Jedna přímka, čtyři zápisy

Táž přímka se dá zapsat čtyřmi způsoby a zadání skoro vždy dá jeden z nich a chce jiný. Proto kalkulačky výše vypisují všechny najednou.

  • Obecná rovnice ax + by + c = 0. Jediný tvar, který nikdy neselže, a koeficienty u x a y v něm rovnou tvoří normálový vektor (a; b).
  • Směrnicový tvar y = kx + q. Číslo k je směrnice, tedy tangens úhlu s osou x, a q je průsečík s osou y. Svislá přímka tenhle tvar nemá, protože y z ní nejde osamostatnit.
  • Úsekový tvar x/p + y/q = 1. Čísla p a q jsou přímo úseky na osách. Přímka procházející počátkem ho nemá, ani ta, která je rovnoběžná s některou osou.
  • Parametrické vyjádření x = x₀ + s₁t, y = y₀ + s₂t. Funguje vždycky a jako jediné se dá beze změny přenést do prostoru.

Normálový a směrový vektor

Směrový vektor míří po přímce, normálový kolmo na ni. V rovině je mezi nimi jednoduchý vztah: prohodí se souřadnice a jedné se změní znaménko. Ze směrového (s₁; s₂) je tedy normálový (-s₂; s₁).

Právě proto se obecná rovnice sestavuje tak snadno. Ze dvou bodů se spočítá směrový vektor jako jejich rozdíl, otočí se na normálový, ten se rovnou dosadí jako a a b, a jediné, co zbývá, je dopočítat c dosazením jednoho z bodů.

Kolmice a rovnoběžka

Rovnoběžka má tutéž normálu jako původní přímka a liší se jen absolutním členem. Kolmice má normálu otočenou o 90°. Obojí tedy znamená opsat nebo prohodit dvě čísla a dopočítat to třetí ze zadaného bodu.

Kontrola jde i přes směrnice: součin směrnic dvou kolmých přímek je vždy -1. Neplatí to jen tehdy, když je jedna z nich svislá, protože ta žádnou směrnici nemá.

Vzdálenost bodu od přímky

Vzorec je krátký: bod se dosadí do levé strany obecné rovnice a výsledek se vydělí velikostí normálového vektoru, tedy √(a² + b²). Absolutní hodnota v čitateli je nutná, vzdálenost záporná být nemůže.

Jediná podmínka je, že rovnice musí být v obecném tvaru. Se směrnicovým zápisem je nejdřív potřeba převést y = kx + q na kx - y + q = 0.

Kružnice: doplnění na čtverec

Rovnice x² + y² + Dx + Ey + F = 0 nic neprozrazuje, dokud se nedoplní na čtverec. Polovina koeficientu u x se umocní a přičte i odečte, totéž u y, a ze vzniklých závorek se přečte střed. Zbytek na pravé straně je r².

Pozor na znaménka: ve středovém tvaru se souřadnice středu odečítá, takže (x - 3)² znamená střed v x = 3. A když vyjde pravá strana záporná, žádná kružnice neexistuje, protože součet dvou druhých mocnin záporný být nemůže.

Asymptoty lineární lomené funkce

Funkce y = (ax + b)/(cx + d) má právě dvě asymptoty a obě se dají přečíst z koeficientů. Svislá je tam, kde je jmenovatel nulový, tedy x = -d/c. Vodorovná je limita v nekonečnu: pro velká x rozhodují jen členy s x, takže se zlomek chová jako ax/cx a asymptota je y = a/c.

Šikmá asymptota se tu neobjeví nikdy. Vzniká teprve tehdy, když je stupeň čitatele právě o jedna větší než stupeň jmenovatele, což u lineární lomené funkce nastat nemůže.

Elipsa a hyperbola

Elipsa je množina bodů, které mají od dvou pevných bodů, ohnisek, stálý součet vzdáleností 2a. Hyperbola má místo součtu stálý rozdíl vzdáleností, opět 2a. Obě mají střed, hlavní poloosu a a vedlejší poloosu b, a ve středovém tvaru se liší jen znaménkem mezi zlomky: (x - m)²/a² + (y - n)²/b² = 1 je elipsa, (x - m)²/a² - (y - n)²/b² = 1 hyperbola.

Nejčastější chyba je ve výpočtu excentricity, tedy vzdálenosti ohniska od středu. U elipsy se poloosy odčítají, e = √(a² - b²), protože a je přepona trojúhelníku střed - ohnisko - vedlejší vrchol. U hyperboly se sčítají, e = √(a² + b²), a ohniska tak leží dál od středu než vrcholy. Hyperbola má navíc dvě asymptoty, přímky procházející středem se směrnicemi ±b/a, ke kterým se obě větve blíží.

Která osa je hlavní, poznáte ze středového tvaru: u elipsy ta, pod jejíž proměnnou je větší jmenovatel, u hyperboly ta, jejíž člen je kladný.

Kuželosečka z obecné rovnice

Rovnice Ax² + By² + Dx + Ey + F = 0 se převádí stejně jako u kružnice: vytknou se koeficienty u druhých mocnin, závorky se doplní na čtverec a celá rovnice se vydělí pravou stranou. O tom, co vyjde, rozhodují znaménka A a B. Stejná znaménka dávají elipsu, a při A = B kružnici, opačná hyperbolu. Když jedna z druhých mocnin chybí, je to parabola, a z vrcholového tvaru (y - n)² = 2p(x - m) se přečte vrchol, parametr p, ohnisko i řídicí přímka.

Ne každá taková rovnice nějakou křivku popisuje. Když po doplnění na čtverec vyjde vpravo nula, zbude jediný bod nebo dvojice přímek. A když mají A a B stejné znaménko a vpravo vyjde číslo opačného znaménka, nesplní rovnici žádný bod.