Stereometrie - Procvičování řezů 2. část

Kolmý průmět je technika, se kterou sestrojíte řez krychle nebo jehlanu i tam, kde nestačí tři základní pravidla. Dva zadané body promítnete kolmo do roviny některé stěny, nejčastěji podstavy. Přímka určená těmito body a přímka určená jejich průměty leží v jedné rovině, takže se protnou, a jejich průsečík je bod, ve kterém rovina řezu protíná rovinu té stěny.

Následují čtyři řešené příklady ze stereometrie s postupem krok za krokem, tři na krychli a jeden na jehlan, a pět příkladů k procvičení s řešením. Tři základní pravidla a jednodušší řezy najdete v článku Stereometrie - procvičování řezů.

Nejdřív ale krátce, jak se označuje krychle ABCDEFGH, protože bez toho se v žádném zadání nevyznáte.

Krychle ABCDEFGH: vrcholy, hrany a úhlopříčky

Krychle ABCDEFGH má dolní podstavu ABCD a horní stěnu EFGH. Vrcholy podstavy jdou po obvodu dokola a horní vrcholy leží přímo nad nimi ve stejném pořadí: E nad A, F nad B, G nad C a H nad D. Na obrázku je A vlevo vpředu, B vpravo vpředu, C vpravo vzadu a D vlevo vzadu. Hrany, které nejsou vidět, se kreslí čárkovaně.

Krychle má 8 vrcholů, 12 hran a 6 stěn. Stěnová úhlopříčka spojuje protější vrcholy jedné stěny, na obrázku je to BE. Tělesová úhlopříčka vede vnitřkem krychle mezi vrcholy, které nemají žádnou společnou stěnu: AG, BH, CE a DF.

Objem krychle je `V = a^3` a povrch `S = 6a^2`. Všechno to spočítá kalkulačka krychle.

Zadání často stojí na tom, jak spolu leží dvě hrany. S hranou AB jsou rovnoběžné hrany DC, EF a HG. Různoběžné, tedy se společným vrcholem, jsou AD, AE, BC a BF. Zbylé čtyři, CG, DH, EH a FG, jsou mimoběžné: neleží s AB v jedné rovině a nikdy ji neprotnou, i když se jejich obrázky na papíře kříží. Úhly mezi hranami a úhlopříčkami krychle ukazuje přehled odchylek v krychli.

Kdy tři pravidla nestačí

Řez se sestrojuje stěnu po stěně podle tří pravidel:

1. Dva body řezu ve stejné stěně spojíme.
2. V rovnoběžných stěnách jsou strany řezu rovnoběžné.
3. Stranu řezu prodloužíme k přímce hrany, kterou má stěna společnou se sousední stěnou, a dostaneme pomocný bod.

Pravidla 2 a 3 ale potřebují, aby už nějaká strana řezu existovala. První stranu dá jen pravidlo 1, tedy dva zadané body ve stejné stěně. Když leží tři body na třech hranách, z nichž žádné dvě nemají společnou stěnu, nebo když leží uvnitř stěn, není zpočátku co spojit. Přesně tehdy přichází na řadu kolmý průmět.

Kolmý průmět krok za krokem

1. Vyberte stěnu, do které budete promítat. Nejčastěji je to podstava, a nejlépe taková stěna, ve které už leží jeden ze zadaných bodů.
2. Promítněte zbylé dva body kolmo do roviny této stěny. Do podstavy se promítá svisle dolů, rovnoběžně s bočními hranami: bod na hraně CG se promítne do vrcholu C, bod na hraně EH do bodu hrany AD přímo pod ním.
3. Protněte přímku bodů s přímkou průmětů. Jejich průsečík označíme W. Obvykle leží mimo těleso.
4. Sestrojte průsečnici. Bod W leží v rovině řezu i v rovině stěny. Přímka, která ho spojuje se zadaným bodem v této stěně, je průsečnice roviny řezu s rovinou stěny. Kde protne hrany stěny, tam jsou vrcholy řezu.
5. Dokončete řez podle tří pravidel, teď už je od čeho začít.

Proč se přímky v kroku 3 protnou? Spojnice obou bodů s jejich průměty jsou kolmé k rovině stěny, a proto rovnoběžné. Dvě rovnoběžky určují rovinu a v ní leží oba body i oba průměty. Přímka bodů a přímka průmětů jsou tedy dvě přímky jedné roviny, a ty se protnou, pokud nejsou rovnoběžné. To je podstatný rozdíl proti nejčastější chybě v řezech, kdy se protínají dvě přímky, které se kříží jen na obrázku, ale v prostoru jsou mimoběžné.

Proč bod W leží v rovině řezu? Leží na přímce určené dvěma body řezu a ta celá leží v rovině řezu. Zároveň leží na přímce průmětů, která leží v rovině stěny. Je to tedy společný bod obou rovin. Průsečnice dvou rovin je přímka a k jejímu narýsování stačí dva body, W a zadaný bod ve stěně. V deskriptivní geometrii se jí říká stopa roviny řezu.

Zvláštní případ. Jsou-li oba promítané body stejně daleko od stěny, třeba stejně vysoko nad podstavou, je přímka bodů rovnoběžná s přímkou průmětů a bod W neexistuje. Přímka bodů je pak rovnoběžná s rovinou stěny a průsečnice roviny řezu s touto stěnou je s ní také rovnoběžná. Vedete ji tedy zadaným bodem ve stěně rovnoběžně se spojnicí obou bodů. Takový řez je v příkladu k procvičení 5.

Řešené příklady na řezy

Zadané body jsou modré, sestrojené vrcholy řezu červené, pomocné body a přímky šedé. Šedé čárkované úsečky jsou promítací přímky a tenká červená přímka je průsečnice roviny řezu s rovinou, do které promítáme. Body leží v násobcích čtvrtiny hrany, takže si každý řez krychle můžete zkontrolovat v kalkulačce.

Příklad 1 - tři body na mimoběžných hranách

Je dána krychle ABCDEFGH s hranou `a`. Bod V leží na hraně AB, `|AV| = \frac{a}{4}`, bod U na hraně CG, `|CU| = \frac{a}{4}`, a bod T na hraně EH, `|HT| = \frac{a}{4}`. Sestrojte řez krychle rovinou VUT.

V leží v podstavě a v přední stěně, U v pravé a zadní stěně, T v horní a levé stěně. Žádné dva body nemají společnou stěnu, a tři pravidla proto nejdou použít. Body U a T promítneme do podstavy, protože v ní leží bod V.

1. Bod U leží na svislé hraně CG, jeho průmět je vrchol C. Bod T se promítne svisle dolů do bodu T′ na hraně AD, `|AT'| = \frac{3}{4}a`.
2. Přímky UT a T′C leží ve svislé rovině, na obrázku je modře podbarvená. Protnou se v bodě W za vrcholem C.
3. W a V leží v rovině podstavy, přímka VW je průsečnice roviny řezu s podstavou. Protne hranu BC v bodě K. Úsečka VK je první strana řezu.

4. K a U leží v pravé stěně, spojíme je.
5. Levá stěna je rovnoběžná s pravou: bodem T vedeme rovnoběžku s KU, protne hranu AE v bodě L. Spojíme L s V v přední stěně.
6. Zadní stěna je rovnoběžná s přední: bodem U vedeme rovnoběžku s VL, protne hranu GH v bodě R. Spojíme R s T v horní stěně.

Řez je šestiúhelník VKURTL. Kontrola: strana RT v horní stěně vyšla rovnoběžná se stranou VK v podstavě, jak má. Polohu bodu W dostaneme z podobných trojúhelníků ve svislé rovině. Bod U je ve výšce `\frac{a}{4}`, bod T ve výšce `a`, takže

`\displaystyle \frac{|CW|}{|T'W|} = \frac{a/4}{a} = \frac{1}{4}`
`|CW| = \frac{1}{3}\,|T'C|`

Dopočítat se dá i zbytek: `|CK| = |AL| = |HR| = \frac{a}{4}`, strany řezu se střídají ve dvou délkách, `\frac{3a\sqrt{2}}{4}` a `\frac{a\sqrt{2}}{4}`. Řez si ověřte v kalkulačce řez krychle. Body jsou v ní zadané jako podíl hrany, s vrcholem A v počátku, B na ose x, D na ose y a E na ose z.

Příklad 2 - průmět do zadní stěny

Bod M je střed hrany AE, bod N leží na hraně BC, `|BN| = \frac{3}{4}a`, a bod O na hraně GH, `|HO| = \frac{3}{4}a`. Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou MNO.

Ani tady nemají žádné dva body společnou stěnu. Promítat se ale nemusí jen do podstavy. Bod O leží v zadní stěně DCGH, a tak do ní promítneme body M a N. Kolmé k zadní stěně jsou hrany AD, BC, EH a FG, promítáme tedy rovnoběžně s nimi. Na obrázku to znamená šikmo, ve směru ubíhajících hran.

1. M se promítne do středu M′ hrany DH. N leží na hraně BC, která je k zadní stěně kolmá, takže jeho průmět je vrchol C.
2. Přímky MN a M′C leží v rovině MNCM′ a protnou se v bodě W vpravo za vrcholem C, kousek pod rovinou podstavy.
3. W a O leží v rovině zadní stěny. Přímka OW protne hranu CG v jejím středu P. Strana OP je hotová.
4. N a P leží v pravé stěně, spojíme je.
5. Levá stěna je rovnoběžná s pravou: bodem M vedeme rovnoběžku s NP, protne hranu EH v bodě L, `|EL| = \frac{a}{4}`. Spojíme L s O v horní stěně.
6. Přední stěna je rovnoběžná se zadní: bodem M vedeme rovnoběžku s OP, protne hranu AB v bodě K, `|AK| = \frac{a}{4}`. Spojíme K s N v podstavě.

Řez je šestiúhelník KNPOLM. Kontrola: strana KN v podstavě je rovnoběžná se stranou LO v horní stěně. Stejný řez vyjde i průmětem do podstavy, protože v ní leží bod N. M se promítne do vrcholu A, O do bodu O′ na hraně DC, přímky MO a AO′ se protnou vlevo před vrcholem A a průsečnice s podstavou vede z tohoto bodu přes N. Hranu AB protne ve stejném bodě K. Kterou stěnu zvolit, je věc pohodlí: vyberte tu, u které bod W vyjde blízko tělesa. Výsledek si ověřte v kalkulačce.

Příklad 3 - řez jehlanu

Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. Bod X je střed hrany AV a bod Y leží na hraně CV, `|CY| = \frac{3}{4}|CV|`. Sestrojte řez jehlanu rovinou BXY.

Vrchol B leží v podstavě a ve stěnách ABV a BCV, takže úsečky BX a BY jsou strany řezu hned. Chybí bod na hraně DV a do stěn ADV a CDV se zatím nemáme jak dostat. Jehlan nemá rovnoběžné stěny, pravidlo 2 u něj nefunguje. Pomůže průmět do podstavy.

1. Pata výšky S je střed podstavy. Bod X leží na hraně AV, jeho kolmý průmět X′ proto leží na úsečce SA, a průmět Y′ bodu Y na úsečce SC. Oba průměty leží na úhlopříčce AC.
2. Přímky XY a AC leží v rovině ACV a protnou se v bodě W před vrcholem A, `|AW| = \frac{1}{2}|AC|`.
3. W a B leží v rovině podstavy, přímka BW je průsečnice roviny řezu s podstavou. Podstavu ale protne jen ve vrcholu B, žádný nový bod řezu nedá. Prodloužíme proto hranu DA: přímka BW ji protne v bodě M před vrcholem A, `|AM| = \frac{a}{3}`.
4. Bod M leží v rovině stěny ADV a leží v ní i bod X. Přímka MX protne hranu DV v bodě N.
5. Spojíme N s X ve stěně ADV a N s Y ve stěně CDV.

Řez je čtyřúhelník BYNX.

Druhý, kratší způsob. Přímka XY leží v rovině ACV a v té leží i výška SV. Přímka XY proto výšku protne v bodě Z, a to ve dvou třetinách výšky, `|SZ| = \frac{2}{3}|SV|`. Výška ale leží i v rovině BDV, spolu s vrcholem B a hranou DV. Přímka BZ tak rovnou protne hranu DV v bodě N, bez prodlužování hran podstavy.

Kontrola: oba způsoby musí dát stejný bod N a dají, `|DN| = \frac{4}{5}|DV|`. Konstrukce používá jen průsečíky přímek a poměry na nich, proto výsledek nezávisí na tom, jak vysoký jehlan je.

Příklad 4 - body uvnitř stěn

Bod X leží v přední stěně ABFE, přímo nad středem hrany AB ve výšce `\frac{a}{4}`. Bod Y leží v horní stěně na spojnici středů hran EF a GH, ve vzdálenosti `\frac{a}{4}` od hrany GH. Bod Z leží na hraně CG, `|CZ| = \frac{3}{4}a`. Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou XYZ.

Tentokrát neleží v podstavě žádný zadaný bod a body X a Y jsou uvnitř stěn. Z jednoho průsečíku by průsečnice s podstavou nevyšla, potřebujeme dva.

1. Všechny tři body promítneme do podstavy. X′ je střed hrany AB, Y′ leží pod bodem Y, `|X'Y'| = \frac{3}{4}a`, a Z se promítne do vrcholu C.
2. Přímky XY a X′Y′ se protnou v bodě W₁ před hranou AB, `|X'W_1| = \frac{a}{4}`.
3. Přímky XZ a X′C se protnou v bodě W₂ na prodloužení úsečky CX′ za bodem X′, `|X'W_2| = \frac{1}{2}|X'C|`.
4. Oba body leží v rovině podstavy i v rovině řezu, přímka W₁W₂ je tedy průsečnice. Protne hranu AB v bodě K a hranu BC v bodě L, `|BK| = |BL| = \frac{a}{4}`.

5. L a Z leží v pravé stěně, spojíme je. K a X leží v přední stěně, přímka KX protne hranu AE v bodě M, `|AM| = \frac{3}{4}a`.
6. Horní stěna je rovnoběžná s podstavou: bodem Y vedeme rovnoběžku s KL, protne hranu EH v bodě P a hranu GH v bodě Q.
7. Zbývá spojit Q se Z v zadní stěně a P s M v levé stěně.

Řez je šestiúhelník KLZQPM. Kontrola: strany PM a LZ leží v protějších stěnách a jsou rovnoběžné, stejně jako QZ a KM. Navíc `|BK| = |BL|`, `|AM| = |CZ|` a `|EP| = |GQ| = \frac{a}{4}`: celý řez je souměrný podle roviny BDHF. Ověření v kalkulačce.

Proč jsme nevzali třetí dvojici, Y a Z? Přímky YZ a Y′C se protnou také, ale víc než hranu a půl za vrcholem C, mimo obrázek. Z trojice bodů vybírejte dvojice, jejichž průsečík vyjde blízko.

Přehled příkladů

Časté chyby

• Průsečík s nesprávnou přímkou. Bod W je průsečík přímky bodů s přímkou jejich průmětů. Přímka UT z příkladu 1 se na obrázku kříží s hranou BF, ale v prostoru jsou to mimoběžky a průsečík nemají.
• Šikmý průmět místo kolmého. Promítá se kolmo ke stěně. Do podstavy je to na obrázku svisle dolů, do zadní stěny ale šikmo, rovnoběžně s hranou AD. Kdo do zadní stěny promítne svisle, skončí v podstavě.
• Jeden bod průsečnice. Průsečnici určují dva body. Leží-li ve stěně některý zadaný bod, stačí k němu jeden průsečík W. Když ne, jako v příkladu 4, potřebujete dva průsečíky ze dvou různých dvojic bodů.
• Hledání W u rovnoběžek. Jsou-li oba body stejně daleko od stěny, W neexistuje. Průsečnici pak veďte rovnoběžně se spojnicí bodů, viz příklad k procvičení 5.
• Průmět bodu z boční hrany jehlanu do vrcholu podstavy. Kolmý průmět bodu z hrany BV neleží ve vrcholu B, ale na úsečce SB mezi středem podstavy a vrcholem. Konstrukce z příkladu 3 přesto vyjde, protože důležité je jen to, že průmět leží na úhlopříčce podstavy. U bodu uvnitř boční stěny by ale „průmět“ do vrcholu nedával smysl, tam je potřeba promítat opravdu kolmo.

Příklady k procvičení

`u_s = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \doteq 8{,}49\ \mathrm{cm}`
`u_t = a\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \doteq 10{,}39\ \mathrm{cm}`

`|VK| = |UR| = |TL| = 6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}`
`|KU| = |RT| = |LV| = 2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}`
`o = 3\cdot 6\sqrt{2} + 3\cdot 2\sqrt{2} = 24\sqrt{2} \doteq 33{,}9\ \mathrm{cm}`

`\displaystyle S = \frac{\sqrt{3}}{4}\left(10\sqrt{2}\right)^2 - 3\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}\left(2\sqrt{2}\right)^2`
`\displaystyle S = \frac{\sqrt{3}}{4}\,(200 - 24) = 44\sqrt{3} \doteq 76{,}2\ \mathrm{cm^2}`

Další příklady ze stereometrie

Řez krychle třemi body nakreslí a spočítá kalkulačka řez krychle, průsečnici dvou rovin kalkulačka průsečnice dvou rovin. Ostatní výpočty v prostoru jsou v přehledu stereometrie, objemy a povrchy v kalkulačkách těles a procvičit si je můžete ve cvičení objem a povrch těles.

• Řezy: tři pravidla a šest řešených řezů, pokročilejší techniky řezů, odkud se pravidla berou.
• Vzájemná poloha: dvou přímek, přímky a roviny, dvou rovin.
• Odchylky a vzdálenosti: odchylka přímek, odchylka přímky a roviny, odchylka dvou rovin, vzdálenost bodu od roviny.
• Tělesa: jehlan a úvod do stereometrie, hranol, koule, další příklady na tělesa.