Značení, které tu používáme

Vrcholy se značí A, B, C. Strana a leží vždy proti vrcholu A, strana b proti vrcholu B a strana c proti vrcholu C. Úhel α je při vrcholu A, β při vrcholu B a γ při vrcholu C. Platí tedy, že α je úhel sevřený stranami b a c.

Kdy má zadání víc řešení

Tři nezávislé údaje obvykle trojúhelník určí jednoznačně - ale ne vždy. Zadáte-li dvě strany a úhel, který neleží mezi nimi (případ ssu), mohou zadání vyhovovat dva různé trojúhelníky, jeden, nebo žádný. Kalkulačka v takovém případě vypíše obě řešení; je na vás rozhodnout, které z nich odpovídá úloze.

Naopak základna a výška určují obsah, ale tvar ne - trojúhelníků se stejným obsahem je nekonečně mnoho.

Euklidovy věty

Platí jen v pravoúhlém trojúhelníku. Pravý úhel je u vrcholu C, přepona je tedy c. Výška vc na přeponu ji rozdělí na dva úseky: ca leží u odvěsny a, cb u odvěsny b, a dohromady dávají celou přeponu.

  • Věta o výšce: vc² = ca · cb. Čtverec nad výškou má stejný obsah jako obdélník z obou úseků.
  • Věta o odvěsně: a² = c · ca a b² = c · cb. Čtverec nad odvěsnou má stejný obsah jako obdélník z přepony a úseku, který k té odvěsně přiléhá.

Nejčastější chyba je vzít úsek z opačné strany: k odvěsně a patří úsek ca, ten, který se jí dotýká. Sečtete-li obě věty o odvěsně, vyjde a² + b² = c · (ca + cb) = c², tedy Pythagorova věta.

Podobnost trojúhelníků

Dva trojúhelníky jsou podobné, když mají stejné úhly; jeden je pak zvětšenina nebo zmenšenina druhého. Poměr podobnosti k je podíl dvou odpovídajících si stran, k = a′ / a. Stejným číslem k se násobí všechny délky - strany, výšky, těžnice, obvod i poloměry kružnic. Obsah se ale násobí k²: trojúhelník s dvakrát delšími stranami má čtyřikrát větší obsah.

Záleží na tom, které strany si odpovídají. Proti stejnému úhlu leží v obou trojúhelnících odpovídající si strany, takže nejkratší patří k nejkratší a nejdelší k nejdelší.

Na co si dát pozor

Aby trojúhelník vůbec existoval, musí platit trojúhelníková nerovnost: součet každých dvou stran je větší než strana třetí. Když zadáte délky, ze kterých trojúhelník sestrojit nejde, kalkulačka to napíše místo toho, aby vrátila nesmyslné číslo.

Úhly se zadávají ve stupních. Desetinná čísla můžete psát s tečkou i s čárkou.

Kde si to procvičit

K trojúhelníkům se váže několik článků na tomto webu - vzorečky pro trojúhelník, řešené příklady, sinová a kosinová věta, Pythagorova věta a Euklidova věta. Počítání si pak můžete vyzkoušet v procvičování.