Goniometrické rovnice

Vydáno dne 22. 11. 2008 v kategorii Rovnice; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 39 125

V tomto článku se pokusím čtenáře zasvětit do problematiky goniometrických rovnic.

Tento článek má dvouslovný nadpis. Obě slova by mohla být pro některé čtenáře nová. Druhé slovo, rovnice je vysvětlené v článku Rovnice. Goniometrie je část matematiky zabývající se goniometrickými, nebo chcete-li trigonometrickými funkcemi. O tomto tématu se dozvíte více v článku Úvod do Goniometrie/Trigonometrie.

Jedna lehká goniometrická rovnice by mohla vypadat takto: sin x = 0. Tato rovnice je lehká, na jedné straně máme goniometrickou funkci a na druhé číslo. Nyní bychom mohli vzít do ruky kalkulačku a naťukat arcsin 1. Ale kalkulačka většinou vrací iracionální výsledky. Proto by bylo lepší vzít do ruky jednotkovou kružnici (přejít na článek Jednotková kružnice) a podívat se, kde funkce sinus nabývá hodnoty 0. První nalezená hodnota je 0°. Ale většinou budou mít tyto rovnice alespoň dva výsledky a proto se pokusíme nalézt další řešení. Toto řešení je 180°. Ale pozor, je třeba si uvědomit, že kdybychom vzali úhel 360°, sinus bude také roven jedné. A to stejné pro další úhly jako 440°, 720°,.... Prostě na další řešení narazíme poté, co obkroužíme jednotkovou kružnici. Výsledek proto musíme zapsat ve tvaru 0+360*n a 180+360*n. V některých případech ale budeme hledat pouze hodnoty v intervalu <0°, 360°>, popř. v intervalu <0, 2π>. V takovém případě by stačila odpověď x=(0, 180).

Přestože to v tomto článku není, je doporučeno získané výsledky kontrolovat zkouškou!

Podíváme se na další příklad. Zkusíme vyřešit rovnici $2\sin x-\sqrt{3}$ . Nejprve se budeme snažit převést rovnici do takové tvaru, abychom na jedné straně měli goniometrickou funkci a na druhé straně nějaké číslo. Přičteme proto k celé rovnici $\sqrt{3}$ a poté celou rovnici vydělíme dvěma. Získáme tedy rovnici $sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Nyní opět přijde na řadu jednotková kružnice. A tentokrát zkusíme řešení najít v radiánech místo ve stupních. Funkce sinus nabývá hodnoty $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ve dvou bodech → $\frac{\pi}{3}$ a $\frac{2\pi}{3}$ . Nesmíme zapomenout přidat na konec +2kπ. Kompletní řešení tedy vypadá $x=\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi; \frac{2\pi}{3}+2k\pi\right)$

Toto byly lehké příklady. Problémy nastanou, pokud jsou v rovnici goniometrické rovnice ve vyšší mocnině. Vyřešte rovnici $\cos x*\cos^2 x=0$ v intervalu od nuly do 360 stupňů. Nejlepším možným postupem je vytknout cos x. Z rovnice se stane $\cos x*(1+\cos x)$ a to už není tak těžké vypočítat. Aby se levá strana rovna nule, musí se jeden ze členů levé strany rovnat nule. Sestavíme tedy dvě rovnice: $\cos x=0$ a $1+\cos x=0$ . Tyto rovnice jsou podobně předchozím příkladům a jistě si s nimi hravě poradíte. Řešením je 90°, 270°, 180°.

Vyřešte rovnici $3\tan^2 x+4\tan x-4=0$ v radiánech. Tentokrát budeme muset zapátrat v hlavě a vzpomenout si na výpočet kvadratické rovnice.

Tyto hodnoty na jednotkové kružnici nenaleznete a proto se obrátíme na kalkulačku. Pro první výsledek získáme x=0.59+kπ a pro druhý výsledek získáme x=-1.10+kπ. Někteří čtenáři se asi diví, proč přičítáme pouze kπ a ne 2kπ. Důvod je jednoduchý → záleží na velikosti periody dané funkce a funkce tangens má periodu rovnu jedné.

V některých případech budeme muset při řešení goniometrických rovnic sáhnout ke znalosti goniometrických vzorce (přejít na článek Goniometrické vzorce). Vyřešte rovnici $\sin 2x+\cos x=0$ . Řešení této rovnice je založeno na tom, že $\sin 2x = 2\sin x*\cos x$ . Pokud uděláme tuto změnu, získáme rovnici $2\sin x*\cos x+\cos x=0$ . Nyní stačí postupovat stejně jako v předchozím příkladě. Vytkneme cos x a je to: $\cos x*(2\sin x+1)=0$ . Rovnice se opět rozdělí na dvě dílčí rovnice, jejichž řešení je jednoduché a uvedu proto pouze výsledek: $x=\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi; \frac{3\pi}{2}+2k\pi;\frac{7\pi}{6}+2k\pi; \frac{11\pi}{3}+2k\pi\right)$ .

Vyřešte rovnici $\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ v množině reálných čísel. Toto je přesně ten případ, kdy budeme muset použít goniometrické vzorce. Začneme tedy tím, že upravíme levou stranu rovnice: $\cos x*\cos \frac{\pi}{6}-\sin x*\sin \frac{\pi}{6}-\left(\cos x*\cos \frac{\pi}{6}+\sin x*\sin \frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Dalším krokem je odstranění závorku. Já, když jsem tento příklad poprvé řešil, tak jsem závorku prostě škrtnul a nevšiml jsme si, že je před ní znaménko mínus. Neudělejte stejnou chybu;-) Pokud tedy závorku úspěšně odstraníme a nahradíme $\sin \frac{\pi}{6}$ za $\frac{1}{2}$ získáme rovnici $-2\sin x*\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ → $\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ . A tuto rovnici už každý z vás jistě vyřeší. Výsledek je $x=\left(\frac{4\pi}{3}+2k\pi; \frac{5\pi}{3}+2k\pi\right)$ .

Další problém by mohla představovat goniometrická funkce ve vyšší mocnině. Zkuste vyřešit rovnici $4\sin^2 x-3=0$ . Převedeme čísla na jednu stranu rovnice: $sin^2 x=\frac{3}{4}$ . Nyní stačí, když celou rovnici odmocníme. Ale pozor, je třeba si uvědomit, že před pravou stranou musí být znaménko plus mínus → $\sin x=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Výsledek této rovnice tedy je $x=\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi;\frac{2\pi}{3}+2k\pi;\frac{4\pi}{3}+2k\pi;\frac{5\pi}{3}+2k\pi \right)$ .

Goniometrické rovnice

Test

Hlavolam