Předchozí výraz čteme jako Limita funkce f(x)
když x
se blíží k a
.
Definice limity
Tato definice byla vymyšlena v 19. století francouzským matematikem Augustinem Louisem Cauchym a později upravena do nynější podoby Karlem Weierstrassem.

Máme-li výraz , znamená to, že:
Pro každé libovolné ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x z 0 < |x − c| < δ platí |ƒ(x) − L| < ε
Neboli matematicky zapsáno:
Nejjednodušší limity
Mezi nejjednodušší limity by patřila například . Při řešení tohoto příkladu postupujeme tak, že vezmeme číslo, ke kterému se
x
blíží a dosadíme ho do funkce. Vypadalo by to tedy nějak takto . Tato limita byla hodně lehká, protože funkce byla definována v bodě
x=2
. Horší to bude v příkladě . Pokud nyní zkusíte dosadit za
x = 2
získáte ve jmenovateli nulu, což pochopitelně není možné. Musíme se tedy nějak zbavit členu (x-2)
, což je v tomto příkladě velmi jednoduché; jednoduše vykrátíme celý výraz: . Nyní už můžeme za
x
dosadit 2
a dojdeme k výsledku, že když se x
blíží ke 2
, limita funkce je rovna 3
.
Vyřešte příklad . Prvním krokem by měl být pokus dosadit za
x
číslo dva. Pokud tak ale uděláme, zjistíme, že ve jmenovateli dostaneme nulu a proto se musíme pokusit výraz nějak upravit.
Čitatel i jmenovatel se dají rozložit
Můžeme krátit
Nyní už můžeme bez problému dosadit za x = 2
![]()
Vyřešte
Čitatel i jmenovatel se dají rozložit
Ještě více rozložíme čitatel
Nyní můžeme krátit
Můžeme dosadit
![]()
Obecný postup řešení limit
Při řešení limit funkcí postupujeme podle následujícího návodu:
- Nejprve zkusíme do limity dosadit číslo ke kterému se funkce blíží. Ve většině případů sice dostaneme neurčitý výraz, ale stojí to za zkoušku.
- Pokusíme se výraz nějakým způsobem zjednodušit → něco vytknout a poté vykrátit. V příkladě
se
x
blíží k číslu2
. Je tedy jasné, že ve jmenovateli se musíme zbavit členu→
- Pokud se Vám nepovede nic vykrátit, můžete se pokusit použít l'Hospitalovo pravidlo (ale o tom až později).
Pravidla pro počítání s limitami
Následující pravidla se hodí zejména v případě, že pracujete se složitými limitami.
za předpokladu, že
Limity goniometrických funkcí
I v limitách se občas objeví goniometrická funkce a to často působí studentům problémy.
Je potřeba pamatovat si některé základní limity, pomocí kterých poté můžeme spočítat ty složitější.

Na předchozím obrázku jsou grafy funkcí f(x): y = x
a f(x): y = sin(x)
. Podíváte-li se na jejich funkční hodnoty když x
se blíží k nule, vidíte, že jejich funkční hodnoty jsou skoro stejné. Z toho tedy plyne:
Podobným způsobem můžeme zjistit, že platí limita . Pokuste se vyřešit příklad
O několik řádku výše jsme si ukázali vzorec . Ten ale zatím nemůžeme použít. Nejprve musíme limitu rozšířit číslem
Nyní použijeme substituci
a můžeme použit onen vzorec
![]()
Určete limitu funkce
Není potřeba nic složitého vymýšlet, čitatel i jmenovatel se dají rozložit
![]()
Při počítání limit některých goniometrických funkcí je dobré znát alespoň základní Goniometrické vzorce.
Použijeme vzoreček
![]()
Jmenovatel rozložíme podle vzorečku
![]()
Můžeme krátit
![]()
Vyzkoušíme vyřešit ještě jeden příklad:
Použijeme vzoreček
![]()
Použijeme vzoreček
![]()
![]()
Nevlastní limity
Doposud jsme počítali limity vlastní, tedy limity, jejichž výsledkem bylo konečné číslo. Funkce má nevlastní limitu tehdy, jestliže se funkční hodnota v daném bodě blíží buď k nekonečnu nebo k mínus nekonečnu. Toto se dobře ukazuje na grafu funkce

Na základě obrázku můžeme určit:
Limity v nevlastních bodech
Limity v nevlastních bodech jsou limity, kde se x
blíží buď k nekonečnu nebo k mínus nekonečnu. Příkladem budiž limita . Grafem funkce
je parabola otevřená směrem nahoru. Čím větší je
x
, tím jsou větší hodnoty funkčních hodnot. Platí tedy . Jelikož se limita blíží nekonečnu, jedná se o nevlastní limitu v nevlastním bodě. Podobnou myšlenkovou úvahou dojdeme například k závěru, že
je
Samozřejmě existují i vlastní limity v nevlastních bodech. Vypočítejte
Začneme tím, že jak ve jmenovateli tak i v čitateli vytkneme x s nejvyšší mocninou
Použijeme pravidlo
![]()
![]()
Úprava první limity je jasná, x
se vykrátí a výsledek tedy bude 1
. Upravit druhou limitu je trošku větší oříšek. Je potřeba si uvědomit, čemu se rovná . Čím větší číslo budeme za
x
dosazovat, tím menší výsledek budeme získávat, budeme se blížit nule → . Obecně se dá říci, že platí
. Tím pádem můžeme dopočítat předchozí příklad.
Vypočítejte
Vytkneme x s nejvyšší mocninou
Rozdělíme příklad na násobek dvou limit
![]()
Vypočítejte
Příklady
Vypočítejte následující limitu: .
Vypočítejte následující limitu: .
Vypočítejte následující limitu: .
Určete limitu funkce .
Určete limitu .