot L`
`X_C = \dfrac{1}{2\pi f \cdot C}`

L je indukčnost cívky v henry (H), C kapacita kondenzátoru ve faradech (F). V sériovém obvodu s rezistorem, cívkou a kondenzátorem se induktance a kapacitance odečítají, protože působí proti sobě, a s odporem se skládají jako odvěsny pravoúhlého trojúhelníku. Výsledku se říká impedance:

`Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}`

Pro R = 100 Ω, L = 100 mH, C = 10 µF a f = 50 Hz vyjde `X_L \doteq 31{,}4\ \Omega`, `X_C \doteq 318{,}3\ \Omega` a `Z = \sqrt{100^2 + 286{,}9^2} \doteq 303{,}8\ \Omega`. Převládá kondenzátor, takže proud napětí předbíhá. Ohmův zákon platí dál, jen se místo R dosadí Z. Když se obě reaktance vyrovnají, nastane rezonance, a to při frekvenci podle Thomsonova vztahu

`f_0 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{L \cdot C}}`

pro stejnou cívku a kondenzátor asi 159 Hz. Na rezonanci stojí ladění rádia. Všechno spočítají kalkulačky induktance a kapacitance, impedance RLC a rezonanční frekvence.

Vzorce na jednom místě

Časté chyby

• 230 V jako nejvyšší napětí. 230 V je efektivní hodnota, amplituda je 325 V. Kdo počítá maximální napětí, musí násobit √2.
• Indukce bez změny. Nehybný magnet v cívce ani stálý proud v primární cívce nic neindukují, ať je pole jakkoli silné. Rozhoduje rychlost změny toku, ne jeho velikost.
• Úhel ve vzorcích. V `F = B I l \sin\alpha` je α úhel mezi vodičem a čarami, v `\Phi = B S \cos\alpha` mezi čarami a kolmicí k ploše. Plocha kolmá na čáry má α = 0°, ne 90°.
• Jednotky. Délka cívky a vodiče v metrech, plocha v metrech čtverečních (200 cm² je 0,02 m², ne 0,2 m²), tok ve weberech, indukčnost v henry a kapacita ve faradech (10 µF je `10^{-5}\ \mathrm{F}`).
• Transformátor, který „přidá“ výkon. Zvýší napětí, ale proud ve stejném poměru sníží. Proudy jsou v obráceném poměru než závity.
• Pravá a levá ruka. Pravá ruka určuje, kam míří pole kolem vodiče a kde má cívka severní pól. Levá ruka (Flemingovo pravidlo) určuje, kam míří síla na vodič v poli.
• Severní pól kompasu a severní pól Země. Střelka míří k severu, protože tam je jižní magnetický pól Země.

Příklady k procvičení

Kam dál

• Všech devět kalkulaček sady magnetismus a střídavý proud, od síly na vodič po rezonanční frekvenci, a kalkulačka transformátor v sadě elektrický proud.
• Napětí, proud, odpor a příkon: Ohmův zákon a elektrický obvod, s procvičováním Ohmova zákona.
• Síla, výslednice a zrychlení: Newtonovy zákony a třecí síla. Práce, výkon a energie: Práce, výkon a energie.
• Sinusovka, podle které se mění střídavé napětí: Funkce sinus a kosekans.