Hornerovo schéma není zkratka, je to jiný pohled

Mnohočlen 2x³ - 3x² + 5 se dá vyhodnotit tak, že se spočítají mocniny a sečtou se členy. Nebo se přepíše po částech jako ((2x - 3)x + 0)x + 5, a pak stačí střídat násobení a sčítání. Druhý způsob je Hornerovo schéma a je to pořád tentýž mnohočlen, jen jinak uzávorkovaný.

Praktický rozdíl je v počtu operací: mocniny se nepočítají vůbec. U mnohočlenu třetího stupně to znamená tři násobení místo šesti, a čím vyšší stupeň, tím větší rozdíl.

Čísla nad posledním okénkem nejsou odpad

Tohle výklad obvykle zmíní jednou větou a nespočítá. Mezisoučty v Hornerově schématu jsou koeficienty podílu po dělení kořenovým činitelem. Když se do schématu dosadí c, poslední okénko je P(c) a všechna okénka před ním tvoří mnohočlen Q(x), pro který platí P(x) = (x - c)·Q(x) + P(c).

Odtud plyne i to, proč je zbytek nula právě tehdy, když je c kořen. A hlavně: jedním průchodem schématu se získá dvojí, hodnota i rozklad. Kalkulačka výše proto vypisuje obojí.

Racionální kořen se nehádá

Kořeny mnohočlenu s celočíselnými koeficienty se nezkoušejí náhodně. Je-li zlomek p/q v základním tvaru kořenem, musí p dělit absolutní člen a q vedoucí koeficient. Kandidátů je tím pádem konečně mnoho a dají se projít všichni.

Proto je u rozkladu první krok vždycky vytýkání. Sníží stupeň, zmenší čísla a často odstraní i nulový kořen, který by se jinak hledal dělitelností.

Počítá se ve zlomcích, ne v desetinných číslech

Rozklad na součin stojí na tom, že se pozná nulový zbytek. V dvojkové plovoucí čárce ale zbytek po dělení jednou třetinou nevyjde nula, nýbrž něco jako 1·10⁻¹⁷, a kalkulačka by pak tvrdila, že kořen není kořen.

Všechno tady proto běží v přesné zlomkové aritmetice. Kořen 1/2 se vypíše jako 1/2, ne jako 0,5, a „zbytek je nula" znamená doopravdy nulu. Stejnou volbu dělá i vyčíslovač chemických rovnic, a ze stejného důvodu.

Krátit se dá jenom součin

Nejčastější chyba v celém tématu lomených výrazů je krácení sčítance. Ve zlomku (x² - x - 6)/(x - 3) se nedá vykrátit x, protože x není činitel, ale sčítanec. Teprve po rozkladu čitatele na (x - 3)(x + 2) je vidět, co je tam společné, a zlomek se zkrátí na x + 2.

Kalkulačka proto rozkládá obojí a společný činitel hledá Eukleidovým algoritmem, tedy opakovaným dělením se zbytkem. Je to přesně tentýž postup jako u obyčejných čísel, jen se v něm dělí mnohočleny.

Podmínky se berou z původního zadání

Vykrácený zlomek se rovná původnímu jen tam, kde byl původní vůbec definovaný. Když se z (x² - x - 6)/(x - 3) vykrátí (x - 3), zůstane x + 2, což je výraz definovaný všude - ale rovnost platí jen pro x ≠ 3. Podmínka se krácením neztratila, jen zmizela ze zápisu.

Proto se podmínky píšou hned k zadání, ne až k výsledku. U dělení lomených výrazů přibývá ještě jedna navíc, z čitatele druhého zlomku, protože ten se převrácením dostal dolů.

Cizí kořen u rovnic

Lomená rovnice i rovnice s odmocninou mají společné to, že se při řešení provede úprava, která není ekvivalentní. Vynásobení jmenovatelem i umocnění obou stran můžou do rovnice přidat kořen, který v původní rovnici není.

Takový kořen se nazývá cizí a nepozná se ničím jiným než zkouškou. Není to tedy kontrola počtů, kterou lze vynechat, když si je člověk jistý; je to poslední krok řešení. Obě kalkulačky výše proto rozepisují zkoušku kandidát po kandidátovi a říkají, na čem který ztroskotal.

Kvadratická nerovnice se kreslí

Nerovnice ax² + bx + c > 0 se neřeší počítáním, ale úvahou o tom, kde je parabola nad osou. Kořeny určí, kde osu protíná, a znaménko koeficientu a určí, jestli je otevřená nahoru nebo dolů. Mezi kořeny má trojčlen znaménko opačné než a, vně souhlasné.

Tím je hotovo a žádná tabulka znamének potřeba není. Náčrtek paraboly a osy x je tu rychlejší a spolehlivější než jakýkoli mechanický postup.