Články » SŠ Matematika

Limity funkcí

Vydáno dne v kategorii SŠ Matematika; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 199 091

Limita je matematická konstrukce vyjadřující, že se funkční hodnota funkce blíž k nějakému číslu. A právě toto číslo označujeme limita.


{\lim}\limits_{x \to a}f(x)

Předchozí výraz čteme jako Limita funkce f(x) když x se blíží k a.

Definice limity

Tato definice byla vymyšlena v 19. století francouzským matematikem Augustinem Louisem Cauchym a později upravena do nynější podoby Karlem Weierstrassem.

Limity funkcí

Máme-li výraz {\lim}\limits_{x \to c}f(x)=L, znamená to, že:

Pro každé libovolné ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x z 0 < |x − c| < δ platí |ƒ(x) − L| < ε

Neboli matematicky zapsáno:

\forall \varepsilon \gt 0 \ \ \exists \delta \gt 0 \ \ \forall x (0 \lt |x - c| \lt \delta \ \Rightarrow \ |f(x) - L| \lt \varepsilon)

Nejjednodušší limity

Mezi nejjednodušší limity by patřila například {\lim}\limits_{x \to 2}x+1. Při řešení tohoto příkladu postupujeme tak, že vezmeme číslo, ke kterému se x blíží a dosadíme ho do funkce. Vypadalo by to tedy nějak takto {\lim}\limits_{x \to 2}x+1=2+1=3. Tato limita byla hodně lehká, protože funkce byla definována v bodě x=2. Horší to bude v příkladě {\lim}\limits_{x \to 2}\frac{(x-2)(x+1)}{x-2}. Pokud nyní zkusíte dosadit za x = 2 získáte ve jmenovateli nulu, což pochopitelně není možné. Musíme se tedy nějak zbavit členu (x-2), což je v tomto příkladě velmi jednoduché; jednoduše vykrátíme celý výraz: {\lim}\limits_{x \to 2}\frac{(x-2)(x+1)}{x-2}={\lim}\limits_{x \to 2}x+1. Nyní už můžeme za x dosadit 2 a dojdeme k výsledku, že když se x blíží ke 2, limita funkce je rovna 3.

Vyřešte příklad {\lim}\limits_{x \to 2}\frac{x^2-5x+6}{x^2-3x+2}. Prvním krokem by měl být pokus dosadit za x číslo dva. Pokud tak ale uděláme, zjistíme, že ve jmenovateli dostaneme nulu a proto se musíme pokusit výraz nějak upravit. 

{\lim}\limits_{x \to 2}\frac{x^2-5x+6}{x^2-3x+2}
Čitatel i jmenovatel se dají rozložit
{\lim}\limits_{x \to 2}\frac{x^2-5x+6}{x^2-3x+2}={\lim}\limits_{x \to 2}\frac{(x-3)(x-2)}{(x-2)(x-1)}
Můžeme krátit
{\lim}\limits_{x \to 2}\frac{x^2-5x+6}{x^2-3x+2}={\lim}\limits_{x \to 2}\frac{(x-3)(x-2)}{(x-2)(x-1)}=\frac{x-3}{x-1}
Nyní už můžeme bez problému dosadit za x = 2
{\lim}\limits_{x \to 2}\frac{x^2-5x+6}{x^2-3x+2}={\lim}\limits_{x \to 2}\frac{(x-3)(x-2)}{(x-2)(x-1)}=\frac{x-3}{x-1}=\frac{-1}{1}=-1

Vyřešte {\lim}\limits_{x \to -2}\frac{x^4-16}{x^3+8}

{\lim}\limits_{x \to -2}\frac{x^4-16}{x^3+8}
Čitatel i jmenovatel se dají rozložit
{\lim}\limits_{x \to -2}\frac{x^4-16}{x^3+8}={\lim}\limits_{x \to -2}\frac{(x^2+4)(x^2-4)}{(x+2)(x^2-2x+4)}
Ještě více rozložíme čitatel
{\lim}\limits_{x \to -2}\frac{x^4-16}{x^3+8}={\lim}\limits_{x \to -2}\frac{(x^2+4)(x^2-4)}{(x+2)(x^2-2x+4)}={\lim}\limits_{x \to -2}\frac{(x^2+4)(x+2)(x-2)}{(x+2)(x^2-2x+4)}
Nyní můžeme krátit
{\lim}\limits_{x \to -2}\frac{x^4-16}{x^3+8}={\lim}\limits_{x \to -2}\frac{(x^2+4)(x^2-4)}{(x+2)(x^2-2x+4)}={\lim}\limits_{x \to -2}\frac{(x^2+4)(x+2)(x-2)}{(x+2)(x^2-2x+4)}={\lim}\limits_{x \to -2}\frac{x^2+4}{x^2-2x+4}
Můžeme dosadit
{\lim}\limits_{x \to -2}\frac{x^4-16}{x^3+8}={\lim}\limits_{x \to -2}\frac{(x^2+4)(x^2-4)}{(x+2)(x^2-2x+4)}={\lim}\limits_{x \to -2}\frac{(x^2+4)(x+2)(x-2)}{(x+2)(x^2-2x+4)}={\lim}\limits_{x \to -2}\frac{x^2+4}{x^2-2x+4}=-\frac{8}{3}

Obecný postup řešení limit

Při řešení limit funkcí postupujeme podle následujícího návodu:

  1. Nejprve zkusíme do limity dosadit číslo ke kterému se funkce blíží. Ve většině případů sice dostaneme neurčitý výraz, ale stojí to za zkoušku.
  2. Pokusíme se výraz nějakým způsobem zjednodušit → něco vytknout a poté vykrátit. V příkladě {\lim}\limits_{x \to 2}\frac{x^2-5x+6}{x^2-3x+2} se x blíží k číslu 2. Je tedy jasné, že ve jmenovateli se musíme zbavit členu (x-2) → {\lim}\limits_{x \to 2}\frac{x^2-5x+6}{x^2-3x+2}={\lim}\limits_{x \to 2}\frac{(x-3)(x-2)}{(x-2)(x-1)}=\frac{x-3}{x-1}=-1
  3. Pokud se Vám nepovede nic vykrátit, můžete se pokusit použít l'Hospitalovo pravidlo (ale o tom až později).

Pravidla pro počítání s limitami

Následující pravidla se hodí zejména v případě, že pracujete se složitými limitami.

  1. {\lim}\limits_{x \to a}\left[f(x)+g(x)\right]={\lim}\limits_{x \to a}f(x)+{\lim}\limits_{x \to a}g(x)
  2. {\lim}\limits_{x \to a}\left[f(x)-g(x)\right]={\lim}\limits_{x \to a}f(x)-{\lim}\limits_{x \to a}g(x)
  3. {\lim}\limits_{x \to a}\left[f(x)\cdot g(x)\right]={\lim}\limits_{x \to a}f(x)\cdot{\lim}\limits_{x \to a}g(x)
  4. {\lim}\limits_{x \to a}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{{\lim}\limits_{x \to a}f(x)}{{\lim}\limits_{x \to a}g(x)} za předpokladu, že {\lim}\limits_{x \to a}g(x)\ne0

Limity goniometrických funkcí

I v limitách se občas objeví goniometrická funkce a to často působí studentům problémy.

Je potřeba pamatovat si některé základní limity, pomocí kterých poté můžeme spočítat ty složitější.

Limity funkcí

Na předchozím obrázku jsou grafy funkcí f(x): y = x a f(x): y = sin(x). Podíváte-li se na jejich funkční hodnoty když x se blíží k nule, vidíte, že jejich funkční hodnoty jsou skoro stejné. Z toho tedy plyne:

{\lim}\limits_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1

Podobným způsobem můžeme zjistit, že platí limita {\lim}\limits_{x \to 0}\frac{tg x}{x}=1. Pokuste se vyřešit příklad {\lim}\limits_{a \to 0}\frac{\sin 5a}{a}

O několik řádku výše jsme si ukázali vzorec {\lim}\limits_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1. Ten ale zatím nemůžeme použít. Nejprve musíme limitu rozšířit číslem \frac{5}{5}

{\lim}\limits_{a \to 0}\frac{\sin 5a}{a}={\lim}\limits_{a \to 0}\frac{5\sin 5a}{5a}
Nyní použijeme substituci 5a = x a můžeme použit onen vzorec
{\lim}\limits_{a \to 0}\frac{\sin 5a}{a}={\lim}\limits_{a \to 0}\frac{5\sin x}{x}=5\cdot{\lim}\limits_{a \to 0}\frac{\sin x}{x}=5\cdot1=5

Určete limitu funkce {\lim}\limits_{x \to \pi}\frac{\cos^2x-3\cos x-4}{\cos^2x-4\cos x-5}

{\lim}\limits_{x \to \pi}\frac{\cos^2x-3\cos x-4}{\cos^2x-4\cos x-5}
Není potřeba nic složitého vymýšlet, čitatel i jmenovatel se dají rozložit
{\lim}\limits_{x \to \pi}\frac{\cos^2x-3\cos x-4}{\cos^2x-4\cos x-5}={\lim}\limits_{x \to \pi}\frac{(\cos x+1)(\cos x-4)}{(\cos x+1)(\cos x-5)}={\lim}\limits_{x \to \pi}\frac{\cos x-4}{\cos x-5}=\frac{-5}{-6}=\frac{5}{6}

Při počítání limit některých goniometrických funkcí je dobré znát alespoň základní Goniometrické vzorce.

{\lim}\limits_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{\sin x-\cos x}{\cos2x}
Použijeme vzoreček \cos2x=\cos^2x-\sin^2x
{\lim}\limits_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{\sin x-\cos x}{\cos2x}={\lim}\limits_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{\sin x-\cos x}{\cos^2x-\sin^2x}
Jmenovatel rozložíme podle vzorečku a^2-b^2=(a+b)\cdot(a-b)
{\lim}\limits_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{\sin x-\cos x}{\cos2x}={\lim}\limits_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{\sin x-\cos x}{\cos^2x-\sin^2x}={\lim}\limits_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{\sin x-\cos x}{(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)}
Můžeme krátit
{\lim}\limits_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{\sin x-\cos x}{\cos2x}={\lim}\limits_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{\sin x-\cos x}{\cos^2x-\sin^2x}={\lim}\limits_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{\sin x-\cos x}{(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)}={\lim}\limits_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{-1}{\cos x+\sin x}=-\frac{\sqrt{2}}{2}

Vyzkoušíme vyřešit ještě jeden příklad:

{\lim}\limits_{x \to \pi}\frac{\sin^2x}{1+\cos x}
Použijeme vzoreček \sin^2x+\cos^2x=1\ \rightarrow\ \sin^2x=1-\cos^2x
{\lim}\limits_{x \to \pi}\frac{\sin^2x}{1+\cos x}={\lim}\limits_{x \to \pi}\frac{1-\cos^2x}{1+\cos x}
Použijeme vzoreček a^2-b^2=(a+b)\cdot(a-b)
{\lim}\limits_{x \to \pi}\frac{\sin^2x}{1+\cos x}={\lim}\limits_{x \to \pi}\frac{1-\cos^2x}{1+\cos x}={\lim}\limits_{x \to \pi}\frac{(1+\cos x)(1-\cos x)}{1+\cos x}={\lim}\limits_{x \to \pi}1-\cos x=2

Nevlastní limity

Doposud jsme počítali limity vlastní, tedy limity, jejichž výsledkem bylo konečné číslo. Funkce má nevlastní limitu tehdy, jestliže se funkční hodnota v daném bodě blíží buď k nekonečnu nebo k mínus nekonečnu. Toto se dobře ukazuje na grafu funkce f(x):\ y\ =\ \frac{1}{x}

Limity funkcí

Na základě obrázku můžeme určit:

  • {\lim}\limits_{x \to 0+}\ \frac{1}{x}=+\infty
  • {\lim}\limits_{x \to 0-}\ \frac{1}{x}=-\infty

Limity v nevlastních bodech

Limity v nevlastních bodech jsou limity, kde se x blíží buď k nekonečnu nebo k mínus nekonečnu. Příkladem budiž limita {\lim}\limits_{x \to \infty}x^2. Grafem funkce f(x):\ y\ =\ x^2 je parabola otevřená směrem nahoru. Čím větší je x, tím jsou větší hodnoty funkčních hodnot. Platí tedy {\lim}\limits_{x \to \infty}x^2=\infty. Jelikož se limita blíží nekonečnu, jedná se o nevlastní limitu v nevlastním bodě. Podobnou myšlenkovou úvahou dojdeme například k závěru, že {\lim}\limits_{x \to -\infty}x^3 je -\infty

Samozřejmě existují i vlastní limity v nevlastních bodech. Vypočítejte {\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{x+1}{x}

{\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{x+1}{x}
Začneme tím, že jak ve jmenovateli tak i v čitateli vytkneme x s nejvyšší mocninou
{\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{x+1}{x}={\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{x(1+\frac{1}{x}}{x(1)}
Použijeme pravidlo {\lim}\limits_{x \to a}\left[f(x)\cdot g(x)\right]={\lim}\limits_{x \to a}f(x)\cdot{\lim}\limits_{x \to a}g(x)
{\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{x+1}{x}={\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{x(1+\frac{1}{x})}{x(1)}={\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{x}{x}\cdot{\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{1+\frac{1}{x}}{1}

Úprava první limity je jasná, x se vykrátí a výsledek tedy bude 1. Upravit druhou limitu je trošku větší oříšek. Je potřeba si uvědomit, čemu se rovná {\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{1}{x}. Čím větší číslo budeme za x dosazovat, tím menší výsledek budeme získávat, budeme se blížit nule → {\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{1}{x}=0. Obecně se dá říci, že platí {\lim}\limits_{x \to \pm\infty}\frac{a}{x^n}=0,\ a\ \in\ \mathbb{R},\ n\ \in\ \mathbb{N}. Tím pádem můžeme dopočítat předchozí příklad.

{\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{x+1}{x}={\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{x(1+\frac{1}{x})}{x(1)}={\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{x}{x}\cdot{\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{1+\frac{1}{x}}{1}=1\cdot\frac{1+0}{1}=1

Vypočítejte {\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{2x^3-x^2+5}{x^2+x-2}

{\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{2x^3-x^2+5}{x^2+x-2}
Vytkneme x s nejvyšší mocninou
{\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{2x^3-x^2+5}{x^2+x-2}={\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{x^3(2-\frac{1}{x}+\frac{5}{x^3})}{x^2(1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2})}
Rozdělíme příklad na násobek dvou limit
{\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{2x^3-x^2+5}{x^2+x-2}={\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{x^3(2-\frac{1}{x}+\frac{5}{x^3})}{x^2(1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2})}={\lim}\limits_{x \to \infty}x\cdot{\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{2-\frac{1}{x}+\frac{5}{x^3}}{1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}=\infty\cdot\frac{2-0+0}{1+0-0}=\infty

Vypočítejte {\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{x^2-2x+5}{2x^3-x^2+4}

{\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{x^2-2x+5}{2x^3-x^2+4}={\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{x^2(1-\frac{2}{x}+\frac{5}{x^2})}{x^3(2-\frac{1}{x}+\frac{4}{x^3})}={\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{1}{x}\cdot{\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{1-\frac{2}{x}+\frac{5}{x^2}}{2-\frac{1}{x}+\frac{4}{x^3}}=0\cdot\frac{1-0+0}{2-0+0}=0

Příklady

Vypočítejte následující limitu: \lim\limits_{x\to-1}\frac{x^3-2x-1}{x^5-2x-1}.



Vypočítejte následující limitu: \lim\limits_{x\to0}\frac{\sin2x}{\sin3x}.



Vypočítejte následující limitu: \lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}.



Určete limitu funkce \lim\limits_{n\to\infty}\frac{2^n-2^{-n}}{2^n+2^{-n}}.



Určete limitu \lim\limits_{n\to\infty}n(\sqrt{n^2+1}-n).



Test

Určete intervaly monotonie funkce \mathrm{e}^x(x^2+3x+1)


Hlavolam

Máte dvě tyče různé délky a váhy. Pokud první tyč zkrátíte o polovinu, její hmotnost se zvýší o 20 %. Jaká je délka a váha druhé tyče, pokud obě tyče váží stejně?

Kopírovat obsah stránek, čí s ním jinak manipulovat bez svolení jeho autora, je zakázáno.

ISSN: 1803-7615 © maths.cz 2008-2025 © content: Matematika pro každého, Jakub Vojáček