Platónská tělesa

Vydáno dne 24. 5. 2008 v kategorii Geometrie; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 33 098

Platónské těleso je pravidelný konvexní mnohostěn (polyedr) v prostoru.

Platónská tělesa znali již ve starověku. Nazývají se podle řeckého filosofa Platóna, který krychli, osmistěn, čtyřstěn a dvacetistěn považoval za představitele čtyř základních živlů: země, vzduch, oheň a voda. Dvanáctistěn byl představitelem jsoucna neboli všeho, co existuje.

Vzhledem k vysoké symetrii se platónská tělesa objevují běžně v současné krystalografii, krystalochemii a molekulární fyzice a chemii. Řada tvarů krystalů s vysokou symetrií krystalové mřížky nabývá forem platónských těles (např. krystaly běžné kuchyňské soli mají tvar krychle, u sfaleritu někdy tvar čtyřstěnu apod.). Také symetrické molekuly mají mnohdy tvar těchto těles.

Čtyřstěn

Pravidelný čtyřstěn (tetraedr) je trojrozměrné těleso v prostoru, jehož stěny tvoří čtyři stejné rovnostranné trojúhelníky.

Počet stěn: 4
Počet hran: 6
Počet vrcholů: 4
Stěnu tvoří: trojúhelník
Počet hran u vrcholu: 3
Povrch: √3*a²
Objem: (√2/12)*a³

Krychle

Krychle (pravidelný šestistěn nebo také hexaedr) lidově zvaná též kostka, je trojrozměrné těleso, jehož stěny tvoří šest stejných čtverců.

Počet stěn: 6
Počet hran: 12
Počet vrcholů: 8
Stěnu tvoří: čtverec
Počet hran u vrcholu: 3
Povrch: 6*a²
Objem: a³

Osmistěn

Pravidelný osmistěn (oktaedr) je trojrozměrné těleso v prostoru, jehož stěny tvoří osm stejných rovnostranných trojúhelníků.

Počet stěn: 8
Počet hran: 12
Počet vrcholů: 6
Stěnu tvoří: trojúhelník
Počet hran u vrcholu: 4
Povrch: 2*√3*a²
Objem: √2/3*a³

Dvanáctistěn

Pravidelný dvanáctistěn (dodekaedr) je trojrozměrné těleso v prostoru, jehož stěny tvoří dvanáct stejných pravidelných pětiúhelníků.

Počet stěn: 12
Počet hran: 30
Počet vrcholů: 20
Stěnu tvoří: pravidelný pětiúhelník
Počet hran u vrcholu: 3
Povrch: 3*√(25+10*a²*radic;(5))
Objem: 1/4*(15+7*√5)*a³

Dvacetistěn

Pravidelný dvacetistěn (ikosaedr) je trojrozměrné těleso v prostoru, jehož stěny tvoří dvacet stejných rovnostranných trojúhelníků

Počet stěn: 20
Počet hran: 30
Počet vrcholů: 12
Stěnu tvoří: trojúhelník
Počet hran u vrcholu: 5
Povrch: 5*a²*√3
Objem: 5/12*(3+√5)*a³

Kolik jich je?

Jak je možné, že pravidelných mnohostěnů je právě pět? Není možné, že jsme tvary některých mnohostěnů zatím neobjevili? Dokažme si, že tomu tak není. Pro pravidelné mnohostěny můžeme odvodit vztah, rovnici vycházející ze souvislosti mezi počtem hran v jednom vrcholu a počtem hran jedné stěny, která má pouze pět řešení.

Nejjednodušší mnohostěn má roh tvořený třemi rovnostrannými trojúhelníky, další jich mají čtyři nebo pět. Šest rovnostranných trojúhelníků s jedním společným vrcholem poskládáme do roviny, takže nemohou tvořit povrch mnohostěnu. Stejné to bude, když spojíme čtyři čtverce. Podobně tři pravidelné pětiúhelníky v jednom vrcholu jsou maximum. Šestiúhelníky a mnohoúhelníky s více než šesti stranami jsou také vyloučeny.