Limity funkcí

Vydáno dne 15. 3. 2010 v kategorii SŠ Matematika; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 199 342

Limita je matematická konstrukce vyjadřující, že se funkční hodnota funkce blíž k nějakému číslu. A právě toto číslo označujeme limita.

Předchozí výraz čteme jako Limita funkce f(x) když x se blíží k a.

Definice limity

Tato definice byla vymyšlena v 19. století francouzským matematikem Augustinem Louisem Cauchym a později upravena do nynější podoby Karlem Weierstrassem.

Máme-li výraz ${\lim}\limits_{x \to c}f(x)=L$ , znamená to, že:

Pro každé libovolné ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x z 0 < |x − c| < δ platí |ƒ(x) − L| < ε

Neboli matematicky zapsáno:

Nejjednodušší limity

Mezi nejjednodušší limity by patřila například ${\lim}\limits_{x \to 2}x+1$ . Při řešení tohoto příkladu postupujeme tak, že vezmeme číslo, ke kterému se x blíží a dosadíme ho do funkce. Vypadalo by to tedy nějak takto ${\lim}\limits_{x \to 2}x+1=2+1=3$ . Tato limita byla hodně lehká, protože funkce byla definována v bodě x=2. Horší to bude v příkladě ${\lim}\limits_{x \to 2}\frac{(x-2)(x+1)}{x-2}$ . Pokud nyní zkusíte dosadit za x = 2 získáte ve jmenovateli nulu, což pochopitelně není možné. Musíme se tedy nějak zbavit členu (x-2), což je v tomto příkladě velmi jednoduché; jednoduše vykrátíme celý výraz: ${\lim}\limits_{x \to 2}\frac{(x-2)(x+1)}{x-2}={\lim}\limits_{x \to 2}x+1$ . Nyní už můžeme za x dosadit 2 a dojdeme k výsledku, že když se x blíží ke 2, limita funkce je rovna 3.

Vyřešte příklad ${\lim}\limits_{x \to 2}\frac{x^2-5x+6}{x^2-3x+2}$ . Prvním krokem by měl být pokus dosadit za x číslo dva. Pokud tak ale uděláme, zjistíme, že ve jmenovateli dostaneme nulu a proto se musíme pokusit výraz nějak upravit.


Čitatel i jmenovatel se dají rozložit

Můžeme krátit

Nyní už můžeme bez problému dosadit za x = 2

Vyřešte ${\lim}\limits_{x \to -2}\frac{x^4-16}{x^3+8}$


Čitatel i jmenovatel se dají rozložit

Ještě více rozložíme čitatel

Nyní můžeme krátit

Můžeme dosadit

Obecný postup řešení limit

Při řešení limit funkcí postupujeme podle následujícího návodu:

Nejprve zkusíme do limity dosadit číslo ke kterému se funkce blíží. Ve většině případů sice dostaneme neurčitý výraz, ale stojí to za zkoušku.
Pokusíme se výraz nějakým způsobem zjednodušit → něco vytknout a poté vykrátit. V příkladě ${\lim}\limits_{x \to 2}\frac{x^2-5x+6}{x^2-3x+2}$ se x blíží k číslu 2. Je tedy jasné, že ve jmenovateli se musíme zbavit členu → ${\lim}\limits_{x \to 2}\frac{x^2-5x+6}{x^2-3x+2}={\lim}\limits_{x \to 2}\frac{(x-3)(x-2)}{(x-2)(x-1)}=\frac{x-3}{x-1}=-1$
Pokud se Vám nepovede nic vykrátit, můžete se pokusit použít l'Hospitalovo pravidlo (ale o tom až později).

Pravidla pro počítání s limitami

Následující pravidla se hodí zejména v případě, že pracujete se složitými limitami.

${\lim}\limits_{x \to a}\left[f(x)+g(x)\right]={\lim}\limits_{x \to a}f(x)+{\lim}\limits_{x \to a}g(x)$
${\lim}\limits_{x \to a}\left[f(x)-g(x)\right]={\lim}\limits_{x \to a}f(x)-{\lim}\limits_{x \to a}g(x)$
${\lim}\limits_{x \to a}\left[f(x)\cdot g(x)\right]={\lim}\limits_{x \to a}f(x)\cdot{\lim}\limits_{x \to a}g(x)$
${\lim}\limits_{x \to a}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{{\lim}\limits_{x \to a}f(x)}{{\lim}\limits_{x \to a}g(x)}$ za předpokladu, že ${\lim}\limits_{x \to a}g(x)\ne0$

Limity goniometrických funkcí

I v limitách se občas objeví goniometrická funkce a to často působí studentům problémy.

Je potřeba pamatovat si některé základní limity, pomocí kterých poté můžeme spočítat ty složitější.

Na předchozím obrázku jsou grafy funkcí f(x): y = x a f(x): y = sin(x). Podíváte-li se na jejich funkční hodnoty když x se blíží k nule, vidíte, že jejich funkční hodnoty jsou skoro stejné. Z toho tedy plyne:

Podobným způsobem můžeme zjistit, že platí limita ${\lim}\limits_{x \to 0}\frac{tg x}{x}=1$ . Pokuste se vyřešit příklad ${\lim}\limits_{a \to 0}\frac{\sin 5a}{a}$

O několik řádku výše jsme si ukázali vzorec ${\lim}\limits_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ . Ten ale zatím nemůžeme použít. Nejprve musíme limitu rozšířit číslem $\frac{5}{5}$


Nyní použijeme substituci  a můžeme použit onen vzorec

Určete limitu funkce ${\lim}\limits_{x \to \pi}\frac{\cos^2x-3\cos x-4}{\cos^2x-4\cos x-5}$


Není potřeba nic složitého vymýšlet, čitatel i jmenovatel se dají rozložit

Při počítání limit některých goniometrických funkcí je dobré znát alespoň základní Goniometrické vzorce.


Použijeme vzoreček 

Jmenovatel rozložíme podle vzorečku 

Můžeme krátit

Vyzkoušíme vyřešit ještě jeden příklad:


Použijeme vzoreček 

Použijeme vzoreček

Nevlastní limity

Doposud jsme počítali limity vlastní, tedy limity, jejichž výsledkem bylo konečné číslo. Funkce má nevlastní limitu tehdy, jestliže se funkční hodnota v daném bodě blíží buď k nekonečnu nebo k mínus nekonečnu. Toto se dobře ukazuje na grafu funkce $f(x):\ y\ =\ \frac{1}{x}$

Na základě obrázku můžeme určit:

${\lim}\limits_{x \to 0+}\ \frac{1}{x}=+\infty$
${\lim}\limits_{x \to 0-}\ \frac{1}{x}=-\infty$

Limity v nevlastních bodech

Limity v nevlastních bodech jsou limity, kde se x blíží buď k nekonečnu nebo k mínus nekonečnu. Příkladem budiž limita ${\lim}\limits_{x \to \infty}x^2$ . Grafem funkce $f(x):\ y\ =\ x^2$ je parabola otevřená směrem nahoru. Čím větší je x, tím jsou větší hodnoty funkčních hodnot. Platí tedy ${\lim}\limits_{x \to \infty}x^2=\infty$ . Jelikož se limita blíží nekonečnu, jedná se o nevlastní limitu v nevlastním bodě. Podobnou myšlenkovou úvahou dojdeme například k závěru, že ${\lim}\limits_{x \to -\infty}x^3$ je $-\infty$

Samozřejmě existují i vlastní limity v nevlastních bodech. Vypočítejte ${\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{x+1}{x}$


Začneme tím, že jak ve jmenovateli tak i v čitateli vytkneme x s nejvyšší mocninou

Použijeme pravidlo

Úprava první limity je jasná, x se vykrátí a výsledek tedy bude 1. Upravit druhou limitu je trošku větší oříšek. Je potřeba si uvědomit, čemu se rovná ${\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{1}{x}$ . Čím větší číslo budeme za x dosazovat, tím menší výsledek budeme získávat, budeme se blížit nule → ${\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{1}{x}=0$ . Obecně se dá říci, že platí ${\lim}\limits_{x \to \pm\infty}\frac{a}{x^n}=0,\ a\ \in\ \mathbb{R},\ n\ \in\ \mathbb{N}$ . Tím pádem můžeme dopočítat předchozí příklad.

Vypočítejte ${\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{2x^3-x^2+5}{x^2+x-2}$


Vytkneme x s nejvyšší mocninou

Rozdělíme příklad na násobek dvou limit

Vypočítejte ${\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{x^2-2x+5}{2x^3-x^2+4}$

Příklady

Vypočítejte následující limitu: $\lim\limits_{x\to-1}\frac{x^3-2x-1}{x^5-2x-1}$ .

Vypočítejte následující limitu: $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin2x}{\sin3x}$ .

Vypočítejte následující limitu: $\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}$ .

Určete limitu funkce $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{2^n-2^{-n}}{2^n+2^{-n}}$ .

Určete limitu $\lim\limits_{n\to\infty}n(\sqrt{n^2+1}-n)$ .