Články » SŠ Matematika

Limity funkcí

Vydáno dne v kategorii SŠ Matematika; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 199 087

Limita je matematická konstrukce vyjadřující, že se funkční hodnota funkce blíž k nějakému číslu. A právě toto číslo označujeme limita.


{\lim}\limits_{x \to a}f(x)

Předchozí výraz čteme jako Limita funkce f(x) když x se blíží k a.

Definice limity

Tato definice byla vymyšlena v 19. století francouzským matematikem Augustinem Louisem Cauchym a později upravena do nynější podoby Karlem Weierstrassem.

Limity funkcí

Máme-li výraz {\lim}\limits_{x \to c}f(x)=L, znamená to, že:

Pro každé libovolné ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x z 0 < |x − c| < δ platí |ƒ(x) − L| < ε

Neboli matematicky zapsáno:

\forall \varepsilon \gt 0 \ \ \exists \delta \gt 0 \ \ \forall x (0 \lt |x - c| \lt \delta \ \Rightarrow \ |f(x) - L| \lt \varepsilon)

Nejjednodušší limity

Mezi nejjednodušší limity by patřila například {\lim}\limits_{x \to 2}x+1. Při řešení tohoto příkladu postupujeme tak, že vezmeme číslo, ke kterému se x blíží a dosadíme ho do funkce. Vypadalo by to tedy nějak takto {\lim}\limits_{x \to 2}x+1=2+1=3. Tato limita byla hodně lehká, protože funkce byla definována v bodě x=2. Horší to bude v příkladě {\lim}\limits_{x \to 2}\frac{(x-2)(x+1)}{x-2}. Pokud nyní zkusíte dosadit za x = 2 získáte ve jmenovateli nulu, což pochopitelně není možné. Musíme se tedy nějak zbavit členu (x-2), což je v tomto příkladě velmi jednoduché; jednoduše vykrátíme celý výraz: {\lim}\limits_{x \to 2}\frac{(x-2)(x+1)}{x-2}={\lim}\limits_{x \to 2}x+1. Nyní už můžeme za x dosadit 2 a dojdeme k výsledku, že když se x blíží ke 2, limita funkce je rovna 3.

Vyřešte příklad {\lim}\limits_{x \to 2}\frac{x^2-5x+6}{x^2-3x+2}. Prvním krokem by měl být pokus dosadit za x číslo dva. Pokud tak ale uděláme, zjistíme, že ve jmenovateli dostaneme nulu a proto se musíme pokusit výraz nějak upravit. 

{\lim}\limits_{x \to 2}\frac{x^2-5x+6}{x^2-3x+2}
Čitatel i jmenovatel se dají rozložit
{\lim}\limits_{x \to 2}\frac{x^2-5x+6}{x^2-3x+2}={\lim}\limits_{x \to 2}\frac{(x-3)(x-2)}{(x-2)(x-1)}
Můžeme krátit
{\lim}\limits_{x \to 2}\frac{x^2-5x+6}{x^2-3x+2}={\lim}\limits_{x \to 2}\frac{(x-3)(x-2)}{(x-2)(x-1)}=\frac{x-3}{x-1}
Nyní už můžeme bez problému dosadit za x = 2
{\lim}\limits_{x \to 2}\frac{x^2-5x+6}{x^2-3x+2}={\lim}\limits_{x \to 2}\frac{(x-3)(x-2)}{(x-2)(x-1)}=\frac{x-3}{x-1}=\frac{-1}{1}=-1

Vyřešte {\lim}\limits_{x \to -2}\frac{x^4-16}{x^3+8}

{\lim}\limits_{x \to -2}\frac{x^4-16}{x^3+8}
Čitatel i jmenovatel se dají rozložit
{\lim}\limits_{x \to -2}\frac{x^4-16}{x^3+8}={\lim}\limits_{x \to -2}\frac{(x^2+4)(x^2-4)}{(x+2)(x^2-2x+4)}
Ještě více rozložíme čitatel
{\lim}\limits_{x \to -2}\frac{x^4-16}{x^3+8}={\lim}\limits_{x \to -2}\frac{(x^2+4)(x^2-4)}{(x+2)(x^2-2x+4)}={\lim}\limits_{x \to -2}\frac{(x^2+4)(x+2)(x-2)}{(x+2)(x^2-2x+4)}
Nyní můžeme krátit
{\lim}\limits_{x \to -2}\frac{x^4-16}{x^3+8}={\lim}\limits_{x \to -2}\frac{(x^2+4)(x^2-4)}{(x+2)(x^2-2x+4)}={\lim}\limits_{x \to -2}\frac{(x^2+4)(x+2)(x-2)}{(x+2)(x^2-2x+4)}={\lim}\limits_{x \to -2}\frac{x^2+4}{x^2-2x+4}
Můžeme dosadit
{\lim}\limits_{x \to -2}\frac{x^4-16}{x^3+8}={\lim}\limits_{x \to -2}\frac{(x^2+4)(x^2-4)}{(x+2)(x^2-2x+4)}={\lim}\limits_{x \to -2}\frac{(x^2+4)(x+2)(x-2)}{(x+2)(x^2-2x+4)}={\lim}\limits_{x \to -2}\frac{x^2+4}{x^2-2x+4}=-\frac{8}{3}

Obecný postup řešení limit

Při řešení limit funkcí postupujeme podle následujícího návodu:

  1. Nejprve zkusíme do limity dosadit číslo ke kterému se funkce blíží. Ve většině případů sice dostaneme neurčitý výraz, ale stojí to za zkoušku.
  2. Pokusíme se výraz nějakým způsobem zjednodušit → něco vytknout a poté vykrátit. V příkladě {\lim}\limits_{x \to 2}\frac{x^2-5x+6}{x^2-3x+2} se x blíží k číslu 2. Je tedy jasné, že ve jmenovateli se musíme zbavit členu (x-2) → {\lim}\limits_{x \to 2}\frac{x^2-5x+6}{x^2-3x+2}={\lim}\limits_{x \to 2}\frac{(x-3)(x-2)}{(x-2)(x-1)}=\frac{x-3}{x-1}=-1
  3. Pokud se Vám nepovede nic vykrátit, můžete se pokusit použít l'Hospitalovo pravidlo (ale o tom až později).

Pravidla pro počítání s limitami

Následující pravidla se hodí zejména v případě, že pracujete se složitými limitami.

  1. {\lim}\limits_{x \to a}\left[f(x)+g(x)\right]={\lim}\limits_{x \to a}f(x)+{\lim}\limits_{x \to a}g(x)
  2. {\lim}\limits_{x \to a}\left[f(x)-g(x)\right]={\lim}\limits_{x \to a}f(x)-{\lim}\limits_{x \to a}g(x)
  3. {\lim}\limits_{x \to a}\left[f(x)\cdot g(x)\right]={\lim}\limits_{x \to a}f(x)\cdot{\lim}\limits_{x \to a}g(x)
  4. {\lim}\limits_{x \to a}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{{\lim}\limits_{x \to a}f(x)}{{\lim}\limits_{x \to a}g(x)} za předpokladu, že {\lim}\limits_{x \to a}g(x)\ne0

Limity goniometrických funkcí

I v limitách se občas objeví goniometrická funkce a to často působí studentům problémy.

Je potřeba pamatovat si některé základní limity, pomocí kterých poté můžeme spočítat ty složitější.

Limity funkcí

Na předchozím obrázku jsou grafy funkcí f(x): y = x a f(x): y = sin(x). Podíváte-li se na jejich funkční hodnoty když x se blíží k nule, vidíte, že jejich funkční hodnoty jsou skoro stejné. Z toho tedy plyne:

{\lim}\limits_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1

Podobným způsobem můžeme zjistit, že platí limita {\lim}\limits_{x \to 0}\frac{tg x}{x}=1. Pokuste se vyřešit příklad {\lim}\limits_{a \to 0}\frac{\sin 5a}{a}

O několik řádku výše jsme si ukázali vzorec {\lim}\limits_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1. Ten ale zatím nemůžeme použít. Nejprve musíme limitu rozšířit číslem \frac{5}{5}

{\lim}\limits_{a \to 0}\frac{\sin 5a}{a}={\lim}\limits_{a \to 0}\frac{5\sin 5a}{5a}
Nyní použijeme substituci 5a = x a můžeme použit onen vzorec
{\lim}\limits_{a \to 0}\frac{\sin 5a}{a}={\lim}\limits_{a \to 0}\frac{5\sin x}{x}=5\cdot{\lim}\limits_{a \to 0}\frac{\sin x}{x}=5\cdot1=5

Určete limitu funkce {\lim}\limits_{x \to \pi}\frac{\cos^2x-3\cos x-4}{\cos^2x-4\cos x-5}

{\lim}\limits_{x \to \pi}\frac{\cos^2x-3\cos x-4}{\cos^2x-4\cos x-5}
Není potřeba nic složitého vymýšlet, čitatel i jmenovatel se dají rozložit
{\lim}\limits_{x \to \pi}\frac{\cos^2x-3\cos x-4}{\cos^2x-4\cos x-5}={\lim}\limits_{x \to \pi}\frac{(\cos x+1)(\cos x-4)}{(\cos x+1)(\cos x-5)}={\lim}\limits_{x \to \pi}\frac{\cos x-4}{\cos x-5}=\frac{-5}{-6}=\frac{5}{6}

Při počítání limit některých goniometrických funkcí je dobré znát alespoň základní Goniometrické vzorce.

{\lim}\limits_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{\sin x-\cos x}{\cos2x}
Použijeme vzoreček \cos2x=\cos^2x-\sin^2x
{\lim}\limits_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{\sin x-\cos x}{\cos2x}={\lim}\limits_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{\sin x-\cos x}{\cos^2x-\sin^2x}
Jmenovatel rozložíme podle vzorečku a^2-b^2=(a+b)\cdot(a-b)
{\lim}\limits_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{\sin x-\cos x}{\cos2x}={\lim}\limits_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{\sin x-\cos x}{\cos^2x-\sin^2x}={\lim}\limits_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{\sin x-\cos x}{(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)}
Můžeme krátit
{\lim}\limits_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{\sin x-\cos x}{\cos2x}={\lim}\limits_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{\sin x-\cos x}{\cos^2x-\sin^2x}={\lim}\limits_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{\sin x-\cos x}{(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)}={\lim}\limits_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{-1}{\cos x+\sin x}=-\frac{\sqrt{2}}{2}

Vyzkoušíme vyřešit ještě jeden příklad:

{\lim}\limits_{x \to \pi}\frac{\sin^2x}{1+\cos x}
Použijeme vzoreček \sin^2x+\cos^2x=1\ \rightarrow\ \sin^2x=1-\cos^2x
{\lim}\limits_{x \to \pi}\frac{\sin^2x}{1+\cos x}={\lim}\limits_{x \to \pi}\frac{1-\cos^2x}{1+\cos x}
Použijeme vzoreček a^2-b^2=(a+b)\cdot(a-b)
{\lim}\limits_{x \to \pi}\frac{\sin^2x}{1+\cos x}={\lim}\limits_{x \to \pi}\frac{1-\cos^2x}{1+\cos x}={\lim}\limits_{x \to \pi}\frac{(1+\cos x)(1-\cos x)}{1+\cos x}={\lim}\limits_{x \to \pi}1-\cos x=2

Nevlastní limity

Doposud jsme počítali limity vlastní, tedy limity, jejichž výsledkem bylo konečné číslo. Funkce má nevlastní limitu tehdy, jestliže se funkční hodnota v daném bodě blíží buď k nekonečnu nebo k mínus nekonečnu. Toto se dobře ukazuje na grafu funkce f(x):\ y\ =\ \frac{1}{x}

Limity funkcí

Na základě obrázku můžeme určit:

  • {\lim}\limits_{x \to 0+}\ \frac{1}{x}=+\infty
  • {\lim}\limits_{x \to 0-}\ \frac{1}{x}=-\infty

Limity v nevlastních bodech

Limity v nevlastních bodech jsou limity, kde se x blíží buď k nekonečnu nebo k mínus nekonečnu. Příkladem budiž limita {\lim}\limits_{x \to \infty}x^2. Grafem funkce f(x):\ y\ =\ x^2 je parabola otevřená směrem nahoru. Čím větší je x, tím jsou větší hodnoty funkčních hodnot. Platí tedy {\lim}\limits_{x \to \infty}x^2=\infty. Jelikož se limita blíží nekonečnu, jedná se o nevlastní limitu v nevlastním bodě. Podobnou myšlenkovou úvahou dojdeme například k závěru, že {\lim}\limits_{x \to -\infty}x^3 je -\infty

Samozřejmě existují i vlastní limity v nevlastních bodech. Vypočítejte {\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{x+1}{x}

{\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{x+1}{x}
Začneme tím, že jak ve jmenovateli tak i v čitateli vytkneme x s nejvyšší mocninou
{\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{x+1}{x}={\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{x(1+\frac{1}{x}}{x(1)}
Použijeme pravidlo {\lim}\limits_{x \to a}\left[f(x)\cdot g(x)\right]={\lim}\limits_{x \to a}f(x)\cdot{\lim}\limits_{x \to a}g(x)
{\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{x+1}{x}={\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{x(1+\frac{1}{x})}{x(1)}={\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{x}{x}\cdot{\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{1+\frac{1}{x}}{1}

Úprava první limity je jasná, x se vykrátí a výsledek tedy bude 1. Upravit druhou limitu je trošku větší oříšek. Je potřeba si uvědomit, čemu se rovná {\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{1}{x}. Čím větší číslo budeme za x dosazovat, tím menší výsledek budeme získávat, budeme se blížit nule → {\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{1}{x}=0. Obecně se dá říci, že platí {\lim}\limits_{x \to \pm\infty}\frac{a}{x^n}=0,\ a\ \in\ \mathbb{R},\ n\ \in\ \mathbb{N}. Tím pádem můžeme dopočítat předchozí příklad.

{\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{x+1}{x}={\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{x(1+\frac{1}{x})}{x(1)}={\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{x}{x}\cdot{\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{1+\frac{1}{x}}{1}=1\cdot\frac{1+0}{1}=1

Vypočítejte {\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{2x^3-x^2+5}{x^2+x-2}

{\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{2x^3-x^2+5}{x^2+x-2}
Vytkneme x s nejvyšší mocninou
{\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{2x^3-x^2+5}{x^2+x-2}={\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{x^3(2-\frac{1}{x}+\frac{5}{x^3})}{x^2(1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2})}
Rozdělíme příklad na násobek dvou limit
{\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{2x^3-x^2+5}{x^2+x-2}={\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{x^3(2-\frac{1}{x}+\frac{5}{x^3})}{x^2(1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2})}={\lim}\limits_{x \to \infty}x\cdot{\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{2-\frac{1}{x}+\frac{5}{x^3}}{1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}=\infty\cdot\frac{2-0+0}{1+0-0}=\infty

Vypočítejte {\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{x^2-2x+5}{2x^3-x^2+4}

{\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{x^2-2x+5}{2x^3-x^2+4}={\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{x^2(1-\frac{2}{x}+\frac{5}{x^2})}{x^3(2-\frac{1}{x}+\frac{4}{x^3})}={\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{1}{x}\cdot{\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{1-\frac{2}{x}+\frac{5}{x^2}}{2-\frac{1}{x}+\frac{4}{x^3}}=0\cdot\frac{1-0+0}{2-0+0}=0

Příklady

Vypočítejte následující limitu: \lim\limits_{x\to-1}\frac{x^3-2x-1}{x^5-2x-1}.



Vypočítejte následující limitu: \lim\limits_{x\to0}\frac{\sin2x}{\sin3x}.



Vypočítejte následující limitu: \lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}.



Určete limitu funkce \lim\limits_{n\to\infty}\frac{2^n-2^{-n}}{2^n+2^{-n}}.



Určete limitu \lim\limits_{n\to\infty}n(\sqrt{n^2+1}-n).



Test

Určete limitu \lim\limits_{x\to-1}\ \frac{x^2+x-2}{x^2-1}


Hlavolam

Jak to tak bývá, zlý čaroděj uvěznil mudrce. A kdo by to čekal, dal mu šanci se zachránit, pokud splní úkol. Na stole je kulatý tác, kterým lze volně otáčet, a na něm čtyři mince do čtverce. Mudrc má zavázané oči, nic nevidí. Jeho úkolem je otočit mince tak, že bude na všech panna. Nemá to však jednoduché. Otočí jistý počet mincí, pak černokněžník tácem zatočí. Opět otočí nějaké mince a znovu se tácem náhodně otočí. Toto se opakuje, dokud nejsou všechny mince správně. V tu chvíli je hra zlotřilým čarodějem ukončena. Mudrc nepozná podle hmatu pannu od orla. Musí vždy mince nechat na svém místě, ve čtverci. A hlavně - kvůli zlé magii - má strašnou smůlu a pokud bude spoléhat jen na náhodu, tak úkol nikdy nesplní.

Kopírovat obsah stránek, čí s ním jinak manipulovat bez svolení jeho autora, je zakázáno.

ISSN: 1803-7615 © maths.cz 2008-2025 © content: Matematika pro každého, Jakub Vojáček