Celá goniometrie je jeden bod na kružnici

Jednotková kružnice má poloměr 1 a střed v počátku. Úhel se měří od kladné poloosy x proti směru hodinových ručiček a jeho rameno protne kružnici v jediném bodě. A tím je hotovo: první souřadnice toho bodu je kosinus, druhá je sinus. Nic jiného ty dvě funkce neznamenají.

Odtud plyne úplně všechno ostatní. Proč sinus i kosinus nikdy nepřekročí 1 a nespadnou pod -1: souřadnice bodu na kružnici o poloměru jedna větší být nemůže. Proč platí sin²α + cos²α = 1: je to Pythagorova věta pro ten poloměr. Proč mají periodu 360°: po celé otáčce je bod zpátky tam, kde byl.

Kvadranty určují znaménka

Kosinus je vodorovná souřadnice, takže je kladný vpravo a záporný vlevo. Sinus je svislá, takže je kladný nahoře a záporný dole. Z toho se dá znaménko vždycky odvodit, aniž by se cokoli pamatovalo:

  • I. kvadrant (0° až 90°): sin i cos kladné,
  • II. kvadrant (90° až 180°): sin kladný, cos záporný,
  • III. kvadrant (180° až 270°): oba záporné,
  • IV. kvadrant (270° až 360°): sin záporný, cos kladný.

Tangens je jejich podíl, takže je kladný tam, kde mají sin a cos stejné znaménko, tedy v I. a III. kvadrantu. A tam, kde je kosinus nulový, tedy v 90° a 270°, definován není, protože nulou dělit nelze.

Šest funkcí, ale stačí dvě

Sekans a kosekans nejsou nic nového: sec α = 1/cos α a cosec α = 1/sin α. Kotangens je převrácená hodnota tangensu, tedy cos α / sin α. Všech šest funkcí se dá vyjádřit ze sinu a kosinu a kalkulačka výše je proto vypisuje najednou.

Stupně a radiány

Plná otáčka je 360°, ale taky 2π radiánů. Je to totéž otočení změřené dvěma způsoby, takže převod je prostá trojčlenka: 180° odpovídá π. Ze stupňů na radiány se násobí π/180, opačně 180/π.

Ve škole se odpověď v radiánech skoro vždy píše jako násobek π, tedy π/6 a ne 0,5236. Kalkulačka proto zlomek hledá a desetinné číslo dává jen jako doplněk.

Rovnice má vždycky víc řešení, než ukáže kalkulačka

Tohle je nejčastější chyba v celé kapitole. Napíšete-li arcsin 0,5, kalkulačka vrátí 30°. Jenže rovnice sin x = 0,5 má řešení nekonečně mnoho, protože vodorovná přímka protne kružnici ve dvou bodech a celý obrázek se navíc opakuje s každou otáčkou.

  • sin x = a má řešení α + k·360° a (180° - α) + k·360°,
  • cos x = a má řešení ±α + k·360°,
  • tg x = a má řešení α + k·180°, protože tangens má poloviční periodu.

Když zadání omezuje x na nějaký interval, vyberou se z obecného řešení jen ta, která do něj padnou. Kalkulačka vypisuje obojí: obě řešení v jedné otáčce i celý obecný tvar.

Přesné hodnoty se u významných úhlů čekají

U násobků 30° a 45° se očekává odpověď se zlomkem a odmocninou, ne desetinné číslo. sin 60° je √3/2, a 0,866 je jen jeho přiblížení. Kalkulačka proto u těchto úhlů ukazuje obojí a přesnou hodnotu uvádí v závorce.