Limity funkcí

Limita funkce `f` v bodě `a` je číslo `L`, ke kterému se blíží hodnoty `f(x)`, když se `x` blíží k `a` (a přitom `x \ne a`). Zapisujeme ji takto:

`\lim\limits_{x \to a} f(x) = L`

Čteme „limita funkce `f(x)` pro `x` jdoucí k `a` je rovna `L`“. Limita tedy neříká, kolik je `f(a)`, ale k čemu se hodnoty funkce blíží v okolí bodu `a`. Funkce v samotném bodě `a` dokonce nemusí být definovaná.

Většinu limit spočítáme prostým dosazením: `\lim\limits_{x \to 2} (x + 1) = 2 + 1 = 3`. Zajímavé jsou ty, kde dosazení vede na výraz jako `\frac{0}{0}` nebo `\frac{\infty}{\infty}`. Pak je potřeba výraz nejdřív upravit, a právě to se na limitách učí.

Níže najdete definici limity, obecný postup výpočtu, pravidla a vzorce, které se hodí znát, a řešené příklady na všechny běžné typy: rozklad a krácení, odmocniny, limity v nekonečnu, nevlastní a jednostranné limity, goniometrické limity a l'Hospitalovo pravidlo.

Co limita znamená

Vezměme funkci `f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}`. Pro `x = 2` vyjde ve jmenovateli nula, takže `f(2)` neexistuje. Když ale dosadíme čísla blízko dvojky, uvidíme jasný trend:

Z obou stran se hodnoty blíží ke čtyřce, proto `\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4`. Proč zrovna 4, je vidět po rozkladu čitatele: `\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2` pro každé `x \ne 2`. Grafem je přímka `y = x + 2`, ze které chybí jediný bod.

To je podstata limity: díváme se na okolí bodu, ne na bod samotný. Kdybychom funkci dodefinovali třeba `f(2) = 100`, limita by zůstala 4.

Definice limity

„Blíží se“ je potřeba říct přesně. Základ dnešní definice položil Augustin Louis Cauchy a do podoby s `\varepsilon` a `\delta`, jak se učí dnes, ji dotáhl Karl Weierstrass:

`\lim\limits_{x \to a} f(x) = L`

právě když ke každému `\varepsilon \gt 0` existuje `\delta \gt 0` takové, že pro všechna `x` splňující `0 \lt |x - a| \lt \delta` platí `|f(x) - L| \lt \varepsilon`. Symbolicky:

`\begin{gathered}\forall \varepsilon \gt 0\ \exists \delta \gt 0\ \forall x: \\[4pt] 0 \lt |x - a| \lt \delta \Rightarrow |f(x) - L| \lt \varepsilon\end{gathered}`

Slovy: ať si kolem `L` zvolíte jakkoli úzký pás (šířka `\varepsilon`), najde se kolem `a` pás (šířka `\delta`), ve kterém graf z toho prvního pásu nevyběhne. Podmínka `0 \lt |x - a|` říká, že bod `a` samotný se nepočítá.

Malá ukázka, jak se s definicí pracuje: dokážeme, že `\lim\limits_{x \to 3} (2x + 1) = 7`. Platí `|2x + 1 - 7| = 2\,|x - 3|`, takže když zvolíme `\delta = \frac{\varepsilon}{2}`, pro `|x - 3| \lt \delta` vyjde `|2x + 1 - 7| \lt 2\delta = \varepsilon`. Při počítání konkrétních limit se ale definice nepoužívá, na to jsou pravidla níže.

Obecný postup řešení limit

1. Dosaďte. Vyjde-li číslo, je to výsledek. U mnohočlenů, `\sin`, `\cos`, `e^x` nebo odmocnin (uvnitř definičního oboru) to tak je vždy.
2. Vyjde `\frac{0}{0}`? Čitatel i jmenovatel rozložte na součin a zkraťte společného činitele. Je-li ve výrazu odmocnina, rozšiřte zlomek sdruženým výrazem (stejné členy, opačné znaménko mezi nimi).
3. Vyjde `\frac{k}{0}` s `k \ne 0`? Výsledek bude `+\infty` nebo `-\infty`, nebo limita neexistuje. Rozhodnou jednostranné limity.
4. Jde `x` do nekonečna? Vytkněte v čitateli i ve jmenovateli nejvyšší mocninu.
5. Je tam `\sin` nebo `\mathrm{tg}`? Převeďte výraz na známou limitu `\frac{\sin x}{x} \to 1`, případně použijte goniometrické vzorce.
6. Nic z toho nepomáhá? U typu `\frac{0}{0}` a `\frac{\infty}{\infty}` zbývá l'Hospitalovo pravidlo, které potřebuje derivace.

Neurčité výrazy. Výsledek dosazení, ze kterého nejde nic vyčíst, se nazývá neurčitý výraz. Je jich sedm: `\frac{0}{0}`, `\frac{\infty}{\infty}`, `\infty - \infty`, `0 \cdot \infty`, `1^{\infty}`, `0^0` a `\infty^0`. Žádný z nich není číslo. Například `\frac{0}{0}` může po úpravě dát 4, −1, 0 i nekonečno, a proto se takový výraz nikdy nepíše jako výsledek, ale je pokynem výraz upravit.

Pravidla pro počítání s limitami

Jestliže existují vlastní limity `\lim\limits_{x \to a} f(x) = A` a `\lim\limits_{x \to a} g(x) = B`, pak platí:

`\begin{gathered}\lim\limits_{x \to a} \left[ f(x) \pm g(x) \right] = A \pm B \\[10pt] \lim\limits_{x \to a} \left[ c \cdot f(x) \right] = c \cdot A \\[10pt] \lim\limits_{x \to a} \left[ f(x) \cdot g(x) \right] = A \cdot B \\[10pt] \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{A}{B}, \quad B \ne 0 \\[10pt] \lim\limits_{x \to a} \left[ f(x) \right]^n = A^n\end{gathered}`

Pravidla platí jen tehdy, když obě dílčí limity existují a jsou konečné. Proto nejde napsat `\lim\limits_{x \to \infty} (x^2 - x) = \infty - \infty = 0`: tady rozdělení na dvě limity nic neřeší a správně je `x^2 - x = x(x - 1) \to \infty`.

S nekonečnem se počítá takto (`c` je libovolné reálné číslo, `k \gt 0`):

`\begin{gathered}\infty + c = \infty, \quad \infty + \infty = \infty \\[10pt] k \cdot \infty = \infty, \quad (-k) \cdot \infty = -\infty \\[10pt] \dfrac{c}{\pm\infty} = 0, \quad \dfrac{k}{0^+} = +\infty, \quad \dfrac{k}{0^-} = -\infty\end{gathered}`

Důležité limity (vzorce)

Tyto limity se neodvozují pokaždé znovu, používají se jako hotové vzorce:

Limita typu 0/0: rozklad a krácení

Nejčastější typ školních limit. Když dosazením vyjde `\frac{0}{0}`, mají čitatel i jmenovatel v bodě `a` kořen, a tedy oba obsahují činitel `(x - a)`. Ten je potřeba najít a zkrátit.

Příklad 1

Vypočítejte `\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 3x + 2}`.

Dosazením dostaneme `\frac{4 - 10 + 6}{4 - 6 + 2} = \frac{0}{0}`. Oba trojčleny rozložíme (na to je kalkulačka rozkladu kvadratického trojčlenu) a zkrátíme `(x - 2)`:

`\displaystyle \begin{aligned}\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 3x + 2} &= \lim\limits_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 2)(x - 1)} \\[8pt] &= \lim\limits_{x \to 2} \frac{x - 3}{x - 1} = \frac{2 - 3}{2 - 1} = -1\end{aligned}`

Zkouška: pro `x = 2{,}01` vyjde původní zlomek `\frac{-0{,}0099}{0{,}0101} \doteq -0{,}98`, tedy opravdu blízko −1.

Příklad 2

Vypočítejte `\lim\limits_{x \to -2} \dfrac{x^4 - 16}{x^3 + 8}`.

Opět `\frac{16 - 16}{-8 + 8} = \frac{0}{0}`. Čitatel rozložíme dvakrát podle `A^2 - B^2`, jmenovatel podle vzorce `A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)`:

`\displaystyle \begin{aligned}&\lim\limits_{x \to -2} \frac{x^4 - 16}{x^3 + 8} \\[8pt] &= \lim\limits_{x \to -2} \frac{(x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)}{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)} \\[8pt] &= \lim\limits_{x \to -2} \frac{(x^2 + 4)(x - 2)}{x^2 - 2x + 4} = \frac{8 \cdot (-4)}{12} = -\frac{8}{3}\end{aligned}`

Pozor na činitel `(x - 2)`: zkracuje se jen `(x + 2)`, ten druhý zůstává a dává výsledku znaménko minus. Když rozklad vidět není, najde činitel `(x - a)` vždy Hornerovo schéma (dělíme číslem `a`, zbytek musí vyjít nula). Celý zlomek zkrátí kalkulačka krácení lomeného výrazu, a samotné krácení si můžete vyzkoušet v příkladech na lomené výrazy.

Limita s odmocninou

Odmocninu rozložit nejde, ale můžeme se jí zbavit rozšířením. Zlomek rozšíříme výrazem, který s odmocninou tvoří vzorec `(A - B)(A + B) = A^2 - B^2`.

Příklad 3

Vypočítejte `\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}`.

`\displaystyle \begin{aligned}&\lim\limits_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} \cdot \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 2} \\[8pt] &= \lim\limits_{x \to 4} \frac{x - 4}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)} \\[8pt] &= \lim\limits_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}\end{aligned}`

Zkouška: `x = 4{,}01` dává `\frac{2{,}0025 - 2}{0{,}01} \doteq 0{,}25`.

Limity v nekonečnu (v nevlastních bodech)

Když `x \to \infty`, rozhoduje o všem nejvyšší mocnina. Vytkneme ji v čitateli i ve jmenovateli a využijeme, že `\frac{c}{x^n} \to 0`.

Příklad 4

Vypočítejte `\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{3x^2 - x + 5}{2x^2 + 7}`.

`\displaystyle \lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^2 \left( 3 - \frac{1}{x} + \frac{5}{x^2} \right)}{x^2 \left( 2 + \frac{7}{x^2} \right)} = \frac{3 - 0 + 0}{2 + 0} = \frac{3}{2}`

Tak to funguje u každé racionální lomené funkce. Stačí porovnat stupně čitatele a jmenovatele:

Ve třetím řádku rozhoduje o znaménku to, co zbyde po vytknutí: `\frac{x^3 \cdot 2}{x^2 \cdot 1} = 2x`, a to pro `x \to \infty` jde do `+\infty`, pro `x \to -\infty` do `-\infty`. Vlastní limita v nekonečnu má i názorný význam: je-li `\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = L`, má graf vodorovnou asymptotu `y = L`.

Příklad 5 (typ ∞ − ∞)

Vypočítejte `\lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + x} - x \right)`.

Dosazení dává `\infty - \infty`, tedy neurčitý výraz. Pomůže rozšíření jako v příkladu 3:

`\displaystyle \begin{aligned}&\lim\limits_{x \to \infty} \frac{(x^2 + x) - x^2}{\sqrt{x^2 + x} + x} \\[8pt] &= \lim\limits_{x \to \infty} \frac{x}{x \left( \sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1 \right)} \\[8pt] &= \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{1}{2}\end{aligned}`

Zkouška kalkulačkou: pro `x = 1\,000\,000` vyjde `0{,}4999999`. Kdo by rovnou napsal `\infty - \infty = 0`, dostal by špatný výsledek.

Nevlastní limity a jednostranné limity

Limita, jejímž výsledkem je číslo, se nazývá vlastní. Když hodnoty funkce rostou nade všechny meze (nebo klesají pod všechny meze), mluvíme o nevlastní limitě `+\infty` (`-\infty`). Nejlépe je to vidět na funkcích `\frac{1}{x}` a `\frac{1}{x^2}` u nuly:

U funkce `\frac{1}{x}` záleží na tom, ze které strany se k nule blížíme. Proto se zavádějí jednostranné limity, zprava (`x \to 0^+`) a zleva (`x \to 0^-`):

`\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty, \qquad \lim\limits_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x} = -\infty`

Limita v bodě existuje právě tehdy, když existují obě jednostranné limity a jsou si rovny. Pro `\frac{1}{x}` se liší, takže `\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}` neexistuje. Pro `\frac{1}{x^2}` jsou obě `+\infty`, a tak `\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty`.

Příklad 6

Vypočítejte `\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x + 1}{x - 3}`.

Dosazení dává `\frac{4}{0}`, tedy typ `\frac{k}{0}`. Čitatel je u trojky kladný (blízko 4). Jmenovatel `x - 3` je zprava malé kladné číslo, zleva malé záporné:

`\lim\limits_{x \to 3^+} \dfrac{x + 1}{x - 3} = +\infty, \qquad \lim\limits_{x \to 3^-} \dfrac{x + 1}{x - 3} = -\infty`

Jednostranné limity se liší, limita v bodě 3 neexistuje. Graf má v `x = 3` svislou asymptotu. Asymptoty lineární lomené funkce spočítá kalkulačka asymptot a procvičit je můžete v příkladech na asymptoty.

Limity goniometrických funkcí

Základní goniometrická limita je

`\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1`

Pro malá `x` (v radiánech) je totiž `\sin x` skoro stejné jako `x`: `\frac{\sin 0{,}1}{0{,}1} \doteq 0{,}9983` a `\frac{\sin 0{,}01}{0{,}01} \doteq 0{,}99998`. Na grafu se obě křivky u počátku téměř kryjí:

Příklad 7

Vypočítejte `\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin 5x}{x}`.

Vzorec platí, jen když je pod sinem totéž co ve jmenovateli. Zlomek proto rozšíříme pěti a označíme `t = 5x`. Když `x \to 0`, jde i `t \to 0`:

`\displaystyle \begin{aligned}\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x} &= \lim\limits_{x \to 0} 5 \cdot \frac{\sin 5x}{5x} \\[8pt] &= 5 \cdot \lim\limits_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 5 \cdot 1 = 5\end{aligned}`

Stejně obecně `\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin kx}{x} = k`. Zkouška: `\frac{\sin 0{,}05}{0{,}01} \doteq 4{,}998`.

Příklad 8

Vypočítejte `\lim\limits_{x \to \pi} \dfrac{\cos^2 x - 3\cos x - 4}{\cos^2 x - 4\cos x - 5}`.

Protože `\cos \pi = -1`, vyjde dosazením `\frac{1 + 3 - 4}{1 + 4 - 5} = \frac{0}{0}`. Oba výrazy jsou kvadratické trojčleny v proměnné `\cos x` a oba mají kořen `-1`:

`\displaystyle \begin{aligned}&\lim\limits_{x \to \pi} \frac{(\cos x + 1)(\cos x - 4)}{(\cos x + 1)(\cos x - 5)} \\[8pt] &= \lim\limits_{x \to \pi} \frac{\cos x - 4}{\cos x - 5} = \frac{-5}{-6} = \frac{5}{6}\end{aligned}`

Příklad 9

Vypočítejte `\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \dfrac{\sin x - \cos x}{\cos 2x}`.

V bodě `\frac{\pi}{4}` je `\sin x = \cos x` i `\cos 2x = 0`. Použijeme vzorec

`\displaystyle \begin{aligned}\cos 2x &= \cos^2 x - \sin^2 x \\[4pt] &= (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)\end{aligned}`

Čitatel je opačný výraz k první závorce, `\sin x - \cos x = -(\cos x - \sin x)`:

`\displaystyle \begin{aligned}&\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{-(\cos x - \sin x)}{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)} \\[8pt] &= \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{-1}{\cos x + \sin x} \\[8pt] &= \frac{-1}{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned}`

L'Hospitalovo pravidlo

Když vyjde `\frac{0}{0}` nebo `\frac{\infty}{\infty}`, smíme čitatel i jmenovatel každý zvlášť zderivovat:

`\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}`

pokud limita vpravo existuje. Například `\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}` je typu `\frac{0}{0}` a po zderivování dává `\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = 1`. Stejně se dá ověřit příklad 1: `\lim\limits_{x \to 2} \frac{2x - 5}{2x - 3} = \frac{-1}{1} = -1`. Nederivuje se zlomek jako celek (podle vzorce pro podíl), ale čitatel a jmenovatel odděleně. Jak se derivuje, vysvětluje článek Základy derivace.

Pravidlo je pohodlné, ale ve škole se u limit typu `\frac{0}{0}` obvykle chce vidět rozklad, protože derivace se probírají až po limitách.

Časté chyby

• Napsat `\frac{0}{0}` jako výsledek. Je to neurčitý výraz, signál k úpravě, ne odpověď. Stejně tak `\frac{0}{0}` není 0 ani 1.
• `\infty - \infty = 0` a `\frac{\infty}{\infty} = 1`. Obojí je špatně, jak ukázal příklad 5 (vyšla `\frac{1}{2}`) a tabulka limit v nekonečnu, kde typ `\frac{\infty}{\infty}` dává 0, `\frac{3}{2}` i nekonečno.
• Krácení sčítanců. V `\frac{x^2 + 2}{x}` se `x` zkrátit nesmí. Krátí se jen činitel, který je v rozkladu čitatele i jmenovatele.
• Vypouštění zápisu `\lim`. Dokud se nedosadí, patří před každý výraz `\lim\limits_{x \to a}`. Bez něj rovnost `\frac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 2)(x - 1)} = -1` prostě neplatí.
• `\frac{\sin 5x}{x} \to 1`. Vzorec potřebuje stejný argument nahoře i dole, správně je 5 (příklad 7).
• Zapomenuté jednostranné limity. U typu `\frac{k}{0}` nestačí napsat „nekonečno“. Zkontrolujte znaménko jmenovatele zleva i zprava.
• Stupně místo radiánů. `\frac{\sin x}{x} \to 1` platí jen pro `x` v radiánech.

Příklady k procvičení

Kam dál

• Asymptota funkce: svislé a šikmé asymptoty se počítají právě limitami.
• Základy derivace: derivace je limita podílu, a derivace zase pomáhají s limitami přes l'Hospitalovo pravidlo.
• Úpravy lomených výrazů a Hornerovo schéma: rozklad a krácení, bez kterých se limity typu 0/0 neobejdou.
• Goniometrické vzorce pro limity se sinem a kosinem.
• Kalkulačky: krácení lomeného výrazu, kořeny mnohočlenu a rozklad na součin, asymptoty lineární lomené funkce.
• Procvičování: lomené výrazy, asymptoty.