Stereometrie - Procvičování řezů

Řez krychle rovinou je mnohoúhelník, ve kterém rovina protne povrch krychle. Rovinu obvykle určují tři zadané body a řez se sestrojuje stěnu po stěně: v každé stěně, kterou rovina protne, leží právě jedna strana řezu. Protože má krychle šest stěn, vyjde řez jako trojúhelník, čtyřúhelník, pětiúhelník nebo šestiúhelník.

Ke konstrukci stačí tři pravidla. Spojit dva body ve stejné stěně, vést rovnoběžku v protější stěně, a když nejde ani jedno, prodloužit stranu řezu k přímce hrany a najít pomocný bod. Všechna tři jsou vysvětlená hned pod tímto odstavcem.

Pak následuje šest řešených příkladů, čtyři na krychli a dva na jehlan, od nejjednodušších po úlohy s pomocným bodem mimo těleso. U každého je zadání, postup krok za krokem, obrázek hotového řezu a kontrola. Na konci jsou příklady k procvičení s řešením.

Tři pravidla pro konstrukci řezu

1. Dva body ve stejné stěně spojíme. Leží-li dva body řezu v jedné stěně, je úsečka mezi nimi stranou řezu.
2. V rovnoběžných stěnách jsou strany řezu rovnoběžné. Rovina řezu protne dvě rovnoběžné stěny ve dvou rovnoběžných úsečkách. Známe-li stranu řezu v jedné stěně a jeden bod v protější, vedeme jím rovnoběžku.
3. Pomocný bod na přímce hrany. Stranu řezu v jedné stěně prodloužíme až k přímce hrany, kterou má tato stěna společnou se sousední stěnou. Průsečík leží v rovině řezu i v rovině sousední stěny, takže ho s bodem řezu v té sousední stěně můžeme spojit podle pravidla 1. Pomocný bod obvykle leží mimo těleso, na prodloužení hrany.

V článku Stereometrie - řešení konstrukčních úloh se těmto pravidlům říká důsledky 1, 2 a 3 a jsou tam odvozená z vět o vzájemné poloze rovin. Pravidlo 2 platí jen pro tělesa s rovnoběžnými stěnami, tedy pro krychli, kvádr a hranol. Jehlan žádné dvě rovnoběžné stěny nemá, a proto se u něj obejdeme jen s pravidly 1 a 3.

Postup krok za krokem

1. Najděte dvojice zadaných bodů, které leží ve stejné stěně, a spojte je.
2. U krychle a hranolu hledejte stěnu rovnoběžnou s tou, ve které už strana řezu je. Leží-li v ní bod řezu, veďte jím rovnoběžku.
3. Když nejde ani jedno, prodlužte některou stranu řezu k přímce hrany a sestrojte pomocný bod.
4. Pokračujte, dokud se řez neuzavře. Nakonec viditelné strany vytáhněte plnou čarou, strany v zadních stěnách čárkovaně.

Hotový řez si vždycky zkontrolujte: v každé stěně leží nejvýš jedna jeho strana, strany v protějších stěnách jsou rovnoběžné a všechny vrcholy řezu leží na hranách tělesa.

Jaký tvar může mít řez krychle

Počet stran řezu je roven počtu stěn, které rovina protne. Krychle má šest stěn, takže sedmiúhelník vzniknout nemůže.

Dvě zajímavosti, které se hodí při kontrole. Trojúhelníkový řez krychle je vždy ostroúhlý, pravý ani tupý úhel v něm nevyjde. A pětiúhelníkový řez nikdy není pravidelný: pět protnutých stěn obsahuje dvě dvojice protějších stěn, takže pětiúhelník má dvě dvojice rovnoběžných stran, a pravidelný pětiúhelník nemá žádnou.

Čtyřboký jehlan má pět stěn, jeho řez je tedy nejvýš pětiúhelník.

Řešené příklady na řezy krychle a jehlanu

Krychle je všude označená stejně: ABCD je podstava, EFGH horní stěna, E leží nad A. Zadané body jsou modré, sestrojené body řezu červené, pomocné body a přímky šedé.

Příklad 1 - řez krychle rovinou DEK

Je dána krychle ABCDEFGH, bod K je střed hrany BF. Sestrojte řez krychle rovinou DEK.

1. Body D a E leží v levé stěně ADHE, spojíme je (pravidlo 1). Úsečka DE je stěnová úhlopříčka.
2. Body E a K leží v přední stěně ABFE, spojíme je.
3. Pravá stěna BCGF je rovnoběžná s levou, strana řezu v ní tedy bude rovnoběžná s DE (pravidlo 2). Bodem K vedeme rovnoběžku s DE, ta protne hranu BC v bodě X.
4. Body X a D leží v podstavě, spojíme je a řez je hotový.

Řez je lichoběžník DEKX. Kontrola: rovnoběžka s úhlopříčkou DE svírá s hranami stěny úhel 45°, takže odřízne na hraně BC stejně dlouhý kus jako na BF. Z toho `|BX| = |BK| = \frac{a}{2}`, bod X je střed hrany BC a základna KX je poloviční než DE. Ramena EK a DX jsou stejně dlouhá, `\frac{a\sqrt{5}}{2}`, lichoběžník je tedy rovnoramenný.

Příklad 2 - řez krychle rovinou OMN

Body O, M a N jsou po řadě středy hran AB, BF a FG krychle ABCDEFGH. Sestrojte řez rovinou OMN.

1. O a M leží v přední stěně, spojíme je. M a N leží v pravé stěně, spojíme je také.
2. V žádné další stěně teď nemáme dva body a nemáme ani bod ve stěně rovnoběžné s přední nebo pravou. Použijeme pravidlo 3: úsečku MN prodloužíme až k přímce CG, kterou má pravá stěna společnou se zadní. Vznikne pomocný bod W nad vrcholem G, `|GW| = \frac{a}{2}`.
3. W leží v rovině řezu i v rovině zadní stěny DCGH. Zadní stěna je rovnoběžná s přední, takže bodem W vedeme rovnoběžku s OM (pravidlo 2). Protne hranu GH v bodě P a hranu DH v bodě R.
4. N a P leží v horní stěně, spojíme je.
5. Levá stěna je rovnoběžná s pravou: bodem R vedeme rovnoběžku s MN, protne hranu AD v bodě Q. Nakonec spojíme Q s O v podstavě.

Řez je šestiúhelník OMNPRQ. Kontrola: všech šest vrcholů vyšlo ve středech hran, každá strana je přeponou pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami `\frac{a}{2}` a má délku `\frac{a\sqrt{2}}{2}`. Je to pravidelný šestiúhelník, nejznámější řez krychle. Jeho obsah je

`\displaystyle S = 6\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4}\,a^2 \doteq 1{,}299\,a^2`

Stejný řez vám nakreslí kalkulačka řez krychle. Body se do ní zadávají jako podíl hrany, s vrcholem A v počátku: O = [0,5; 0; 0], M = [1; 0; 0,5] a N = [1; 0,5; 1].

Příklad 3 - bod mimo krychli

Bod O leží na polopřímce FE za bodem E, `|EO| = a`. Bod N je střed hrany BF a bod M leží na hraně DH, `|DM| = \frac{3}{4}a`. Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou OMN.

Zatím ležely všechny zadané body na hranách. Tady je bod O mimo krychli, ale leží na přímce EF, tedy v rovině přední stěny ABFE. Stejně s ním zacházíme jako s každým jiným bodem řezu.

1. O a N leží v rovině přední stěny, spojíme je (pravidlo 1). Přímka ON protne hranu AE v bodě P. Stranou řezu je jen úsečka PN, část od O k P leží mimo krychli.
2. P a M leží v levé stěně ADHE, spojíme je.
3. Pravá stěna je rovnoběžná s levou: bodem N vedeme rovnoběžku s PM, protne hranu CG v bodě Q. Spojíme Q s M v zadní stěně.

Kde přesně leží P, zjistíme z podobných trojúhelníků OEP a OFN:

`\displaystyle \frac{|EP|}{|FN|} = \frac{|OE|}{|OF|} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}`
`\displaystyle |EP| = \frac{1}{2}\cdot\frac{a}{2} = \frac{a}{4}`

Bod P je tedy ve výšce `\frac{3}{4}a` nad podstavou, stejně jako M. Úsečka PM je proto rovnoběžná s hranou AD a rovnoběžka s ní vedená bodem N skončí ve středu hrany CG. Řez PNQM je obdélník: PM je kolmá k přední stěně, a tedy i k PN. Jeho strany mají délky `a` a `|PN| = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a}{4}\right)^2} = \frac{a\sqrt{17}}{4}`.

Příklad 4 - řez jehlanu rovinou PQR

Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. Bod P je střed hrany AB, bod Q střed hrany BC a bod R leží ve stěně CDV. Sestrojte řez jehlanu rovinou PQR.

Řez jehlanu je těžší než řez krychle, protože pravidlo 2 nemáme k dispozici. Místo rovnoběžek budeme hledat pomocné body.

1. P a Q leží v podstavě, spojíme je.
2. Bod R je sám ve stěně CDV. Podle pravidla 3 prodloužíme PQ k přímce DC, kterou má podstava společnou se stěnou CDV. Vznikne pomocný bod W za vrcholem C.
3. W a R leží v rovině stěny CDV. Přímka WR protne hranu CV v bodě Z a hranu DV v bodě Y. Úsečka ZY je strana řezu, bod R na ní leží.
4. Z a Q leží ve stěně BCV, spojíme je.
5. Ve stěně ADV máme jen bod Y. Znovu pravidlo 3: přímka PQ protne přímku AD v pomocném bodě U před vrcholem A. U a Y leží v rovině stěny ADV, přímka UY protne hranu AV v bodě X. Nakonec spojíme X s P ve stěně ABV.

Řez je pětiúhelník PQZYX, v každé z pěti stěn jehlanu leží právě jedna jeho strana. Kontrola: body P a Q leží souměrně podle roviny BDV, a protože Y leží na hraně DV v této rovině, je souměrný celý řez. Body X a Z proto vyšly ve stejné výšce. Body W a U na poloze R nezávisí, vždy je `|CW| = |AU| = \frac{a}{2}`. V obrázku je bod R zvolený tak, že Y je střed hrany DV, a pak body X a Z leží ve čtvrtině hran AV a CV, měřeno od podstavy.

Příklad 5 - bod v podstavě krychle

Bod P je střed hrany EH, bod Q střed hrany HG a bod O leží v podstavě ABCD blízko vrcholu B, jak ukazuje obrázek. Sestrojte řez krychle rovinou PQO.

1. P a Q leží v horní stěně, spojíme je.
2. Podstava je rovnoběžná s horní stěnou: bodem O vedeme rovnoběžku s PQ. Protne hranu AB v bodě S a hranu BC v bodě R. Při poloze O z obrázku je `|BS| = |BR| = \frac{a}{4}`.
3. Teď máme v každé boční stěně jen po jednom bodě. Pravidlo 3: prodloužíme SR k přímce DC, kterou má podstava společnou se zadní stěnou. Vznikne pomocný bod W za vrcholem C, `|CW| = \frac{3}{4}a`.
4. W a Q leží v rovině zadní stěny DCGH. Přímka WQ protne hranu CG v bodě U. Spojíme U s R v pravé stěně.
5. Levá stěna je rovnoběžná s pravou: bodem P vedeme rovnoběžku s UR, protne hranu AE v bodě T. Spojíme T s S v přední stěně.

Řez je šestiúhelník PQURST. Kontrola: protější strany jsou rovnoběžné, PQ ∥ RS, QU ∥ ST a UR ∥ TP, protože vždy leží ve dvou protějších stěnách. Výšku bodu U spočítáme v zadní stěně z podobných trojúhelníků. Bod Q je od přímky CG vzdálen `\frac{a}{2}`, bod W o `\frac{3}{4}a` na druhou stranu, a na celé vzdálenosti `\frac{5}{4}a` stoupne přímka WQ o `a`:

`\displaystyle |CU| = \frac{3/4}{5/4}\,a = \frac{3}{5}\,a`

Stejně vysoko vyšel i bod T, protože celý řez je souměrný podle roviny BDHF.

Příklad 6 - řez jehlanu, bod na boční hraně

V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV leží bod P na hraně CD, `|CP| = \frac{a}{3}`, bod Q na hraně AD, `|AQ| = \frac{a}{3}`, a bod R na hraně BV, `|BR| = \frac{3}{4}|BV|`. Sestrojte řez rovinou PQR.

1. P a Q leží v podstavě, spojíme je.
2. Bod R leží na hraně BV, tedy ve stěnách ABV i BCV, a v žádné z nich nemáme druhý bod. Prodloužíme PQ k přímce AB a dostaneme pomocný bod U před vrcholem A, `|AU| = \frac{a}{3}`.
3. U a R leží v rovině stěny ABV. Přímka UR protne hranu AV v bodě X. Spojíme X s R ve stěně ABV a X s Q ve stěně ADV.
4. Stejně na druhé straně: přímka PQ protne přímku BC v bodě W za vrcholem C, `|CW| = \frac{a}{3}`. Přímka WR protne hranu CV v bodě Y. Spojíme Y s R ve stěně BCV a Y s P ve stěně CDV.

Řez je pětiúhelník PQXRY. Kontrola: body P a Q leží souměrně podle roviny BDV a bod R v ní leží, takže X a Y musí vyjít ve stejné výšce. Kdyby na obrázku nevyšly, je chyba v některém z pomocných bodů. Úsečka PQ je navíc rovnoběžná s úhlopříčkou AC, což je dobrá kontrola, že jste body P a Q vynesli správně.

Řezy dalších těles

Stejná tři pravidla fungují pro všechny mnohostěny. U kvádru a hranolu se postupuje přesně jako u krychle, protože i ony mají dvojice rovnoběžných stěn: podstavy a u kvádru i protější boční stěny. U jehlanu zbývají jen pravidla 1 a 3, a proto se v řezech jehlanu tak často objevují pomocné body na prodloužených hranách podstavy, jako v příkladech 4 a 6. Když ani to nestačí, pomůže kolmý průmět bodů do podstavy, který ukazuje článek Stereometrie - procvičování řezů 2. část.

Časté chyby

• Spojení bodů z různých stěn. V příkladu 2 nelze spojit O a N: O leží v přední stěně a podstavě, N v pravé a horní, společnou stěnu nemají. Úsečka ON by vedla vnitřkem krychle. Před každým spojením si řekněte, ve které stěně oba body leží.
• Rovnoběžka v jehlanu. Protější boční stěny jehlanu rovnoběžné nejsou, takže pravidlo 2 u jehlanu nefunguje. Rovnoběžné stěny má jen komolý jehlan, a to obě podstavy.
• Průsečík mimoběžek. Pomocný bod je průsečík dvou přímek, které leží v jedné stěně, typicky strany řezu a přímky hrany této stěny. Dvě přímky z různých stěn se na obrázku často kříží, ale v prostoru jsou mimoběžné a žádný průsečík nemají. Třeba přímka OM z příkladu 2 a hrana CG: na papíře by se protnuly, v krychli ne.
• Dvě strany řezu v jedné stěně. Rovina protne stěnu v jediné přímce, v jedné stěně proto leží nejvýš jedna strana řezu. Vyjdou-li vám dvě, je chyba o krok dřív.
• Chybějící viditelnost. Strany řezu v zadních stěnách a v podstavě se kreslí čárkovaně, jinak obrázek vypadá jako jiné těleso.

Příklady k procvičení

`s = \frac{a\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \doteq 4{,}24\ \mathrm{cm}`

`\displaystyle S = 6\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}s^2 = 6\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 18`
`S = 27\sqrt{3} \doteq 46{,}8\ \mathrm{cm^2}`

Kam dál

Vlastní řez krychle si ověříte v kalkulačce řez krychle třemi body, která ho nakreslí a vypíše jeho vrcholy, obvod i obsah. Průsečnici dvou rovin spočítá kalkulačka průsečnice dvou rovin a další výpočty jsou v přehledu stereometrie.

Odkud se tři pravidla berou, vysvětluje článek Stereometrie - řešení konstrukčních úloh. Složitější řezy s kolmým průmětem jsou v článcích Stereometrie - pokročilejší techniky řezů a Stereometrie - procvičování řezů 2. část. Základní pojmy najdete v úvodu do stereometrie.