Platónské těleso je pravidelný konvexní mnohostěn: všechny jeho stěny jsou shodné pravidelné mnohoúhelníky a v každém vrcholu se jich stýká stejný počet. Takových těles existuje právě pět: pravidelný čtyřstěn, krychle, pravidelný osmistěn, pravidelný dvanáctistěn a pravidelný dvacetistěn. Šesté neexistuje a ani existovat nemůže.

Česká jména počítají stěny, řecká také: čtyřstěn je tetraedr, krychle hexaedr (šestistěn), osmistěn oktaedr, dvanáctistěn dodekaedr a dvacetistěn ikosaedr. Obecné slovo pro mnohostěn je polyedr. Jméno mají tělesa po řeckém filozofovi Platónovi, který v dialogu Timaios přiřadil čtyři z nich živlům: krychli zemi, čtyřstěn ohni, osmistěn vzduchu a dvacetistěn vodě. Dvanáctistěn podle něj bůh použil na uspořádání celého vesmíru.

Níže najdete přehledovou tabulku, každé těleso zvlášť se vzorci, sítí a odvozením, důkaz, proč jich je jen pět, a počítané příklady. Objem a povrch všech pěti pro zadanou hranu najednou spočítá kalkulačka platónských těles.

Přehled všech pěti těles

V tabulce je `s` počet stěn, `h` počet hran, `v` počet vrcholů a `k` počet stěn (a stejně tak hran), které se sbíhají v jednom vrcholu.

tělesostěnashvk
čtyřstěntrojúhelník4643
krychlečtverec61283
osmistěntrojúhelník81264
dvanáctistěnpětiúhelník1230203
dvacetistěntrojúhelník2030125

Trojúhelníky jsou vždy rovnostranné a pětiúhelník pravidelný. Povrch `S` a objem `V` s hranou `a`:

tělesopovrch Sobjem V
čtyřstěn`\sqrt{3}\,a^2`
`\doteq 1{,}732\,a^2`		`\dfrac{\sqrt{2}}{12}\,a^3`
`\doteq 0{,}118\,a^3`
krychle`6a^2``a^3`
osmistěn`2\sqrt{3}\,a^2`
`\doteq 3{,}464\,a^2`		`\dfrac{\sqrt{2}}{3}\,a^3`
`\doteq 0{,}471\,a^3`
dvanáctistěn`3\sqrt{25+10\sqrt{5}}\,a^2`
`\doteq 20{,}646\,a^2`		`\dfrac{15+7\sqrt{5}}{4}\,a^3`
`\doteq 7{,}663\,a^3`
dvacetistěn`5\sqrt{3}\,a^2`
`\doteq 8{,}660\,a^2`		`\dfrac{5(3+\sqrt{5})}{12}\,a^3`
`\doteq 2{,}182\,a^3`

Co je pravidelný mnohostěn

Mnohostěn (polyedr) je těleso ohraničené konečně mnoha mnohoúhelníky, kterým se říká stěny. Jejich strany jsou hrany a rohy vrcholy. Kvádr, hranol i jehlan jsou mnohostěny, koule ani válec ne. Mnohostěn je konvexní, když s každými dvěma body obsahuje i celou úsečku mezi nimi, tedy nemá žádné důlky ani zuby.

Aby byl mnohostěn pravidelný, musí splnit obě podmínky zároveň:

  1. všechny stěny jsou shodné pravidelné mnohoúhelníky,
  2. v každém vrcholu se stýká stejný počet stěn.

Samotná první podmínka nestačí. Když k sobě přiložíte podstavami dva pravidelné čtyřstěny, vznikne těleso ze šesti shodných rovnostranných trojúhelníků (trojboký dvojjehlan), ale v jeho dvou špičkách se stýkají tři stěny a ve třech vrcholech na „rovníku“ čtyři. Platónské těleso to tedy není.

Pravidelný čtyřstěn (tetraedr)

Pravidelný čtyřstěn má za stěny čtyři shodné rovnostranné trojúhelníky. Je to trojboký jehlan, jehož boční hrany jsou stejně dlouhé jako hrany podstavy, takže kteroukoli stěnu můžeme prohlásit za podstavu. Má 4 stěny, 6 hran a 4 vrcholy a v každém vrcholu se stýkají tři stěny.

Čtyřstěn
`\displaystyle \begin{gathered} S = \sqrt{3}\,a^2 \\[10pt] V = \frac{\sqrt{2}}{12}\,a^3 \\[10pt] v = \frac{\sqrt{6}}{3}\,a \end{gathered}`

Povrch jsou čtyři trojúhelníky o obsahu `\frac{\sqrt{3}}{4}a^2`. Pro objem potřebujeme výšku `v`: pata výšky `T` je těžiště podstavy, a to leží ve dvou třetinách těžnice, takže `|AT| = \frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{3}a`. Z pravoúhlého trojúhelníku `ATD` pak Pythagorova věta dá `v^2 = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2}{3}a^2`.

A B C D T v

Síť pravidelného čtyřstěnu je velký rovnostranný trojúhelník rozdělený středními příčkami na čtyři menší. Stačí ohnout tři rohy nahoru a sejdou se ve čtvrtém vrcholu. Výšku, povrch i objem pro zadanou hranu spočítá kalkulačka pravidelného čtyřstěnu.

Krychle (hexaedr)

Krychle, lidově kostka, je jediné platónské těleso se čtvercovými stěnami. Má 6 stěn, 12 hran a 8 vrcholů, v každém vrcholu se stýkají tři stěny. Řecký název hexaedr znamená šestistěn, ale pozor: šestistěn je i kvádr nebo kosý čtyřboký hranol. Pravidelný šestistěn je jen krychle.

Hexaedr
`\displaystyle \begin{gathered} S = 6a^2 \\[4pt] V = a^3 \\[4pt] u_s = a\sqrt{2},\quad u = a\sqrt{3} \end{gathered}`

`u_s` je stěnová a `u` tělesová úhlopříčka. Síť krychle má jedenáct různých tvarů, nejznámější je kříž. Podrobnosti a úhlopříčky počítá kalkulačka krychle.

Pravidelný osmistěn (oktaedr)

Pravidelný osmistěn má osm stěn, rovnostranných trojúhelníků, 12 hran a 6 vrcholů. V každém vrcholu se stýkají čtyři stěny. Nejsnáz si ho představíte jako dva pravidelné čtyřboké jehlany slepené podstavami: čtverec `ABCD` uprostřed není stěna, jen řez tělesem.

Osmistěn
A B C D E F a

Z toho plyne všechno potřebné. V trojúhelníku `AEC` jsou `|EA| = |EC| = a` a `|AC| = a\sqrt{2}` je úhlopříčka čtverce. Protože `a^2 + a^2 = (a\sqrt{2})^2`, je pravoúhlý s pravým úhlem u `E`, a jeho výška z `E`, tedy výška jehlanu, je polovina přepony: `\frac{a\sqrt{2}}{2}`. Spojnice protějších vrcholů `EF` má proto délku `a\sqrt{2}` stejně jako `AC` a `BD`, osmistěn je ve všech třech směrech stejně „vysoký“.

`\displaystyle \begin{gathered} S = 8\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = 2\sqrt{3}\,a^2 \\[10pt] V = 2\cdot\frac{1}{3}\,a^2\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{3}\,a^3 \\[10pt] |EF| = |AC| = a\sqrt{2} \end{gathered}`

Síť osmistěnu je pás šesti trojúhelníků a k němu jeden trojúhelník nahoře a jeden dole. Osmistěn má stejný počet hran jako krychle, 12, a počty stěn a vrcholů jsou prohozené (8 a 6 proti 6 a 8). To není náhoda, viz dualita níže.

Pravidelný dvanáctistěn (dodekaedr)

Pravidelný dvanáctistěn má dvanáct stěn tvaru pravidelného pětiúhelníku, 30 hran a 20 vrcholů. V každém vrcholu se stýkají tři stěny. Je to jediné platónské těleso, jehož stěny nejsou trojúhelníky ani čtverce.

Dvanáctistěn
`\displaystyle \begin{gathered} S = 3\sqrt{25+10\sqrt{5}}\;a^2 \doteq 20{,}65\,a^2 \\[10pt] V = \frac{15+7\sqrt{5}}{4}\,a^3 \doteq 7{,}66\,a^3 \end{gathered}`

Povrch je dvanáctkrát obsah pravidelného pětiúhelníku, který je `\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{4}\,a^2 \doteq 1{,}72\,a^2` (spočítá ho kalkulačka pravidelného n-úhelníku). Pozor, `a^2` stojí mimo odmocninu. Síť se skládá ze dvou „kytiček“: pětiúhelník a kolem něj pět dalších, a stejná kytička otočená a připojená jednou hranou.

Pravidelný dvacetistěn (ikosaedr)

Pravidelný dvacetistěn má dvacet stěn, rovnostranných trojúhelníků, 30 hran a 12 vrcholů. V každém vrcholu se stýká pět stěn, nejvíc ze všech pěti těles. Ze všech platónských těles se stejným povrchem má největší objem, a proto se nejvíc podobá kouli.

Dvacetistěn
`\displaystyle \begin{gathered} S = 20\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = 5\sqrt{3}\,a^2 \\[10pt] V = \frac{5\,(3+\sqrt{5})}{12}\,a^3 \doteq 2{,}18\,a^3 \end{gathered}`

Síť je pás deseti trojúhelníků, nad kterým je pět trojúhelníků (ty se sejdou v horním vrcholu) a pod ním dalších pět.

Proč jich je jen pět

Podívejte se na jeden vrchol. Stýkají se v něm aspoň tři stěny, jinak by nevznikl roh. A součet jejich úhlů musí být menší než 360°: při přesně 360° leží stěny v rovině a při víc se do ní ani nevejdou. Vnitřní úhel pravidelného `n`-úhelníku je `\frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}`, tedy 60° u trojúhelníku, 90° u čtverce, 108° u pětiúhelníku a 120° u šestiúhelníku.

3 · 60° = 180° čtyřstěn 4 · 60° = 240° osmistěn 5 · 60° = 300° dvacetistěn 6 · 60° = 360° leží v rovině 3 · 90° = 270° krychle 4 · 90° = 360° leží v rovině 3 · 108° = 324° dvanáctistěn 3 · 120° = 360° leží v rovině
  • Trojúhelníky po 60°: tři (180°), čtyři (240°) nebo pět (300°). Šest dá přesně 360°, rovinu. Tři možnosti: čtyřstěn, osmistěn, dvacetistěn.
  • Čtverce po 90°: jen tři (270°), čtyři už dají 360°. Krychle.
  • Pětiúhelníky po 108°: jen tři (324°), čtyři dají 432°. Dvanáctistěn.
  • Šestiúhelníky po 120°: už tři dají 360°. A mnohoúhelníky s víc stranami mají úhel větší než 120°, takže i tři jsou moc.

Víc možností není, a každá z pěti skutečně vede na těleso. Tuto úvahu znal už Eukleidés, který jí kolem roku 300 před naším letopočtem zakončil své Základy.

Eulerova věta a počty hran

Pro každý konvexní mnohostěn platí Eulerova věta:

`v - h + s = 2`

Krychle: `8 - 12 + 6 = 2`, dvanáctistěn: `20 - 30 + 12 = 2`. Počty hran a vrcholů se ale nemusí učit nazpaměť, dají se spočítat ze stěn. Má-li každá stěna `n` hran a v každém vrcholu se stýká `k` stěn, pak

`\displaystyle \begin{gathered} h = \frac{n\cdot s}{2} \\[10pt] v = \frac{n\cdot s}{k} \end{gathered}`

Dělíme dvěma, protože každou hranu sdílí dvě stěny, a `k`, protože každý vrchol sdílí `k` stěn.

Příklad 1

Kolik hran a vrcholů má pravidelný dvanáctistěn?

Dvanáct pětiúhelníků má dohromady `12\cdot 5 = 60` stran. Každá hrana tělesa vznikne ze dvou stran, takže `h = 60 : 2 = 30`. V každém vrcholu se sejdou tři pětiúhelníky, takže `v = 60 : 3 = 20`.

Kontrola Eulerovou větou: `20 - 30 + 12 = 2`. Sedí.

Dualita: krychle a osmistěn

Spojíte-li středy sousedních stěn krychle, vznikne pravidelný osmistěn. A spojíte-li středy stěn osmistěnu, vznikne zase krychle. Takovým dvojicím se říká duální tělesa: stěny jednoho odpovídají vrcholům druhého, a proto mají prohozené `s` a `v` a stejné `h`.

  • krychle (6, 12, 8) a osmistěn (8, 12, 6),
  • dvanáctistěn (12, 30, 20) a dvacetistěn (20, 30, 12),
  • čtyřstěn (4, 6, 4) je duální sám se sebou.

Počítané příklady

Příklad 2

Vypočtěte povrch a objem pravidelného osmistěnu s hranou `a = 6\ \mathrm{cm}`.

`\displaystyle \begin{gathered} S = 2\sqrt{3}\cdot 6^2 = 72\sqrt{3} \doteq 124{,}71\ \mathrm{cm^2} \\[10pt] V = \frac{\sqrt{2}}{3}\cdot 6^3 = 72\sqrt{2} \doteq 101{,}82\ \mathrm{cm^3} \end{gathered}`

Kontrola přes dva jehlany: podstava má obsah `36\ \mathrm{cm^2}`, výška jehlanu je polovina úhlopříčky, `3\sqrt{2} \doteq 4{,}24\ \mathrm{cm}`. Jeden jehlan má `\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 4{,}24 \doteq 50{,}9\ \mathrm{cm^3}`, dva tedy `101{,}8\ \mathrm{cm^3}`. Stejný výsledek ukáže kalkulačka s hranou 6.

Příklad 3

Pravidelný čtyřstěn má hranu `a = 6\ \mathrm{cm}`. Jak je vysoký a jaký má objem?

`\displaystyle \begin{gathered} v = \frac{\sqrt{6}}{3}\cdot 6 = 2\sqrt{6} \doteq 4{,}90\ \mathrm{cm} \\[10pt] V = \frac{\sqrt{2}}{12}\cdot 6^3 = 18\sqrt{2} \doteq 25{,}46\ \mathrm{cm^3} \end{gathered}`

Kontrola vzorcem pro jehlan: podstava je rovnostranný trojúhelník o obsahu `\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 36 = 9\sqrt{3}`, takže `V = \frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{6} = 6\sqrt{18} = 18\sqrt{2}`. Výška je menší než hrana, jak má být.

Příklad 4

Z papíru chceme slepit dvanáctistěn s hranou `5\ \mathrm{cm}`, například jako stolní kalendář (na každou stěnu jeden měsíc). Kolik papíru spotřebují samotné stěny?

`\begin{aligned} S &= 3\sqrt{25+10\sqrt{5}}\cdot 5^2 \\ &\doteq 20{,}646\cdot 25 \doteq 516\ \mathrm{cm^2} \end{aligned}`

Kontrola: jeden pětiúhelník má `1{,}72\cdot 25 = 43\ \mathrm{cm^2}` a dvanáct jich je `516\ \mathrm{cm^2}`. Na záložky k lepení je třeba připočítat. Arch A4 má `623{,}7\ \mathrm{cm^2}`, síť se na něj ale vcelku nevejde, protože je asi 40 cm široká. Tiskne se proto po kytičkách na dva listy.

Příklad 5

Středy stěn krychle s hranou `a` jsou vrcholy pravidelného osmistěnu. Jakou část objemu krychle zabírá?

Vezměte dvě sousední stěny krychle a veďte jejich středy řez kolmý na jejich společnou hranu. Řezem je čtverec o straně `a` a oba středy stěn jsou středy dvou jeho sousedních stran. Jejich vzdálenost, tedy hrana osmistěnu, je `\frac{a}{2}\sqrt{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}`. Dosadíme:

`\displaystyle V = \frac{\sqrt{2}}{3}\cdot\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^3 = \frac{\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{2\sqrt{2}\,a^3}{8} = \frac{a^3}{6}`

Osmistěn zabírá přesně šestinu krychle. Kontrola: jeho spojnice protějších vrcholů má délku `a` (od středu dolní stěny ke středu horní), a to je podle vzorce výše `\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot\sqrt{2} = a`. Sedí.

Kde platónská tělesa potkáte

  • Krystaly. Kuchyňská sůl krystalizuje v krychlích, magnetit a diamant často v osmistěnech, sfalerit někdy ve čtyřstěnech. Pyrit tvoří „pentagonální dvanáctistěny“, jejich pětiúhelníky ale nejsou pravidelné.
  • Molekuly. Molekula methanu `\ce{CH4}` má uhlík uprostřed a vodíky ve vrcholech pravidelného čtyřstěnu, fluorid sírový `\ce{SF6}` má fluory ve vrcholech osmistěnu.
  • Viry. Obal mnoha virů (třeba adenovirů) má tvar dvacetistěnu, protože se dá poskládat z mnoha stejných bílkovinných dílků.
  • Hrací kostky. Sady pro hry na hrdiny obsahují kostky k4, k6, k8, k12 a k20, přesně pět platónských těles. Všechny jejich stěny jsou shodné, takže každé číslo padá se stejnou pravděpodobností.
  • Fotbalový míč platónské těleso není. Je to komolý dvacetistěn: 12 pětiúhelníků a 20 šestiúhelníků, tedy dva různé druhy stěn.

Časté chyby

  • Jméno počítá stěny, ne vrcholy. Dvacetistěn má 20 stěn, ale jen 12 vrcholů. Dvanáctistěn má 12 stěn a 20 vrcholů. Kdo si je plete, ať si vzpomene na dualitu: čísla 12 a 20 si ta dvě tělesa jen vymění.
  • Hrany počítané po stěnách bez dělení dvěma. Osmistěn nemá `8\cdot 3 = 24` hran, ale 12, každou hranu jste započítali dvakrát.
  • Shodné stěny nestačí. Trojboký dvojjehlan ze šesti rovnostranných trojúhelníků není pravidelný: ve dvou vrcholech se stýkají tři stěny, ve zbylých třech čtyři.
  • Šestistěn není jen krychle. Kvádr je také šestistěn. Pravidelný šestistěn je jen krychle.
  • Povrch dvanáctistěnu s `a^2` pod odmocninou. Správně je `3\sqrt{25+10\sqrt{5}}\,a^2`. Zkouška: pro `a = 1` musí vyjít zhruba `12\cdot 1{,}72 \doteq 20{,}6`.
  • Výška čtyřstěnu jako výška stěny. Výška stěny je `\frac{\sqrt{3}}{2}a \doteq 0{,}87\,a`, výška tělesa `\frac{\sqrt{6}}{3}a \doteq 0{,}82\,a`. Výška tělesa je odvěsna a výška stěny přepona trojúhelníku `DTM` se středem hrany `M`, takže musí být menší.

Příklady k procvičení

1. Kolik vrcholů má pravidelný osmistěn a kolik hran vychází z každého z nich?

2. Krychle má hranu `5\ \mathrm{cm}`. Vypočtěte její povrch, objem a tělesovou úhlopříčku.

3. Pravidelný čtyřstěn má hranu `3\ \mathrm{cm}`. Vypočtěte jeho povrch a objem.

4. Pravidelný dvacetistěn má 20 trojúhelníkových stěn a v každém vrcholu se jich stýká pět. Spočítejte počet hran a vrcholů a ověřte Eulerovu větu.

5. Pravidelný osmistěn má objem `243\sqrt{2}\ \mathrm{cm^3}`. Jak dlouhá je jeho hrana a jaký má povrch?

6. Dárková krabička má tvar pravidelného dvanáctistěnu s hranou `4\ \mathrm{cm}`. Kolik papíru je potřeba na její polepení, když na přesahy připočteme 15 %?

Kam dál