Úvod do Goniometrie/Trigonometrie

Vydáno dne 2. 10. 2008 v kategorii Goniometrie; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 123 538

Trigonometrie je oblast goniometrie zabývající se užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Goniometrie (z řeckého gónia = úhel a metró = měřím) je oblast matematiky, která se zabývá goniometrickými funkcemi jako sinus, kosinus, tangens a kotangens. Součástí goniometrie je trigonometrie. Ta se věnuje praktickému užití těchto funkcí při řešení různých úloh o trojúhelnících. V některých jazycích (např. v angličtině) pojem goniometrie nenajdete - pro tuto část matematiky používají označení trigonometrie.

Trigonometrie (z řeckého trigonon = tři úhly a metro = měřit) je oblast matematiky zabývající se trojúhelníky, zejména těmi trojúhelníky jejichž velikost jednoho úhlu je 90° - pravoúhlými trojúhelníky. Trigonometrie definuje vztahy mezi stranami a úhly pomocí trigonometrických funkcí.

Trigonometrie se dále dělí na trigonometrii rovinou a trigonometrii sférickou.

Nejstarší poznatky z trigonometrie pocházejí z Egypta. Podobné znalosti můžeme najít i Babylóňanů a Chaldejců. Od nich převzali Řekové dělní úhlu na 360 stupňů a dělení stupně na 60 minut. První opravdové záznamy o trigonometrii pocházejí od helénistického matematika Hipparchuse (150 př. n. l), který vytvořil tabulku pro funkci sinus. Dalším slavným matematikem tohoto období byl Ptolemaios. Dalším výzkumem trigonometrie se zabývali hlavně indští vědci. Evropa se s trigonometrií seznámila díky západním Arabům. K rozvoji přispěli například Mikuláš Koperník a Francois Viete. Poslední jmenovaný představil Kosinovu větu. Velkým dílem přispěl také Leonhar Euler.

Budeme pracovat s celkem šesti funkcemi - sinus, kosinus, tangens, kosekans, sekans, kotangens. Bylo by proto dobré si zadefinovat, co která funkce znamená.

Přejít na článek Funkce sinus a kosekans
Přejít na článek Funkce kosinus a sekans
Přejít na článek Funkce tangens a kotangens
Přejít na článek Goniometrické vzorce

Pro někoho by mohl být problém si toto zapamatovat a proto vám ukážu jednu pomůcku, která pomáhá mě: SOH-CAH-TOA. Sice to je v angličtině, ale mě se to dobře pamatuje... Následují vysvětlivky:

S = sinus
C = kosinus
T = tangens
O = opposite
H = hypotenuse
A = adjacent

Hodnoty goniometrických funkcí

Pokud se chcete věnovat goniometrii, měli byste znát hodnoty některých goniometrických funkcí nazpaměť. Mám na mysli úhly jako 30°, 45°, 60°.... Vytvoříme si proto tabulku se úhly a funkcemi, které nás zajímají a vyplníme ji. Budou nás zajímat funkce cos, sin, tan, csc, sec, cot a úhly začneme úhly 30°, 45°, 60°.

K jejich určení patřičných hodnot bychom samozřejmě mohli použít kalkulačku, ale existuje způsob, jak je určit bez kalkulačky. Mějme pravoúhlý trojúhelník ABC:

Úhel u vrcholu B má velikost 30° a úhel u vrcholu A má velikost 60°. Nyní se pokusíme určit hodnoty daných funkcí pro úhel 30° pomocí znalostí, které jsem uvedl před chvílí. Funkce sinus je definovaná jako protilehlá ku přeponě a proto je sinus 30 stupnů roven $\frac{1}{2}$ . Obdobně vypočítáme hodnoty i ostatních funkcí:

Zbývá určit hodnotu funkcí kosekans, sekans a kotangens. Jak už jsme si řekli, jejich hodnotu získáme pouhým obrácením zlomku:

Úspěšně jsme určili hodnotu daných funkcí pro úhel 30°. Nyní musíme stejný postup opakovat pro úhel 60°.

Pokud chceme určit hodnoty daných funkcí pro úhel 45°, musíme si načtrnout nový pravoúhlý trojúhelník.

Velikost stran a, b je 1 a velikst strany c je $\sqrt{2}$ .

Možná vás zajímá, zda bychom stejné hodnoty dostali, pokud bychom pracovali s trojúhelníkem o jiných rozměrech (ale o stejných úhlech). Výsledky by byly stejné.

Pro určování a zapamatování jednotlivých hodnot se často používá jednotková kružnice (přejít na článek Jednotková kružnice).

Tabulka goniometrických funkcí

Úhel	sin	cos	tan	csc	sec	cot
$30^\circ=\frac{\pi}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	2	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$
$45^\circ=\frac{\pi}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	1	$\sqrt{2}$	$\sqrt{2}$	1
$60^\circ=\frac{\pi}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	2	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$90^\circ=\frac{\pi}{2}$	1	0	není definován	1	není definován	0
$120^\circ=\frac{2\pi}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$-\sqrt{3}$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	-2	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$135^\circ=\frac{3\pi}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	-1	$\sqrt{2}$	$-\sqrt{2}$	-1
$150^\circ=\frac{5\pi}{6}$	$\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	2	$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$-\sqrt{3}$
$180^\circ=\pi$	0	1	0	není definován	1	není definován
$210^\circ=\frac{7\pi}{6}$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	-2	$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$
$225^\circ=\frac{5\pi}{4}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	1	$-\sqrt{2}$	$-\sqrt{2}$	1
$240^\circ=\frac{4\pi}{3}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$	-2	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$270^\circ=\frac{3\pi}{2}$	-1	0	není definován	-1	není definován	0
$300^\circ=\frac{5\pi}{3}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$-\sqrt{3}$	$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$	2	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$315^\circ=\frac{7\pi}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	-1	$\sqrt{2}$	$-\sqrt{2}$	-1
$330^\circ=\frac{11\pi}{6}$	$-\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	-2	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$-\sqrt{3}$
$360^\circ=2\pi$	0	1	0	není definován	1	není definován

Příklady

1) Napište hodnoty šesti goniometrických funkcí pro úhel α.

Pomocí Pythagorovi věty určíme délku zbývající strany: c=10.

2) Napište hodnoty šesti goniometrických funkcí pro úhel α.

Pomocí Pythagorovi věty určíme délku zbývající strany: b=40.

3) Nalezněte velikost strany z.

Známe velikost protilehlé strany a snažíme se najít velikost přilehlé strany → musíme použít funkci tangens:

4) Jedete na lyžích z hory vysoké 1500 m. Délka této jízdy seshora dolů je 3000 m. Jaký úhel svírá země se sjezdovkou?

Tento příklad vypočítáte velmi lehce, pokud si načrtnete správný obrázek. Známe přeponu a protilehlou stranu → musíme použít funkci sinus:

Nemusíme ani používat kalkulačku. Funkce sinus má hodnotu $\frac{1}{2}$ pro úhel 30°.

5) Určete hodnotu všech šesti funkcí pro daný úhel:

Nejprve si musíme načrtnout trojúhelník představující daný úhel:

Nyní, když už máme hotový daný trojúhelník, není v podstatě žádný problém spočítat hodnoty funkcí.

Náš úhel je v prvním kvadrantu a proto se nemusíme starat o znaménka, ale příště tomu tak být nemusí, takže si na to musíte dávat pozor.

6) Napište hodnoty všech 6 funkcí pro následující úhel:

Opět si načrtneme trojúhelník:

Tentokrát není situace tak jednoduchá jako v předchozím příkladě. Úhel neleží v prvním kvadrantu, ale ve čtvrtém. Proto si musíme dát pozor na znaménka.

7) Určete v jakém kvadrantu leží úhel α, jestliže platí: sin α < 0 a cos α < 0.

Načrtneme si souřadný systém a do něho vyznačíme podmínky. Pokud je funkce sinus menší 0, úhel leží buď v třetím nebo čtvrtém kvadrantu. Pokud je funkce kosinus menší nule, leží úhel buď v druhém nebo třetím kvadrantu. Jestliže pro náš úhel musí platit dvě předchozí podmínky, je jasné, že úhel leží ve třetím kvadrantu.

8) Napište všech 6 funkcí pro úhel α, jestliže víte, že $sin \alpha = \frac{3}{5}$ a že tento úhel leží ve druhém kvadrantu.

První informaci můžeme využít k tomu, abychom získali hodnoty funkcí a druhá informace nám poslouží k tomu, abychom určili znaménka jednotlivých hodnot.

Jelikož víme, že úhel leží ve druhém kvadrantu, bude kladný sinus a kosekans.

$sin \alpha = \frac{3}{5}\ \ \ \ csc \alpha = \frac{5}{3}\\cos \alpha = -\frac{4}{5}\ \ \ \ sec \alpha = -\frac{5}{4}\\tan \alpha = -\frac{3}{4}\ \ \ \ cot \alpha = -\frac{4}{3}\\$

9) Napište všech šest funkcí pro úhel α, jestliže platí, že cot α není definovaný a $\frac{\pi}{2}$ ≤ α ≤ $\frac{3\pi}{2}$ .

Kotangens není definovaný na ose x. A pouze negativní část osy x spadá do intervalu $\frac{\pi}{2}$ ≤ α ≤ $\frac{3\pi}{2}$ , takže úhel α je logicky roven α = 180°.

$sin 180^\circ = 0\ \ \ \ csc 180^\circ = undefined\\cos 180^\circ = -1\ \ \ \ sec 180^\circ = -1\\tan 180^\circ = 0\ \ \ \ cot 180^\circ = undefined\\$

10) Nalezněte dvě řešení rovnice $sin \alpha = \frac{1}{2}$ .

K vyřešení tohoto problému se musíme podívat na jednotkovou kružnici a najít dva úhly, pro něž platí předchozí rovnice.

Na předchozím obrázku jsem vyznačil, o jaké úhly se jedná → 30° a 150°.

Úvod do Goniometrie/Trigonometrie

Hodnoty goniometrických funkcí

Tabulka goniometrických funkcí

Příklady

Test

Hlavolam