Články » SŠ Matematika » Rovnice

Goniometrické rovnice

Vydáno dne v kategorii Rovnice; Autor: ; Počet přečtení: 31 083

V tomto článku se pokusím čtenáře zasvětit do problematiky goniometrických rovnic.


Tento článek má dvouslovný nadpis. Obě slova by mohla být pro některé čtenáře nová. Druhé slovo, rovnice je vysvětlené v článku Rovnice. Goniometrie je část matematiky zabývající se goniometrickými, nebo chcete-li trigonometrickými funkcemi. O tomto tématu se dozvíte více v článku Úvod do Goniometrie/Trigonometrie.

Jedna lehká goniometrická rovnice by mohla vypadat takto: sin x = 0. Tato rovnice je lehká, na jedné straně máme goniometrickou funkci a na druhé číslo. Nyní bychom mohli vzít do ruky kalkulačku a naťukat arcsin 1. Ale kalkulačka většinou vrací iracionální výsledky. Proto by bylo lepší vzít do ruky jednotkovou kružnici (přejít na článek Jednotková kružnice) a podívat se, kde funkce sinus nabývá hodnoty 0. První nalezená hodnota je . Ale většinou budou mít tyto rovnice alespoň dva výsledky a proto se pokusíme nalézt další řešení. Toto řešení je 180°. Ale pozor, je třeba si uvědomit, že kdybychom vzali úhel 360°, sinus bude také roven jedné. A to stejné pro další úhly jako 440°, 720°,.... Prostě na další řešení narazíme poté, co obkroužíme jednotkovou kružnici. Výsledek proto musíme zapsat ve tvaru 0+360*n a 180+360*n. V některých případech ale budeme hledat pouze hodnoty v intervalu <0°, 360°>, popř. v intervalu <0, 2π>. V takovém případě by stačila odpověď x=(0, 180).

Přestože to v tomto článku není, je doporučeno získané výsledky kontrolovat zkouškou!

Podíváme se na další příklad. Zkusíme vyřešit rovnici . Nejprve se budeme snažit převést rovnici do takové tvaru, abychom na jedné straně měli goniometrickou funkci a na druhé straně nějaké číslo. Přičteme proto k celé rovnici a poté celou rovnici vydělíme dvěma. Získáme tedy rovnici . Nyní opět přijde na řadu jednotková kružnice. A tentokrát zkusíme řešení najít v radiánech místo ve stupních. Funkce sinus nabývá hodnoty ve dvou bodech → a . Nesmíme zapomenout přidat na konec +2kπ. Kompletní řešení tedy vypadá

Toto byly lehké příklady. Problémy nastanou, pokud jsou v rovnici goniometrické rovnice ve vyšší mocnině. Vyřešte rovnici v intervalu od nuly do 360 stupňů. Nejlepším možným postupem je vytknout cos x. Z rovnice se stane a to už není tak těžké vypočítat. Aby se levá strana rovna nule, musí se jeden ze členů levé strany rovnat nule. Sestavíme tedy dvě rovnice: a . Tyto rovnice jsou podobně předchozím příkladům a jistě si s nimi hravě poradíte. Řešením je 90°, 270°, 180°.

Vyřešte rovnici v radiánech. Tentokrát budeme muset zapátrat v hlavě a vzpomenout si na výpočet kvadratické rovnice.


Tyto hodnoty na jednotkové kružnici nenaleznete a proto se obrátíme na kalkulačku. Pro první výsledek získáme x=0.59+kπ a pro druhý výsledek získáme x=-1.10+kπ. Někteří čtenáři se asi diví, proč přičítáme pouze a ne 2kπ. Důvod je jednoduchý → záleží na velikosti periody dané funkce a funkce tangens má periodu rovnu jedné.

V některých případech budeme muset při řešení goniometrických rovnic sáhnout ke znalosti goniometrických vzorce (přejít na článek Goniometrické vzorce). Vyřešte rovnici . Řešení této rovnice je založeno na tom, že . Pokud uděláme tuto změnu, získáme rovnici . Nyní stačí postupovat stejně jako v předchozím příkladě. Vytkneme cos x a je to: . Rovnice se opět rozdělí na dvě dílčí rovnice, jejichž řešení je jednoduché a uvedu proto pouze výsledek: .

Vyřešte rovnici v množině reálných čísel. Toto je přesně ten případ, kdy budeme muset použít goniometrické vzorce. Začneme tedy tím, že upravíme levou stranu rovnice: . Dalším krokem je odstranění závorku. Já, když jsem tento příklad poprvé řešil, tak jsem závorku prostě škrtnul a nevšiml jsme si, že je před ní znaménko mínus. Neudělejte stejnou chybu;-) Pokud tedy závorku úspěšně odstraníme a nahradíme za získáme rovnici . A tuto rovnici už každý z vás jistě vyřeší. Výsledek je .

Další problém by mohla představovat goniometrická funkce ve vyšší mocnině. Zkuste vyřešit rovnici . Převedeme čísla na jednu stranu rovnice: . Nyní stačí, když celou rovnici odmocníme. Ale pozor, je třeba si uvědomit, že před pravou stranou musí být znaménko plus mínus. Výsledek této rovnice tedy je .


Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Určete definiční obor funkce


Hlavolam

Jednoho dne se starý vesničan vracel z trhu domů. Měl s sebou kozu, vlka (to by mě zajímalo, kde toho schrastil) a v podpaží svíral hlávku zelí. Vesele si pískal, jak se mu handlování povedlo, když přišel k řece. Na břehu měl přivázanou malou pramici a už chtěl nasednout, když tu ho náhle dobrá nálada opustila. "Safra," říkal si, "vždyť já se do té lodičky se vším tím nevejdu. A když tu nechám vlka samotného, sní mi kozu. Když tu nechám kozu, sní mi zelí. Jak já to jenom provedu?" Pomožte staříkovi dostat vlka, kozu a zelí na druhý břeh. Do loďky se mu při tom vejde jen jedna věc. A na žádném z břehů při tom nesmí nechat samotného vlka s kozou nebo kozu a zelí ...