Geometrická posloupnost je posloupnost, ve které každý další člen dostaneme tak, že předchozí člen vynásobíme pořád stejným číslem `q`. Tomu číslu se říká kvocient. Pro n-tý člen, součet prvních n členů a součet nekonečné geometrické řady platí:

`\begin{gathered}a_n=a_1\cdot q^{n-1}\\[10pt]\displaystyle s_n=a_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1}\quad(q\neq 1)\\[10pt]\displaystyle s=\frac{a_1}{1-q}\quad(|q|\lt 1)\end{gathered}`

Například v posloupnosti 3, 6, 12, 24, 48, ... je první člen `a_1=3` a kvocient `q=2`, protože každý člen je dvojnásobkem předchozího. Její n-tý člen je `a_n=3\cdot 2^{n-1}` a součet prvních pěti členů je `s_5=3\cdot\frac{2^5-1}{2-1}=93`. Zkouška sečtením: `3+6+12+24+48=93`.

Geometrická řada je součet členů geometrické posloupnosti. Když sčítáme nekonečně mnoho členů, dostaneme konečné číslo jen tehdy, když je `|q|\lt 1`, tedy když se členy zmenšují k nule. Třeba `8+2+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\dots=\frac{32}{3}`.

Geometrickou posloupnost nepleťte s aritmetickou. V aritmetické posloupnosti se k předchozímu členu pořád přičítá stejné číslo (diference), v geometrické se jím násobí. Ze začátku 2, 4 tedy vznikne aritmeticky 2, 4, 6, 8, 10, ale geometricky 2, 4, 8, 16, 32.

Co je geometrická posloupnost a kvocient

Kvocient je podíl dvou sousedních členů, vždy toho pozdějšího ku dřívějšímu:

`\displaystyle q=\frac{a_{n+1}}{a_n}`

Posloupnost je geometrická, právě když vyjde tento podíl pro všechny dvojice sousedních členů stejně. Pár ukázek:

  • 81, 27, 9, 3, ... je geometrická s kvocientem `q=\frac{1}{3}`, každý člen je třetinou předchozího.
  • 5, −10, 20, −40, ... je geometrická s kvocientem `q=-2`. Záporný kvocient střídá znaménka.
  • 1, 2, 4, 7, 11, ... geometrická není: podíly jsou 2, 2, `\frac{7}{4}`, ...

Ve školské definici je první člen i kvocient nenulový. Jinak by za prvním nebo druhým členem následovaly samé nuly a kvocient by se nedal spočítat.

Užitečná vlastnost: když má posloupnost kladné členy, je každý člen geometrickým průměrem svých sousedů, `a_n=\sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}`. Třeba `6=\sqrt{3\cdot 12}`. Odtud má posloupnost své jméno. Geometrický průměr libovolných čísel spočítá kalkulačka průměrů. Pokud si nejste jistí, jaké pravidlo řada čísel má, vložte ji do kalkulačky doplnění posloupnosti, která pozná aritmetickou, geometrickou i jiné posloupnosti.

Vzorce geometrické posloupnosti

Všechny vzorce na jednom místě. Tři součtové vzorce platí jen pro uvedený kvocient.

co počítámevzorec
další člen (rekurentně)`a_{n+1}=a_n\cdot q`
n-tý člen`a_n=a_1\cdot q^{n-1}`
člen ze známého členu`a_s=a_r\cdot q^{s-r}`
kvocient`q=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}`
součet prvních n členů, `q\neq 1``s_n=a_1\cdot\dfrac{q^n-1}{q-1}`
součet prvních n členů, `q=1``s_n=n\cdot a_1`
součet nekonečné řady, `|q|\lt 1``s=\dfrac{a_1}{1-q}`

Vzorec pro součet se v učebnicích píše i jako `s_n=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}`. Je to totéž, jen čitatel i jmenovatel jsou vynásobené `-1`. První tvar se hodí pro `q\gt 1`, druhý pro `0\lt q\lt 1`, protože pak v něm nevycházejí záporná čísla.

N-tý člen geometrické posloupnosti

Vzorec vznikne tím, že vypíšeme první členy: `a_2=a_1q`, `a_3=a_1q^2`, `a_4=a_1q^3`. Z prvního členu k n-tému vede `n-1` kroků, a proto je v exponentu `n-1`, ne `n`.

Příklad 1

Určete prvních pět členů geometrické posloupnosti, když `a_1=2` a `q=4`.

`\begin{gathered}a_2=2\cdot 4^1=8\\[4pt]a_3=2\cdot 4^2=32\\[4pt]a_4=2\cdot 4^3=128\\[4pt]a_5=2\cdot 4^4=512\end{gathered}`

Kontrola: každý člen je čtyřnásobkem předchozího, `128\cdot 4=512`. Pro vzdálenější členy, třeba `a_{20}`, se hodí kalkulačka n-tého členu geometrické posloupnosti, která počítá přesně i se zlomky.

Příklad 2

V geometrické posloupnosti je `a_2=6` a `a_5=162`. Určete `a_1`, `q` a `a_7`.

Z druhého členu k pátému jsou tři kroky, takže `a_5=a_2\cdot q^3`:

`\begin{gathered}162=6\cdot q^3\\[4pt]q^3=27\\[4pt]q=3\end{gathered}`

První člen je `a_1=\frac{a_2}{q}=\frac{6}{3}=2` a sedmý `a_7=2\cdot 3^6=1458`. Zkouška: `a_5=2\cdot 3^4=162`, sedí. Tenhle typ úlohy počítá kalkulačka geometrické posloupnosti ze dvou členů.

Příklad 3

V geometrické posloupnosti je `a_2=6` a `a_4=54`. Určete první člen a kvocient.

Tentokrát jsou mezi členy dva kroky, `a_4=a_2\cdot q^2`, takže `q^2=9`. Rovnice `q^2=9` má dvě řešení, `q=3` i `q=-3`, a obě dávají správnou posloupnost:

  • `q=3`, `a_1=2`: 2, 6, 18, 54, ...
  • `q=-3`, `a_1=-2`: −2, 6, −18, 54, ...

Ve druhé posloupnosti je `a_2=6` i `a_4=54`, takže zadání splňuje. Když je mezi známými členy sudý počet kroků, hledejte vždy dvě řešení.

Příklad 4

Kolikátým členem posloupnosti 3, 6, 12, 24, ... je číslo 768?

Dosadíme do vzorce pro n-tý člen: `3\cdot 2^{n-1}=768`, tedy `2^{n-1}=256=2^8`. Odtud `n-1=8` a `n=9`. Číslo 768 je devátý člen. Když výsledek nevyjde jako hezká mocnina, exponent se najde logaritmem, jako v článku Exponenciální a logaritmické rovnice.

Jak se posloupnost chová podle kvocientu

O tom, jestli členy rostou, klesají, nebo skáčou, rozhoduje kvocient. Obrázek ukazuje prvních šest členů pro `a_1=1` a čtyři různé kvocienty:

81624320123456 q = 2: roste nade všechny meze 0,250,50,7510123456 q = 1/2: klesá k nule −0,50,510123456 q = −1/2: skáče kolem nuly −32−16160123456 q = −2: skáče čím dál víc
  • `q\gt 1`: členy v absolutní hodnotě rostou nade všechny meze. Při kladném `a_1` jde posloupnost do `+\infty`, při záporném do `-\infty`.
  • `q=1`: posloupnost je konstantní, všechny členy se rovnají `a_1`.
  • `0\lt q\lt 1`: členy se zmenšují k nule a mají stejné znaménko jako `a_1`.
  • `-1\lt q\lt 0`: znaménka se střídají a členy se blíží k nule.
  • `q=-1`: posloupnost přeskakuje mezi `a_1` a `-a_1`.
  • `q\lt -1`: znaménka se střídají a absolutní hodnota roste nade všechny meze. Posloupnost nemá limitu, ani nekonečnou.

K nule se tedy členy blíží přesně tehdy, když je `|q|\lt 1`, a na tom stojí i součet nekonečné řady níže. Při kladném kvocientu je geometrická posloupnost vlastně exponenciální funkce `y=a_1\cdot q^{x-1}`, ze které bereme jen hodnoty v přirozených číslech. Proto roste nebo klesá stejně jako exponenciála.

Součet prvních n členů geometrické posloupnosti

Součet `s_n=a_1+a_1q+a_1q^2+\dots+a_1q^{n-1}` se dá spočítat šikovným trikem. Celý součet vynásobíme kvocientem a odečteme:

`\begin{gathered}s_n=a_1+a_1q+\dots+a_1q^{n-1}\\[4pt]q\cdot s_n=a_1q+\dots+a_1q^{n-1}+a_1q^n\\[4pt]q\cdot s_n-s_n=a_1q^n-a_1\end{gathered}`

Všechny prostřední členy se odečtou a zbude jen první a poslední. Vytkneme a vydělíme:

`\displaystyle s_n=a_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1}`

Dělit můžeme jen pro `q\neq 1`. Pro `q=1` sčítáme `n` stejných čísel a `s_n=n\cdot a_1`.

Příklad 5

Sečtěte `3+6+12+\dots+96`.

Je to geometrická posloupnost s `a_1=3` a `q=2`. Nejdřív zjistíme, kolik členů sčítáme: `3\cdot 2^{n-1}=96`, tedy `2^{n-1}=32` a `n=6`.

`\displaystyle s_6=3\cdot\frac{2^6-1}{2-1}=3\cdot 63=189`

Zkouška: `3+6+12+24+48+96=189`. Pro delší součty a tabulku částečných součtů je tu kalkulačka součtu geometrické posloupnosti.

Příklad 6

V geometrické posloupnosti je `a_1=2` a `q=3`. Kolik prvních členů musíme sečíst, aby součet byl 242?

`\begin{gathered}\displaystyle 242=2\cdot\frac{3^n-1}{3-1}\\[10pt]242=3^n-1\\[10pt]3^n=243=3^5\end{gathered}`

Sčítáme pět členů. Kontrola: `2+6+18+54+162=242`.

Příklad 7: zrnka na šachovnici

Podle staré legendy si vynálezce šachu řekl o odměnu: na první pole šachovnice jedno zrnko rýže, na druhé dvě, na třetí čtyři a na každé další dvakrát víc. Kolik zrnek je to na všech 64 polích?

`\begin{gathered}\displaystyle s_{64}=1\cdot\frac{2^{64}-1}{2-1}=2^{64}-1\\[10pt]s_{64}\doteq 1{,}8\cdot 10^{19}\end{gathered}`

Přesně 18 446 744 073 709 551 615 zrnek. I kdyby zrnko vážilo jen 25 miligramů, byla by to hromada přes 400 miliard tun. Tak rychle roste posloupnost s kvocientem 2.

Nekonečná geometrická řada

Nekonečná geometrická řada `a_1+a_1q+a_1q^2+\dots` má konečný součet (konverguje), právě když `|q|\lt 1`. Pak se `q^n` s rostoucím `n` blíží k nule a ze vzorce pro `s_n` zbude:

`\begin{gathered}\displaystyle s=\lim_{n\to\infty}a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}\\[10pt]\displaystyle s=\frac{a_1}{1-q}\end{gathered}`

Že se nekonečně mnoho kladných čísel může sečíst na konečné číslo, ukazuje nejlépe obrázek. Čtverec o obsahu 1 rozdělíme na polovinu, zbytek na polovinu, a tak dál. Díly mají obsahy `\frac{1}{2}`, `\frac{1}{4}`, `\frac{1}{8}`, ... a dohromady vyplní celý čtverec:

1/21/41/81/161/32 
`\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1`

Když je `|q|\ge 1`, řada součet nemá (diverguje). Řada `1+2+4+8+\dots` roste nade všechny meze a u řady `1-1+1-1+\dots` skáčou částečné součty mezi 1 a 0 a k žádnému číslu se neblíží. Vzorec `\frac{a_1}{1-q}` pro ně nepoužívejte, dal by nesmysl. Víc o tom, co znamená blížit se k číslu, je v článku Limity funkcí.

Příklad 8

Určete součet řady `8+2+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\cdots`.

Kvocient je `q=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}`, takže řada konverguje:

`\displaystyle s=\frac{8}{1-\frac{1}{4}}=\frac{8}{\frac{3}{4}}=\frac{32}{3}`

Kontrola: `\frac{32}{3}\doteq 10{,}67` a už první tři členy dávají `10{,}5`. Součet musí být o něco větší, a je.

Příklad 9: periodické číslo jako zlomek

Převeďte `0{,}777\dots` na zlomek.

Číslo rozepíšeme jako `\frac{7}{10}+\frac{7}{100}+\frac{7}{1000}+\dots`, což je geometrická řada s `a_1=\frac{7}{10}` a `q=\frac{1}{10}`:

`\displaystyle s=\frac{\frac{7}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{\frac{7}{10}}{\frac{9}{10}}=\frac{7}{9}`

Kontrola na kalkulačce: `7:9=0{,}777\dots`, sedí.

Příklad 10

Určete součet řady `1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\cdots`.

Kvocient je záporný, `q=-\frac{1}{2}`, ale `|q|\lt 1`, takže řada konverguje. Se záporným kvocientem se ve jmenovateli odčítá záporné číslo, tedy přičítá:

`\displaystyle s=\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}`

Částečné součty 1; 0,5; 0,75; 0,625; ... skáčou nahoru a dolů a přibližují se k `\frac{2}{3}\doteq 0{,}67` z obou stran. Konvergenci i částečné součty pro jiné hodnoty ukáže kalkulačka součtu nekonečné geometrické řady.

Slovní úlohy na geometrickou posloupnost

Geometrická posloupnost se objeví všude, kde se něco každý rok, každý krok nebo každý odraz zvětší nebo zmenší na stejný násobek: úroky, růst populace, rozpad radioaktivní látky, ceny po opakovaných slevách.

Příklad 11: úročení

Na účet vložíme 10 000 Kč s úrokem 3 % ročně, úroky se připisují jednou za rok a zůstávají na účtu. Kolik tam bude po pěti letech (bez daně)?

Každý rok se částka vynásobí `1{,}03`. Po prvním roce je na účtu `a_1=10\,300` Kč a po pátém roce

`\begin{gathered}a_5=10\,300\cdot 1{,}03^4\\[4pt]a_5\doteq 11\,592{,}74\ \mathrm{Kč}\end{gathered}`

Stejné číslo dá přímo `10\,000\cdot 1{,}03^5`. S jiným připisováním úroků (měsíčně, čtvrtletně) počítá kalkulačka složeného úročení.

Příklad 12: skákající míček

Míček pustíme z výšky 2 m. Po každém dopadu vyskočí do tří čtvrtin výšky, ze které padal. Jakou dráhu urazí, než se zastaví?

Nejdřív spadne 2 m. Pak vyskočí do výšek 1,5 m; 1,125 m; ... a každou z nich urazí dvakrát, nahoru a zase dolů. Výšky odskoků tvoří nekonečnou geometrickou řadu s `a_1=1{,}5` a `q=\frac{3}{4}`:

`\begin{gathered}\displaystyle 1{,}5+1{,}125+\dots=\frac{1{,}5}{1-\frac{3}{4}}=6\\[10pt]d=2+2\cdot 6=14\ \mathrm{m}\end{gathered}`

Míček urazí 14 m. Skutečný míček se po konečném počtu odskoků zastaví, ale poslední odskoky jsou tak malé, že na výsledku nic nezmění.

Časté chyby

  • Exponent `n` místo `n-1`. V příkladu 1 by vyšlo `a_5=2\cdot 4^5=2048` místo 512. Kontrola: dosaďte `n=1`, musí vyjít `a_1`.
  • Obrácený kvocient. `q` je pozdější člen děleno dřívějším. U posloupnosti 81, 27, 9 je `q=\frac{1}{3}`, ne 3. Kontrola: `81\cdot\frac{1}{3}` musí dát 27.
  • Zapomenuté záporné řešení. Z `q^2=9` plyne `q=\pm 3`, jak ukazuje příklad 3. U lichých mocnin (`q^3=27`) je řešení jen jedno.
  • Vzorec pro nekonečnou řadu při `|q|\ge 1`. Pro `1+2+4+\dots` by dal `\frac{1}{1-2}=-1`, tedy záporný součet kladných čísel. Nejdřív ověřte `|q|\lt 1`.
  • Součtový vzorec pro `q=1`. Vyjde nula děleno nulou. Pro konstantní posloupnost je `s_n=n\cdot a_1`.
  • Záporný kvocient bez závorky. `(-2)^4=16`, ale `-2^4=-16`. Na kalkulačce i na papíře patří záporný kvocient do závorky.
  • Posloupnost a řada. Posloupnost je seznam čísel, řada je jejich součet. „Určete geometrickou řadu“ obvykle znamená určit její součet.

Příklady k procvičení

1. Geometrická posloupnost má `a_1=3` a `q=-2`. Napište prvních pět členů a spočítejte `a_8`.

2. V geometrické posloupnosti platí `a_1+a_3=5` a `a_2+a_4=10`. Určete `a_1` a `q`.

3. Součet čtyř po sobě jdoucích členů geometrické posloupnosti je 80 a čtvrtý z nich je devětkrát větší než druhý. Určete je.

4. Převeďte periodické číslo `0{,}454545\dots` na zlomek v základním tvaru.

5. Řešte rovnici `1+x+x^2+x^3+\dots=3`.

6. Rovnostranný trojúhelník má stranu 2 cm. Středy jeho stran tvoří menší trojúhelník, středy stran toho menšího další, a tak pořád dál. Určete součet obvodů a součet obsahů všech těchto trojúhelníků.

Rychlé příklady na n-tý člen s okamžitou kontrolou najdete v procvičování posloupností.

Kam dál