Co logaritmus vlastně je

Logaritmus je exponent. Zápis log2 32 se ptá, na kolikátou se musí umocnit dvojka, aby vyšlo 32, a odpověď je 5, protože 25 = 32. Všechno ostatní z toho plyne: logaritmus jedničky je nula při každém základu, logaritmus základu samotného je jedna a logaritmus záporného čísla ani nuly neexistuje, protože kladný základ umocněný na cokoli dá zase kladné číslo.

Log bez napsaného základu je dekadický, se základem 10, a ln je přirozený, se základem e ≈ 2,71828. Jen tyhle dva má kalkulačka na tlačítku. Pro jiný základ se použije vzorec pro změnu základu, loga x = log x / log a, a nezáleží na tom, jestli se dělí dekadickými, nebo přirozenými logaritmy.

Přesně, nebo přibližně

Logaritmus vyjde přesně jen tehdy, když se obě čísla dají zapsat jako mocniny téhož základu. U log4 8 je to dvojka: 4 = 2² a 8 = 2³, takže se hledá y, pro které 22y = 23, a z rovnosti exponentů vyjde y = 3/2. Když to nejde, třeba u log3 10, je výsledek iracionální a smí se jen zaokrouhlit. Kalkulačky výše to rozlišují přesně, rozkladem na prvočísla, takže 3/2 napíšou jako 3/2 a ne jako 1,5000001.

Pravidla, která platí, a jedno, které ne

Logaritmus součinu je součet logaritmů, logaritmus podílu je jejich rozdíl a exponent se smí přesunout před logaritmus: loga (x · y) = loga x + loga y a loga xk = k · loga x. Nejčastější chyba je použít to samé na součet. Log (x + y) se rozložit nedá, a log 2 + log 3 není log 5, ale log 6.

Exponenciální rovnice

Základní postup je převést obě strany na stejný základ a porovnat exponenty. V rovnici 9x - 1 = 1/27 jsou oba 3: 9 = 3² a 1/27 = 3-3, takže 2(x - 1) = -3 a x = -1/2. Když se pravá strana na mocninu základu převést nedá, rovnice se zlogaritmuje a výsledek se zaokrouhlí.

Rovnice, kde je vedle sebe 4x i 2x, se řeší substitucí. Protože 4x = (2x)², stačí označit t = 2x a z rovnice je kvadratická. Kořen t, který vyjde záporný nebo nulový, se zahodí: 2x je vždy kladné.

Logaritmické rovnice a podmínky

U logaritmické rovnice se nejdřív píšou podmínky, protože pod logaritmem musí být kladné číslo. Rovnice log x + log (x - 3) = 1 po spojení logaritmů přejde na x(x - 3) = 10 a ta má kořeny 5 a -2. Jenže pro -2 by pod oběma logaritmy bylo záporné číslo, takže řešením je jen x = 5. Úprava na jeden logaritmus totiž rovnici rozšíří a kořen navíc se pozná jedině dosazením do podmínek.

Definiční obor logaritmické funkce

Stejná podmínka rozhoduje o definičním oboru. Funkce y = log (x² - x - 6) existuje jen tam, kde je x² - x - 6 > 0. Kořeny trojčlenu jsou -2 a 3, parabola je otevřená nahoru, takže kladná je vně kořenů a D(f) = (-∞; -2) ∪ (3; ∞). Kořeny samotné do definičního oboru nepatří, v nich by se logaritmovala nula.

U zlomku pod logaritmem, třeba log ((x + 1) / (x - 2)), nestačí chtít kladný čitatel i jmenovatel. Zlomek je kladný i tehdy, když jsou oba záporné, a proto se kreslí tabulka znamének: nulové body -1 a 2 rozdělí osu na tři intervaly a kladný je zlomek na obou krajních, tedy D(f) = (-∞; -1) ∪ (2; ∞).

Výklad s dalšími řešenými příklady je v článku exponenciální a logaritmické rovnice. Hodnoty logaritmů z hlavy si můžete vyzkoušet v procvičování logaritmů a rovnice se společným základem v příkladech na exponenciální rovnice.