Diference a kvocient

Aritmetická posloupnost vzniká přičítáním: každý člen je o stejné číslo větší než předchozí, třeba 3, 7, 11, 15. To číslo se jmenuje diference a značí se d. Geometrická vzniká násobením: 2, 6, 18, 54, každý člen je trojnásobkem předchozího. Tomu číslu se říká kvocient a značí se q.

Pro n-tý člen z toho plynou dva vzorce, které vypadají podobně a mají společnou past: an = a1 + (n - 1)d a an = a1 · qn-1. Z prvního členu na desátý se přičítá nebo násobí devětkrát, ne desetkrát, protože první člen už na svém místě je. Proto je všude n - 1.

Posloupnost, nebo řada?

Posloupnost je seznam čísel, řada je jejich součet. U aritmetické se sčítá vzorcem Sn = n/2 · (a1 + an): první a poslední člen dají dohromady totéž co druhý a předposlední, a takových dvojic je n/2. Tak prý jako školák sečetl Gauss čísla od 1 do 100 dřív, než učitel dopsal zadání.

Geometrická řada je zajímavější tím, že může mít součet, i když je nekonečná. Stačí, aby byl kvocient mezi -1 a 1. Pak se členy zmenšují tak rychle, že se součty ustálí u čísla a1 / (1 - q): 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … je přesně 2. Periodické číslo 0,333… je taková řada taky, 3/10 + 3/100 + 3/1000 + …, a její součet je 1/3.

Když vyjdou dvě řešení

Úloha typu „a1 = 1, a3 = 4, určete q" má u geometrické posloupnosti dvě odpovědi. Mezi prvním a třetím členem se násobí dvakrát, takže q2 = 4, a to splní q = 2 i q = -2. Posloupnost 1, 2, 4, 8 i posloupnost 1, -2, 4, -8 prochází oběma zadanými členy. Kalkulačka výše vypíše obě, protože v písemce se to druhé řešení ztrácí nejčastěji.

Počítá se přesně

Kvocient se smí zadat jako zlomek, třeba 1/2 nebo 2/3, a výsledky zůstávají zlomky. Dvacátý první člen posloupnosti s kvocientem 1/2 je 1/1048576, ne zaokrouhlená nula. Přibližně se počítá jen tam, kde to jinak nejde: když kvocient vyjde jako odmocnina, která racionální není.

Výklad se všemi vzorci a řešenými příklady je v článcích aritmetická posloupnost a řada a geometrická posloupnost a řada. Kdo si to chce vyzkoušet bez kalkulačky, najde dvanáct příkladů v procvičování posloupností.