Aritmetická posloupnost a aritmetická řada

Vydáno dne 24. 1. 2011 v kategorii SŠ Matematika; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 70 470

Vysvětlíme si pojem aritmetická posloupnost a aritmetická řada a naučíme se s nimi pracovat.

Aritmetická posloupnost je posloupnost čísel, ve které je mezi každým členem a jeho následovníkem nenulový konstantní rozdíl. Tento rozdíl značíme obvykle a nazýváme ho diference.

7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 53, 70, ...

Předchozí posloupnost je aritmetická, protože rozdíl dvou sousedících členů je d=7 .

Předpis pro aritmetickou posloupnost by tedy mohl vypadat takto:

a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, ..., a+nd

Rekurentní zadání: $a_n=a_{n-1}+d$
Vyjádření n-tého členu: $a_n=a_1+(n-1)\cdot d$
Vyjádření s-tého členu pomocí r-tého:

1) Určete pátý člen posloupnosti, jestliže $a_1=0,\ d=2$ .

V tomto příkladě nejde o nic jiného než o pouhé dosazení do vzorce pro vyjádření n-tého členu.

2) Určete a_5 , jestliže víte, že $a_{10}=10$ a $a_{13}=16$

Aritmetická posloupnost

Pokud není aritmetická posloupnost konstantní (tedy $d\ne0$ ), je aritmetická posloupnost vždy divergentní.

Pro d > 0: Posloupnost je zdola omezená, rostoucí a $\lim\limits_{n\to\infty}\ a_n=\infty$
Pro d < 0: Posloupnost je shora omezená, klesající a $\lim\limits_{n\to\infty}\ a_n=-\infty$

Speciální případ je d = 0. V takovém případě je aritmetická posloupnost omezená a konstantní

Aritmetická řada

Součet členů aritmetické posloupnosti se označuje jako aritmetická řada.

Pro aritmetickou řadu platí podobné vlastnosti jako pro aritmetickou posloupnost. Pro $d\ne0,\ n\to\pm\infty$ je aritmetická řada divergentní.

My ale ovšem můžeme chtít spočítat součet prvních n-členů aritmetické posloupnosti.

3) Určete $S_{15}$ , platí-li $a_1=10,\ d=2$ .

Stačí najít $a_{15}$ a můžeme dosadit do předchozího vzorečku.

Můžeme dosazovat:

4) Stavíte střechu a víte, že v první řadě bude jedna taška, v každé další bude o jednu víc. Celkem bude potřeba 10 řad. Kolik bude potřeba tašek?

Aritmetická posloupnost a aritmetická řada

Aritmetická posloupnost

Aritmetická řada

Test

Hlavolam