Aritmetická posloupnost a aritmetická řada

Aritmetická posloupnost je posloupnost čísel, ve které je mezi každým členem a jeho následovníkem nenulový konstantní rozdíl. Tento rozdíl značíme obvykle `d` a nazýváme ho diference.

7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 53, 70, ...

Předchozí posloupnost je aritmetická, protože rozdíl dvou sousedících členů je `d=7`.

Předpis pro aritmetickou posloupnost by tedy mohl vypadat takto:

a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, ..., a+nd

• Rekurentní zadání: `a_n=a_{n-1}+d`
• Vyjádření n-tého členu: `a_n=a_1+(n-1)\cdot d`
• Vyjádření s-tého členu pomocí r-tého: `a_s=a_r+(s-r)d`

1) Určete pátý člen posloupnosti, jestliže `a_1=0,\ d=2`.

V tomto příkladě nejde o nic jiného než o pouhé dosazení do vzorce pro vyjádření n-tého členu.

`a_n=a_1+(n-1)\cdot d\\a_5=a_1+(5-1)\cdot d\\a_5=0+4\cdot2\\\boxed{a_5=8}`

`\begin{array}{rcl}a_{13}&=&a_{10}+(s-r)d\\16&=&10+3\cdot d\\d&=&2\end{array}`

`\begin{array}{rcl}a_s&=&a_r+(s-r)d\\a_{5}&=&a_{10}+(5-10)2\\a_5&=&0\end{array}`

Aritmetická posloupnost

Pokud není aritmetická posloupnost konstantní (tedy `d\ne0`), je aritmetická posloupnost vždy divergentní.

• Pro d > 0: Posloupnost je zdola omezená, rostoucí a `\lim\limits_{n\to\infty}\ a_n=\infty`
• Pro d < 0: Posloupnost je shora omezená, klesající a `\lim\limits_{n\to\infty}\ a_n=-\infty`

Speciální případ je d = 0. V takovém případě je aritmetická posloupnost omezená a konstantní

Aritmetická řada

Součet členů aritmetické posloupnosti se označuje jako aritmetická řada.

Pro aritmetickou řadu platí podobné vlastnosti jako pro aritmetickou posloupnost. Pro `d\ne0,\ n\to\pm\infty` je aritmetická řada divergentní.

My ale ovšem můžeme chtít spočítat součet prvních n-členů aritmetické posloupnosti.

`S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)`

3) Určete `S_{15}`, platí-li `a_1=10,\ d=2`.

Stačí najít `a_{15}` a můžeme dosadit do předchozího vzorečku.

`a_{15}=a_1+(n-1)d\\a_{15}=10+14\cdot2\\a_{15}=38`

Můžeme dosazovat:

`\begin{array}{rcl}S_n&=&\frac{n}{2}(a_1+a_n)\\S_{15}&=&\frac{n}{2}(a_1+a_{15})\\S_{15}&=&\frac{15}{2}(10+38)=360\end{array}`

`a_{10}=a_1+(n-1)d\\a_{10}=10\\S_{10}=\frac{n}{2}(a_1+a_n)\\S_{10}=55`