Aritmetická posloupnost je posloupnost, ve které každý další člen dostaneme tak, že k předchozímu členu přičteme pořád stejné číslo `d`. Tomu číslu se říká diference. Pro n-tý člen a pro součet prvních n členů (aritmetickou řadu) platí:

`\begin{gathered}a_n=a_1+(n-1)\cdot d\\[10pt]\displaystyle s_n=\dfrac{n}{2}\cdot(a_1+a_n)\end{gathered}`

Například v posloupnosti 5, 8, 11, 14, 17, ... je první člen `a_1=5` a diference `d=3`, protože každý člen je o 3 větší než předchozí. Její n-tý člen je `a_n=5+(n-1)\cdot 3=3n+2` a součet prvních pěti členů je `s_5=\frac{5}{2}\cdot(5+17)=55`. Zkouška sečtením: `5+8+11+14+17=55`.

Aritmetická řada je součet členů aritmetické posloupnosti. Ve školních úlohách se tím skoro vždy myslí součet prvních n členů, protože nekonečně mnoho členů dává konečný součet jen u posloupnosti ze samých nul.

Aritmetickou posloupnost nepleťte s geometrickou. V aritmetické posloupnosti se k předchozímu členu pořád přičítá stejné číslo, v geometrické se jím násobí. Ze začátku 1, 3 tedy vznikne aritmeticky 1, 3, 5, 7, 9, ale geometricky 1, 3, 9, 27, 81.

Co je aritmetická posloupnost a diference

Diference je rozdíl dvou sousedních členů, vždy toho pozdějšího minus dřívějšího:

`d=a_{n+1}-a_n`

Posloupnost je aritmetická, právě když vyjde tento rozdíl pro všechny dvojice sousedních členů stejně. Pár ukázek:

  • 2, 9, 16, 23, ... je aritmetická s diferencí `d=7`.
  • 20, 16, 12, 8, ... je aritmetická s diferencí `d=-4`. Záporná diference znamená, že členy klesají.
  • 4, 4, 4, 4, ... je aritmetická s diferencí `d=0`. Je to konstantní posloupnost.
  • 1, 4, 9, 16, ... aritmetická není: rozdíly jsou 3, 5, 7, ...

Diference může být libovolné reálné číslo, i záporné, nula nebo zlomek. Posloupnost 1, `\frac{3}{2}`, 2, `\frac{5}{2}`, ... má `d=\frac{1}{2}`.

Odkud se bere název: každý člen (kromě prvního) je aritmetickým průměrem svých sousedů, `a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}`. Třeba v posloupnosti 2, 9, 16 je `9=\frac{2+16}{2}`. Když si nejste jistí, jaké pravidlo řada čísel má, vložte ji do kalkulačky doplnění posloupnosti, která pozná aritmetickou, geometrickou i jiné posloupnosti a dopočítá další členy.

Vzorce aritmetické posloupnosti

Všechny vzorce na jednom místě:

co počítámevzorec
další člen (rekurentně)`a_{n+1}=a_n+d`
n-tý člen`a_n=a_1+(n-1)\cdot d`
člen ze známého členu`a_s=a_r+(s-r)\cdot d`
diference ze dvou členů`d=\dfrac{a_s-a_r}{s-r}`
pořadí členu`n=\dfrac{a_n-a_1}{d}+1`
součet prvních n členů`s_n=\dfrac{n}{2}\cdot(a_1+a_n)`
součet bez `a_n``s_n=\dfrac{n}{2}\cdot\bigl(2a_1+(n-1)d\bigr)`

Součet se v některých učebnicích a kalkulačkách značí velkým `S_n`. Je to totéž.

N-tý člen aritmetické posloupnosti

Vzorec vznikne tím, že vypíšeme první členy: `a_2=a_1+d`, `a_3=a_1+2d`, `a_4=a_1+3d`. Z prvního členu k n-tému vede `n-1` kroků, a proto se diference přičte `(n-1)`-krát, ne `n`-krát.

Po roznásobení je `a_n=d\cdot n+(a_1-d)`, tedy lineární funkce proměnné `n`, ze které bereme jen hodnoty v přirozených číslech. Proto body grafu leží na přímce a diference je její směrnice:

612180123456 a1 = 2, d = 3: roste 2468100123456 a1 = 10, d = −2: klesá

Příklad 1

Aritmetická posloupnost má `a_1=3` a `d=4`. Určete `a_{12}`.

`\begin{aligned}a_{12}&=a_1+11\cdot d\\&=3+11\cdot 4\\&=47\end{aligned}`

Kontrola: posloupnost začíná 3, 7, 11, 15, ... a každý člen je o jedna menší než násobek čtyř, `a_n=4n-1`. Pro `n=12` je to `48-1=47`, sedí. Stejný výpočet i s výpisem členů ukáže kalkulačka n-tého členu aritmetické posloupnosti.

Příklad 2

V aritmetické posloupnosti je `a_{10}=10` a `a_{13}=16`. Určete diferenci, první člen a `a_5`.

Z desátého členu ke třináctému jsou tři kroky, takže `a_{13}=a_{10}+3d`:

`\begin{gathered}16=10+3d\\[4pt]d=2\end{gathered}`

Od prvního členu k desátému je devět kroků, takže `a_1=a_{10}-9d=10-18=-8` a pátý člen je `a_5=-8+4\cdot 2=0`. Zkouška: `a_{13}=-8+12\cdot 2=16`, sedí. Tenhle typ úlohy počítá kalkulačka aritmetické posloupnosti ze dvou členů.

Příklad 3

Kolikátým členem posloupnosti 7, 14, 21, ... je číslo 98? A je v ní číslo 100?

Dosadíme do vzorce pro n-tý člen a řešíme lineární rovnici pro `n`:

`\begin{gathered}7+(n-1)\cdot 7=98\\[4pt]n-1=13\\[4pt]n=14\end{gathered}`

Číslo 98 je čtrnáctý člen. Pro 100 by vyšlo `n-1=\frac{93}{7}`, což není celé číslo, takže 100 v posloupnosti není. Leží mezi `a_{14}=98` a `a_{15}=105`. Obojí ověří kalkulačka kolikátý člen.

Příklad 4

Vložte mezi čísla 2 a 26 pět čísel tak, aby spolu se zadanými tvořila aritmetickou posloupnost.

Celkem bude posloupnost mít sedm členů, `a_1=2` a `a_7=26`. Mezi nimi je šest kroků, ne pět:

`\displaystyle d=\dfrac{26-2}{6}=4`

Posloupnost je 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26. Poslední člen vyšel přesně 26, to je zároveň zkouška. Vkládání aritmetických i geometrických členů umí kalkulačka vložení členů mezi dvě čísla.

Jak se posloupnost chová podle diference

O tom, jestli posloupnost roste, nebo klesá, rozhoduje jen znaménko diference:

  • `d\gt 0`: posloupnost je rostoucí a zdola omezená (nejmenší je `a_1`). Shora omezená není a `\lim\limits_{n\to\infty}a_n=+\infty`.
  • `d\lt 0`: posloupnost je klesající a shora omezená (největší je `a_1`). Zdola omezená není a `\lim\limits_{n\to\infty}a_n=-\infty`.
  • `d=0`: posloupnost je konstantní, a tedy omezená. Všechny členy se rovnají `a_1`.

Aritmetická posloupnost s nenulovou diferencí tedy nikdy nemá vlastní limitu: její členy rostou nebo klesají pořád o stejný kus a nikde se nezastaví. Proto také nekonečná aritmetická řada nemá konečný součet, s jedinou výjimkou posloupnosti 0, 0, 0, ... Víc o limitách je v článku Limity funkcí.

Součet aritmetické posloupnosti (aritmetická řada)

Podle známé historky dostal malý Carl Friedrich Gauss ve škole za úkol sečíst čísla od 1 do 100. Místo sčítání jedno po druhém si všiml, že první a poslední číslo dávají `1+100=101`, druhé a předposlední `2+99=101`, a tak dál. Takových dvojic je 50, a proto je součet `50\cdot 101=5050`.

Stejný trik funguje pro každou aritmetickou posloupnost, protože se dvojice od krajů posouvají stejně: jeden člen o `d` vzroste, druhý o `d` klesne. Na obrázku je součet `2+5+8+11` jako modré sloupce a nad nimi tentýž součet pozpátku. Každý sloupec má dohromady `2+11=13` čtverečků, celý obdélník `4\cdot 13=52`, a hledaný součet je polovina, tedy 26:

2 5 8 11 13

Obecně napíšeme součet dopředu a pozpátku pod sebe a sečteme oba řádky:

`\begin{aligned}s_n&=a_1+a_2+\dots+a_n\\s_n&=a_n+a_{n-1}+\dots+a_1\\2s_n&=n\cdot(a_1+a_n)\end{aligned}`

Odtud `s_n=\frac{n}{2}\cdot(a_1+a_n)`. Slovy: počet členů krát průměr prvního a posledního členu. Když poslední člen neznáme, dosadíme za něj `a_n=a_1+(n-1)d` a dostaneme druhý tvar `s_n=\frac{n}{2}\cdot\bigl(2a_1+(n-1)d\bigr)`.

Příklad 5

Určete součet prvních 15 členů aritmetické posloupnosti, ve které je `a_1=10` a `d=2`.

Nejdřív poslední sčítaný člen, pak součet:

`\begin{gathered}a_{15}=10+14\cdot 2=38\\[10pt]\displaystyle s_{15}=\dfrac{15}{2}\cdot(10+38)=360\end{gathered}`

Kontrola druhým vzorcem: `\frac{15}{2}\cdot(20+28)=360`. Tabulku s průběžnými součty ukáže kalkulačka součtu aritmetické posloupnosti.

Příklad 6

Určete součet všech lichých čísel od 1 do 99.

Lichá čísla tvoří posloupnost s `a_1=1` a `d=2`. Číslo 99 je její padesátý člen, protože `1+49\cdot 2=99`. Součet je

`\displaystyle s_{50}=\dfrac{50}{2}\cdot(1+99)=2500`

Vyšlo `50^2`. To není náhoda: součet prvních n lichých čísel je vždy `n^2`, třeba `1+3+5=9`.

Příklad 7

Určete součet všech dvojciferných čísel dělitelných sedmi.

Nejmenší je 14, největší 98 a jdou po sedmi. Počet členů spočítáme z pořadí posledního: `n=\frac{98-14}{7}+1=13`. Pozor na tu jedničku navíc, rozdíl `98-14` obsahuje 12 kroků, ale členů je o jeden víc.

`\displaystyle s_{13}=\dfrac{13}{2}\cdot(14+98)=728`

Příklad 8

Kolik členů posloupnosti 3, 7, 11, 15, ... musíme sečíst, aby součet byl 210?

Neznáme `n`, takže použijeme druhý tvar součtu s `a_1=3` a `d=4`:

`\begin{gathered}\displaystyle \frac{n}{2}\cdot\bigl(6+(n-1)\cdot 4\bigr)=210\\[10pt]n\cdot(2n+1)=210\\[10pt]2n^2+n-210=0\end{gathered}`

Je to kvadratická rovnice s diskriminantem `D=1+1680=1681=41^2`:

`\displaystyle n=\dfrac{-1\pm 41}{4}`

Kořeny jsou 10 a `-\frac{21}{2}`. Počet členů musí být přirozené číslo, takže platí jen `n=10`. Zkouška: `a_{10}=3+9\cdot 4=39` a `s_{10}=5\cdot(3+39)=210`.

Slovní úlohy na aritmetickou posloupnost

Aritmetická posloupnost se skrývá všude, kde něco každý krok přibývá nebo ubývá o stejný kus: řady sedadel, schody, splátky, které se každý měsíc zvyšují o stejnou částku.

Příklad 9: hlediště

V první řadě hlediště je 20 sedadel a v každé další řadě o 2 víc. Řad je 15. Kolik sedadel je v poslední řadě a kolik v celém hledišti?

`\begin{gathered}a_{15}=20+14\cdot 2=48\\[10pt]\displaystyle s_{15}=\dfrac{15}{2}\cdot(20+48)=510\end{gathered}`

V poslední řadě je 48 sedadel, v hledišti 510. Rozumnost výsledku: průměrná řada má `\frac{20+48}{2}=34` sedadel a `15\cdot 34=510`.

Příklad 10: volný pád

Kámen padá volným pádem. Počítejte s `g\doteq 10\ \mathrm{m/s^2}`: za první sekundu urazí 5 m a za každou další sekundu o 10 m víc než za tu předchozí. Kolik metrů urazí během páté sekundy a kolik za prvních pět sekund dohromady?

Dráhy v jednotlivých sekundách tvoří aritmetickou posloupnost s `a_1=5` a `d=10`:

`\begin{gathered}a_5=5+4\cdot 10=45\ \mathrm{m}\\[10pt]\displaystyle s_5=\dfrac{5}{2}\cdot(5+45)=125\ \mathrm{m}\end{gathered}`

Kontrola fyzikou: dráha volného pádu je `h=\frac{1}{2}gt^2=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 5^2=125\ \mathrm{m}`, obojí souhlasí. S přesnějším `g=9{,}81\ \mathrm{m/s^2}` počítá kalkulačka volného pádu.

Časté chyby

  • `n` místo `n-1`. V příkladu 1 by vyšlo `a_{12}=3+12\cdot 4=51` místo 47, což je už třináctý člen. Kontrola: dosaďte `n=1`, musí vyjít `a_1`.
  • Počet členů bez jedničky navíc. Od 14 do 98 po sedmi je `\frac{98-14}{7}=12` kroků, ale 13 čísel, jako u plotu, kde je sloupků o jeden víc než polí. Stejně tak vložení pěti členů v příkladu 4 dává šest kroků.
  • Obrácená diference. `d` je pozdější člen minus dřívější. U posloupnosti 20, 16, 12 je `d=-4`, ne 4. Kontrola: `20+d` musí dát 16.
  • Do součtu jiný poslední člen. Ve vzorci `s_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)` je `a_n` poslední sčítaný člen. Kdo do `s_{15}` dosadí `a_{16}`, dostane špatný výsledek.
  • Záporný kořen jako počet členů. Když se `n` hledá kvadratickou rovnicí jako v příkladu 8, platí jen přirozený kořen. Když žádný kořen přirozený není, takový součet posloupnost nemá.
  • Posloupnost a řada. Posloupnost je seznam čísel, řada je jejich součet. „Součet aritmetické řady“ a „součet aritmetické posloupnosti“ se ve školních úlohách myslí totéž, součet prvních n členů.

Příklady k procvičení

1. Aritmetická posloupnost má `a_1=-5` a `d=3`. Napište prvních pět členů a spočítejte `a_{20}`.

2. V aritmetické posloupnosti je `a_3=11` a `a_8=31`. Určete `a_1`, `d` a součet prvních deseti členů.

3. Určete součet všech trojciferných čísel dělitelných pěti.

4. Tři čísla tvoří aritmetickou posloupnost. Jejich součet je 27 a součin 585. Určete je.

5. Délky stran pravoúhlého trojúhelníku tvoří aritmetickou posloupnost a obvod je 36 cm. Určete délky stran.

6. Petra si v lednu odloží 200 Kč a každý další měsíc o 50 Kč víc než v tom předchozím. Kolik odloží v prosinci a kolik bude mít za celý rok?

Rychlé příklady na n-tý člen s okamžitou kontrolou najdete v procvičování posloupností.

Kam dál