Elektrický náboj, Coulombův zákon a kondenzátor

Elektrický náboj Q je vlastnost částic, kvůli které se navzájem přitahují nebo odpuzují. Jednotkou je coulomb (C). Náboje stejného znaménka se odpuzují, opačného se přitahují, a velikost síly mezi dvěma bodovými náboji udává Coulombův zákon:

`\begin{gathered}F = k \cdot \dfrac{|Q_1 \cdot Q_2|}{r^2} \\[10pt] k \doteq 8{,}99 \cdot 10^9\ \mathrm{N \cdot m^2 / C^2}\end{gathered}`

Tady r je vzdálenost nábojů. Dvojnásobná vzdálenost znamená čtvrtinovou sílu. Náboj se dá uložit do kondenzátoru, dvou vodivých desek oddělených izolantem, a kolik se ho tam vejde na každý volt napětí, říká kapacita C = Q / U. Vlastní čísla spočítají kalkulačky Coulombův zákon, elektrický náboj z proudu a času a náboj a energie kondenzátoru. Elektrický náboj, pole a kondenzátor se probírají ve 2. ročníku střední školy; na proud, napětí a odpor z obvodu navazuje článek Ohmův zákon a elektrický obvod.

Elektrický náboj a coulomb

Náboj nesou částice atomu: proton kladný, elektron stejně velký záporný. Tahle nejmenší velikost náboje je elementární náboj:

`e \doteq 1{,}602 \cdot 10^{-19}\ \mathrm{C}`

Každý náboj je celým násobkem e, nikdy ne jeho zlomkem; říká se, že náboj je kvantovaný. Těleso je nabité, když má víc elektronů než protonů (záporně), nebo méně (kladně). Náboj přitom nevzniká ani nezaniká, jen se přesouvá. Když třeme balonek o vlasy, elektrony přejdou z vlasů na balonek, balonek je pak nabitý záporně a vlasy stejně velkým nábojem kladně. To je zákon zachování elektrického náboje.

Proud je náboj, který projde vodičem za sekundu. Náboj se proto spočítá jako proud krát čas, a z toho je odvozená i jednotka: 1 C je náboj, který projde vodičem za 1 s při proudu 1 A.

`\begin{gathered}Q = I \cdot t \\[10pt] 1\ \mathrm{C} = 1\ \mathrm{A \cdot s}\end{gathered}`

U baterií se náboj udává v ampérhodinách: 1 Ah = 1 A · 3600 s = 3600 C. Powerbanka s nápisem 5000 mAh pojme 5 Ah, tedy 18 000 C.

Příklad 1: náboj a počet elektronů

Vodičem teče proud 2 A po dobu 5 minut. Jaký náboj jím projde a kolik je to elektronů?

`\begin{gathered}Q = 2\ \mathrm{A} \cdot 300\ \mathrm{s} = 600\ \mathrm{C} \\[10pt] N = \dfrac{Q}{e} = \dfrac{600}{1{,}602 \cdot 10^{-19}} \doteq 3{,}75 \cdot 10^{21}\end{gathered}`

Pět minut je třeba převést na 300 sekund, jinak vyjde náboj šedesátkrát menší. Číslo 3,75 · 10²¹ elektronů vypadá obrovsky, a přesto je to jen asi šest tisícin molu. Výpočet i s ampérhodinami ukáže kalkulačka elektrický náboj.

Coulombův zákon: síla mezi náboji

Dva bodové náboje Q₁ a Q₂ ve vzdálenosti r na sebe působí stejně velkými silami opačného směru. Velikost síly je přímo úměrná součinu nábojů a nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti:

`F = k \cdot \dfrac{|Q_1 \cdot Q_2|}{r^2}`

Konstanta k platí pro vakuum a prakticky stejně pro vzduch. Často se zapisuje pomocí permitivity vakua ε₀:

`\begin{gathered}k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \\[10pt] \varepsilon_0 \doteq 8{,}854 \cdot 10^{-12}\ \mathrm{C^2 / (N \cdot m^2)}\end{gathered}`

V jiném prostředí, třeba ve vodě nebo v oleji, je síla ε_rkrát menší, kde ε_r je relativní permitivita prostředí. O tom, jestli se náboje přitahují, nebo odpuzují, rozhodují znaménka. Do vzorce proto dosadíme velikosti nábojů a směr síly určíme zvlášť.

Příklad 2: síla mezi dvěma náboji

Náboje 50 nC a −30 nC jsou ve vzdálenosti 10 cm. Jak velkou silou na sebe působí?

Nejdřív jednotky soustavy SI: 1 nC = 10⁻⁹ C a 10 cm = 0,1 m.

`\begin{gathered}F = 8{,}99 \cdot 10^9 \cdot \dfrac{50 \cdot 10^{-9} \cdot 30 \cdot 10^{-9}}{0{,}1^2}\ \mathrm{N} \\[10pt] F \doteq 1{,}35 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{N} = 1{,}35\ \mathrm{mN}\end{gathered}`

Náboje mají opačná znaménka, takže se přitahují. Ve dvojnásobné vzdálenosti by síla klesla na čtvrtinu, asi 0,34 mN. Kalkulačka Coulombův zákon bere náboje rovnou v nanocoulombech i se znaménkem a směr síly řekne sama.

Coulombův zákon vypadá stejně jako Newtonův gravitační zákon, jen místo hmotností jsou v něm náboje. Elektrická síla je ale nesrovnatelně silnější: elektron a proton v atomu vodíku se přitahují elektricky asi 2 · 10³⁹krát silněji než gravitačně. Gravitace vládne velkým tělesům jen proto, že ta jsou jako celek skoro přesně neutrální.

Elektrické pole a jeho intenzita

Náboj kolem sebe vytváří elektrické pole a každý jiný náboj v něm cítí sílu. Jak silné je pole v daném místě, udává intenzita elektrického pole E: síla, která by působila na náboj 1 C, tedy síla dělená nábojem.

`\begin{gathered}E = \dfrac{F}{Q} \\[10pt] F = Q \cdot E\end{gathered}`

Jednotkou je N/C, což je totéž co V/m. Intenzita je vektor a na kladný náboj působí síla ve směru intenzity, na záporný proti němu. Pole se kreslí siločarami, které vycházejí z kladného náboje a končí v záporném. Kolem bodového náboje Q klesá intenzita se čtvercem vzdálenosti, stejně jako síla v Coulombově zákonu:

`E = k \cdot \dfrac{|Q|}{r^2}`

Mezi dvěma rovnoběžnými nabitými deskami je pole homogenní: má všude stejný směr i velikost a siločáry jsou rovnoběžné. Jeho intenzita se spočítá z napětí mezi deskami a jejich vzdálenosti:

`E = \dfrac{U}{d}`

Příklad 3: pole mezi deskami

Mezi deskami vzdálenými 5 mm je napětí 1000 V. Jaká je intenzita pole a jak velká síla působí na náboj 20 nC mezi deskami?

`\begin{gathered}E = \dfrac{1000\ \mathrm{V}}{0{,}005\ \mathrm{m}} = 200\,000\ \mathrm{V/m} \\[10pt] F = 20 \cdot 10^{-9} \cdot 200\,000\ \mathrm{N} = 0{,}004\ \mathrm{N} = 4\ \mathrm{mN}\end{gathered}`

Milimetry na metry: 5 mm je 0,005 m. Vzduch vydrží intenzitu asi 3 000 000 V/m; nad ní přeskočí mezi deskami jiskra. Tady je pole patnáctkrát slabší, takže k průrazu nedojde. Kalkulačka intenzita elektrického pole to porovná sama.

Práce v elektrickém poli a napětí

Když pole přenese náboj Q mezi dvěma místy s napětím U, vykoná práci:

`W = Q \cdot U`

Odtud je vidět, co napětí znamená: je to práce na jeden coulomb. Napětí 1 V znamená, že pole vykoná při přenesení náboje 1 C práci 1 J. Náboj 20 nC přenesený mezi deskami z příkladu 3 dostane 20 · 10⁻⁹ · 1000 J = 20 µJ.

U jednotlivých částic se práce udává v elektronvoltech. 1 eV je energie, kterou získá elektron urychlený napětím 1 V, tedy 1,602 · 10⁻¹⁹ J.

Příklad 4: elektron urychlený napětím

Elektron urychlíme z klidu napětím 1000 V. Jakou energii získá a jak rychle poletí?

`\begin{gathered}W = e \cdot U = 1{,}602 \cdot 10^{-19} \cdot 1000\ \mathrm{J} \\[10pt] W \doteq 1{,}6 \cdot 10^{-16}\ \mathrm{J} = 1000\ \mathrm{eV} \\[10pt] v = \sqrt{\dfrac{2W}{m_e}} = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-16}}{9{,}11 \cdot 10^{-31}}}\ \mathrm{m/s} \\[10pt] v \doteq 1{,}9 \cdot 10^7\ \mathrm{m/s}\end{gathered}`

Práce pole se změnila na pohybovou energii ½ m v², odtud rychlost. To je asi 19 000 km za sekundu, přes 6 % rychlosti světla. Na stejném principu, jen vyšším napětím, se urychlovaly elektrony ve starých televizních obrazovkách. Kalkulačka práce v elektrickém poli spočítá práci pro libovolný náboj a napětí a k tomu i rychlost elektronu.

Kondenzátor a jeho kapacita

Kondenzátor jsou dva vodiče, nejčastěji desky, oddělené izolantem. Po připojení ke zdroji se jedna deska nabije kladně, druhá stejně velkým záporným nábojem. Náboj na desce je přímo úměrný napětí a poměr obou je kapacita kondenzátoru:

`\begin{gathered}C = \dfrac{Q}{U} \\[10pt] Q = C \cdot U\end{gathered}`

Jednotkou je farad, 1 F = 1 C / 1 V. Farad je obrovská jednotka, běžné kondenzátory mají mikrofarady (µF, 10⁻⁶ F), nanofarady (nF, 10⁻⁹ F) a pikofarady (pF, 10⁻¹² F).

Kapacita deskového kondenzátoru roste s plochou desek S, klesá s jejich vzdáleností d a zvětší se, když mezi desky vložíme izolant s relativní permitivitou ε_r:

`C = \varepsilon_0 \varepsilon_r \cdot \dfrac{S}{d}`

Příklad 5: kapacita deskového kondenzátoru

Dvě desky o ploše 100 cm² jsou ve vzdálenosti 1 mm, mezi nimi je vzduch. Jaká je kapacita a jaký náboj se na desky dostane při napětí 100 V?

Plocha v m²: 100 cm² = 0,01 m², protože 1 m² = 10 000 cm². Vzdálenost 1 mm = 0,001 m.

`\begin{gathered}C = 8{,}854 \cdot 10^{-12} \cdot 1 \cdot \dfrac{0{,}01}{0{,}001}\ \mathrm{F} \\[10pt] C \doteq 8{,}85 \cdot 10^{-11}\ \mathrm{F} = 88{,}5\ \mathrm{pF} \\[10pt] Q = C \cdot U = 8{,}85 \cdot 10^{-11} \cdot 100\ \mathrm{C} \\[10pt] Q \doteq 8{,}85 \cdot 10^{-9}\ \mathrm{C} = 8{,}85\ \mathrm{nC}\end{gathered}`

Necelých 90 pikofaradů z desek velkých jako dlaň: proto mají skutečné kondenzátory desky z dlouhých stočených fólií a mezi nimi tenkou vrstvu izolantu. Kalkulačka kapacita deskového kondenzátoru převede jednotky sama.

Energie kondenzátoru

Nabitý kondenzátor má v poli mezi deskami uloženou energii. Při nabíjení roste napětí od nuly do U, takže se náboj přenáší v průměru přes poloviční napětí, a odtud ta polovina ve vzorci:

`E = \dfrac{1}{2} C U^2 = \dfrac{1}{2} Q U`

Příklad 6: kondenzátor 470 µF

Kondenzátor o kapacitě 470 µF je nabitý na 12 V. Jaký má náboj a jakou energii?

`\begin{gathered}Q = 470 \cdot 10^{-6} \cdot 12\ \mathrm{C} \\[10pt] Q = 5{,}64 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{C} = 5{,}64\ \mathrm{mC} \\[10pt] E = \dfrac{1}{2} \cdot 470 \cdot 10^{-6} \cdot 12^2\ \mathrm{J} \\[10pt] E \doteq 0{,}0338\ \mathrm{J} = 33{,}8\ \mathrm{mJ}\end{gathered}`

Kontrola druhým vzorcem: ½ · 5,64 · 10⁻³ · 12 J = 33,8 mJ. Energie roste se čtvercem napětí, na 24 V by ji měl čtyřikrát větší, 135 mJ. Obojí spočítá kalkulačka náboj a energie kondenzátoru.

Sériové a paralelní zapojení kondenzátorů

Kondenzátory se spojují stejně jako rezistory, ale vzorce mají obráceně. Při paralelním zapojení se kapacity sčítají, protože je to, jako bychom zvětšili plochu desek. Při sériovém zapojení se sčítají převrácené hodnoty, protože je to, jako bychom zvětšili vzdálenost desek.

`\begin{gathered}\text{paralelně:}\quad C = C_1 + C_2 + \dots \\[10pt] \text{sériově:}\quad \dfrac{1}{C} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2} + \dots\end{gathered}`

Paralelně zapojené kondenzátory mají všechny stejné napětí, napětí zdroje, a jejich náboje se sčítají. Sériově zapojené mají všechny stejný náboj a sčítají se jejich napětí. Výsledná kapacita sériového zapojení je vždycky menší než nejmenší z kapacit.

Příklad 7: dva kondenzátory na 12 V

Kondenzátory 10 µF a 40 µF připojíme ke zdroji 12 V nejdřív sériově, potom paralelně. Jaká je výsledná kapacita a náboj?

`\begin{gathered}\dfrac{1}{C} = \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{40} = \dfrac{5}{40} \\[10pt] C = 8\ \mathrm{\mu F} \\[10pt] Q = 8\ \mathrm{\mu F} \cdot 12\ \mathrm{V} = 96\ \mathrm{\mu C}\end{gathered}`

Sériově má každý kondenzátor náboj 96 µC. Na prvním je napětí 96 / 10 = 9,6 V, na druhém 96 / 40 = 2,4 V, dohromady 12 V, a to je kontrola. Větší napětí je na menším kondenzátoru. Paralelně je C = 10 + 40 = 50 µF a náboj 50 · 12 = 600 µC, z toho 120 µC na prvním a 480 µC na druhém. Kalkulačky sériové zapojení kondenzátorů a paralelní zapojení kondenzátorů zvládnou i tři kondenzátory.

Časté chyby

• Předpony. Nanocoulomby, mikrofarady a pikofarady se před dosazením převádějí na základní jednotky: n je 10⁻⁹, µ 10⁻⁶, p 10⁻¹². Zapomenutý převod posune výsledek o mnoho řádů.
• cm² na m². 100 cm² není 1 m², ale 0,01 m². Plocha se převádí po čtvercích, dělí se 10 000.
• Vzdálenost bez druhé mocniny. V Coulombově zákonu je r², dvojnásobná vzdálenost dá čtvrtinovou sílu, ne poloviční.
• Kondenzátory jako rezistory. Paralelně se kapacity sčítají, sériově se sčítají převrácené hodnoty. U rezistorů je to přesně naopak.
• Energie bez poloviny. Energie kondenzátoru je ½ C U², ne C U². Práce W = Q · U platí pro náboj přenesený přes stálé napětí, při nabíjení ale napětí roste od nuly.
• Záporný náboj ve vzorci pro velikost síly. Velikost síly je kladná. Znaménka nábojů říkají jen to, jestli se přitahují, nebo odpuzují.

Příklady k procvičení

Počítejte s e = 1,602 · 10⁻¹⁹ C, k = 8,99 · 10⁹ N · m²/C² a ε₀ = 8,854 · 10⁻¹² F/m.

Kam dál

• Kalkulačky sady elektrický proud: Coulombův zákon, elektrický náboj, intenzita elektrického pole, práce v elektrickém poli, kapacita deskového kondenzátoru, náboj a energie kondenzátoru, sériové a paralelní zapojení kondenzátorů.
• Proud, napětí, odpor a zapojení rezistorů: Ohmův zákon a elektrický obvod, s příklady v procvičování Ohmův zákon.
• Pole, které vytváří pohybující se náboj: Magnetické pole a elektromagnetická indukce.
• Síla a zrychlení, které elektrická síla náboji uděluje: Newtonovy zákony a třecí síla.