Objem, povrch, obsah a obvod: co je co

Čtyři slova, která se pletou nejčastěji. Obsah a obvod patří rovinným útvarům: obsah je plocha uvnitř, obvod délka čáry kolem dokola. Objem a povrch patří tělesům: objem je, kolik se do tělesa vejde, povrch je plocha jeho pláště a podstav dohromady.

Z toho plyne i jednotka. Obvod se měří v centimetrech, obsah i povrch v centimetrech čtverečních a objem v centimetrech krychlových. Proto tu u výsledků žádné jednotky nejsou: kdo měří v metrech, potřebuje m³, kdo v centimetrech, cm³, a vypsat jednu z nich by bylo pro toho druhého špatně.

U jehlanu jsou tři různé výšky

Tohle je zdaleka nejčastější zdroj chyb v celé kapitole. Pravidelný jehlan má tři úsečky, které se všechny dají splést:

  • v je výška jehlanu, tedy kolmice z vrcholu do středu podstavy,
  • va je výška boční stěny, která končí ve středu hrany podstavy,
  • h je boční hrana, která končí ve vrcholu podstavy.

Vztah mezi nimi je dvakrát Pythagorova věta. Výška stěny stojí na kružnici vepsané podstavě, takže va = √(v² + r²). Boční hrana míří dál, na kružnici opsanou, takže h = √(v² + R²). Do objemu jde vždy v, do povrchu vždy va, a h se objevuje jen tam, kde se zadání ptá přímo na hranu. Kalkulačka výše počítá všechny tři zvlášť, právě aby bylo vidět, že to jsou tři různá čísla.

Proč je jehlan třetina hranolu

Objem jehlanu je V = Sp · v / 3, tedy přesně třetina hranolu se stejnou podstavou a stejnou výškou. Není to náhoda ani přibližná hodnota: krychli lze rozřezat na tři shodné jehlany se čtvercovou podstavou, a stejná trojka pak vyjde pro každý jehlan i pro kužel.

Kulatá tělesa a to π

Válec se počítá jako hranol: podstava krát výška. Kužel jako jehlan: třetina téhož. Zajímavý je jen jejich plášť. Rozvinutý plášť válce je obdélník o rozměrech 2πr × v, takže se dá spočítat bez jakéhokoli nového vzorce. Plášť kužele je kruhová výseč o poloměru s, a právě proto do jeho vzorce patří strana kužele, ne výška. Záměna s za v je tu nejčastější chyba a kalkulačka počítá stranu zvlášť, aby byla vidět.

U koule už žádné rozvinutí neexistuje, kulová plocha se na rovinu rozložit nedá. Vzorce V = (4/3)πr³ a S = 4πr² se proto opravdu jen pamatují. Stojí za povšimnutí, že povrch koule je přesně čtyřnásobek obsahu jejího největšího kruhového řezu.

Šestiúhelník a proč je zvláštní

Pravidelný šestiúhelník se rozpadá na šest rovnostranných trojúhelníků se společným vrcholem ve středu. To má jeden hezký důsledek: poloměr kružnice opsané je rovnou roven straně, R = a. Žádný jiný pravidelný n-úhelník tuhle vlastnost nemá, a je to důvod, proč se právě šestiúhelník tak snadno kreslí kružítkem bez měření.

Pět platónských těles, a víc jich není

Pravidelných mnohostěnů existuje přesně pět a je to jedna z mála vět, která jde dokázat na dvou řádcích. Aby šel vrchol uzavřít, musí být součet úhlů u něj menší než 360°. Rovnostranné trojúhelníky mají 60°, takže jich u vrcholu můžou být tři, čtyři nebo pět. Čtverce mají 90°, takže jen tři. Pravidelné pětiúhelníky 108°, taky jen tři. Šestiúhelníky mají 120° a tři už dají rovných 360°, tedy rovinu, ne roh. Tím možnosti končí, a odpovídají čtyřstěnu, osmistěnu, dvacetistěnu, krychli a dvanáctistěnu.