Vektor je posun, ne bod

Bod má polohu, vektor ji nemá. Vektor (3; 1) znamená "o tři doprava a o jedno nahoru" a je to týž vektor, ať ho nakreslíte kdekoli. Proto se vektory zapisují do kulatých závorek se středníkem, kdežto body do hranatých: je to zápis dvou různých věcí.

Vektor mezi dvěma body se počítá jako konec minus začátek, tedy AB = B - A. Na pořadí záleží; obrácené pořadí dá opačný vektor, stejně dlouhý, ale otočený.

Sčítání a odčítání po souřadnicích

Obě operace se dělají po souřadnicích a nic se mezi nimi nemíchá: x-ová s x-ovou, y-ová s y-ovou. Geometricky je součet úhlopříčka rovnoběžníku, který oba vektory z počátku natáhnou. Rozdíl u - v je ta druhá úhlopříčka, která nevede z počátku, ale z konce v do konce u. Na nákresu u kalkulačky je vidět obojí najednou.

Dva součiny, a každý dává něco jiného

Tohle je nejdůležitější rozdíl v celé kapitole a vyplatí se ho mít srovnaný dřív než vzorce:

  • Skalární součin u · v dává jedno číslo. Počítá se jako x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ a jeho hlavní využití je poznat kolmost: nulový skalární součin znamená pravý úhel. Znaménko navíc prozradí, jestli je úhel ostrý, nebo tupý.
  • Vektorový součin u × v dává vektor, a to kolmý na oba zadané. Existuje jen v prostoru. Jeho velikost je obsah rovnoběžníku, který u a v natáhnou, takže polovina z ní je obsah trojúhelníku.

Vektorový součin navíc není komutativní: u × v a v × u se liší znaménkem. U skalárního součinu na pořadí nezáleží.

Úhel vektorů versus odchylka přímek

Úhel dvou vektorů se počítá z cos φ = u·v / (|u|·|v|) a může vyjít i tupý, protože vektory mají směr. Odchylka přímek je něco jiného: přímka směr nemá, takže odchylka se bere vždy mezi 0° a 90°, a do vzorce jde skalární součin v absolutní hodnotě.

Tenhle jeden pár svislých čar je rozdíl mezi správným a špatným výsledkem u poloviny příkladů na odchylky. Odchylkami se zabývá sekce Stereometrie.

Kdy jsou vektory rovnoběžné

Rovnoběžné, tedy lineárně závislé, jsou právě tehdy, když je jeden násobkem druhého. V prostoru se to pozná nulovým vektorovým součinem, v rovině stačí jediný determinant x₁y₂ - y₁x₂, což je přesně z-ová souřadnice toho součinu.

Rovinná úloha se zadá nulou

Kalkulačky výše berou tři souřadnice. Rovinnou úlohu zadáte tak, že třetí necháte nulovou, a výsledek se pak vypíše jen dvěma čísly. Je to záměrné: dvě sady stránek pro totéž by si v hledání konkurovaly navzájem, a rovinný vektor je stejně jen prostorový s nulovým z.