Prvočíslo, číslo složené a ta nešťastná jednička

Prvočíslo je přirozené číslo větší než 1, které má právě dva dělitele — jedničku a sebe sama. Číslo, které má dělitelů víc, je složené. Jednička není ani jedno: má jediného dělitele, takže definici prvočísla nesplňuje. Není to hnidopišství — kdyby jednička mezi prvočísla patřila, přestal by být rozklad na prvočinitele jednoznačný, protože by šlo do každého součinu přidat libovolně mnoho jedniček.

Nejmenší prvočíslo je 2 a je to jediné sudé prvočíslo. Každé další sudé číslo je dělitelné dvěma, a má tedy aspoň tři dělitele.

Proč stačí dělit jen do odmocniny

Při ověřování prvočíselnosti se zkouší dělitelé jen do odmocniny ze zadaného čísla. Důvod je jednoduchý: dělitelé chodí v párech. Když n dělí číslo d, dělí ho i n : d, a z té dvojice je vždy jedno číslo menší nebo rovno odmocnině. Kdyby tedy existoval dělitel nad odmocninou, musel by k němu existovat partner pod ní — a toho bychom už našli.

NSD a NSN, a jak spolu souvisejí

Největší společný dělitel (NSD) je největší číslo, které dělí obě zadaná čísla. Nejmenší společný násobek (NSN) je naopak nejmenší číslo, které je násobkem obou. Váže je vztah NSD(a, b) · NSN(a, b) = a · b, díky kterému se NSN počítá z NSD a nemusí se hledat zvlášť.

NSD se nejrychleji hledá Euklidovým algoritmem: větší číslo se dělí menším se zbytkem, pak se menší dělí tím zbytkem, a tak pořád dokola, dokud zbytek nevyjde nula. Poslední nenulový zbytek je NSD. V praxi to trvá pár řádků i pro čísla, u kterých by hledání dělitelů zabralo věčnost.

K čemu to je: NSD se krátí zlomky, NSN se hledá společný jmenovatel. Proto je tu krácení zlomků jako samostatná kalkulačka — je to NSD v přestrojení.

Kritéria dělitelnosti zpaměti

Kritéria se dívají na číslice, ne na celé číslo, a proto se dají počítat z hlavy. Dvěma je dělitelné číslo končící sudou číslicí, pěti to, které končí nulou nebo pětkou, desetinou to, které končí nulou. Třemi a devíti je dělitelné číslo, jehož ciferný součet je dělitelný třemi, respektive devíti. Čtyřmi se pozná podle posledního dvojčíslí, osmi podle posledního trojčíslí.

Zbylá kritéria se skládají z těchto: šesti je dělitelné to, co je dělitelné dvěma i třemi zároveň, dvanácti to, co je dělitelné třemi i čtyřmi. Pozor na častý omyl — nestačí, že je číslo dělitelné dvěma a šesti, aby bylo dělitelné dvanácti; ta dvě kritéria se překrývají.

Slovensky

Slovenské názvosloví se od českého v tomhle tématu liší víc než jinde, tak pro jistotu: deliteľnosť, deliteľ, násobok, najväčší spoločný deliteľ (NSD), najmenší spoločný násobok (NSN), zvyšok po delení, zložené číslo, krátenie zlomkov. Počítá se stejně.

Kde si o tom přečíst víc

K tématu se váže několik článků na tomto webu — prvočíslo, největší společný dělitel a zlomky. Počítání si pak můžete vyzkoušet v procvičování NSD a NSN.