Řez tělesa rovinou je rovinný útvar, ve kterém rovina protne těleso. U krychle, kvádru nebo jehlanu je to vždy mnohoúhelník a jeho strany leží ve stěnách tělesa: v každé stěně, kterou rovina protne, leží právě jedna strana řezu. Sestrojit řez proto znamená najít v jednotlivých stěnách průsečnice roviny řezu s rovinou stěny.

K tomu stačí tři věty o přímkách a rovinách. Z nich plynou tři pravidla, podle kterých se řez rýsuje krok za krokem: spojit dva body ve stejné stěně, vést rovnoběžku v protější stěně a najít pomocný bod na přímce hrany.

Níže je každá věta vysvětlená, ukázaná na obrázku a použitá ve čtyřech řešených příkladech, třech na krychli a jednom na jehlanu. Na konci jsou příklady k procvičení s řešením.

ACDFGHBEVU

Na obrázku je řez krychle rovinou BEV z druhého příkladu. Rovina protne čtyři stěny, a řez je proto čtyřúhelník BVUE. Strana UV leží v zadní stěně, kterou nevidíme, a proto je čárkovaně.

Krychle ABCDEFGH

Všechny příklady používají stejné označení. Podstava je ABCD, horní stěna EFGH a horní vrcholy leží nad dolními ve stejném pořadí: E nad A, F nad B, G nad C a H nad D. A je vlevo vpředu, B vpravo vpředu. Hrany, které nejsou vidět, kreslíme čárkovaně.

ABCDEFGH

Stěny krychle pojmenujeme podle jejich vrcholů: přední ABFE, pravá BCGF, zadní CDHG, levá ADHE, dolní ABCD a horní EFGH. Protější stěny jsou rovnoběžné, sousední mají společnou hranu. Podrobněji o vrcholech, hranách a úhlopříčkách krychle píše článek Procvičování řezů 2. část.

Tři věty, ze kterých řezy vycházejí

Řez se nedá „uhodnout“ od oka. Každá čára, kterou narýsujeme, musí ležet jak v rovině řezu, tak v rovině některé stěny. Zaručují to tyto tři věty.

Věta 1. Leží-li dva různé body v rovině, leží v ní celá přímka, kterou určují.

Věta 2. Dvě rovnoběžné roviny protne třetí rovina ve dvou rovnoběžných přímkách.

Proč: obě průsečnice leží v té třetí rovině, takže jsou buď rovnoběžné, nebo různoběžné. Společný bod by ale musel ležet v obou rovnoběžných rovinách, a ty žádný společný bod nemají. Zbývá jediná možnost, průsečnice jsou rovnoběžné.

Věta 3. Jsou-li tři roviny navzájem různoběžné a mají-li jediný společný bod, procházejí tímto bodem všechny tři jejich průsečnice.

Proč: dvě z průsečnic leží v jedné z rovin, a pokud se protnou, leží jejich průsečík ve všech třech rovinách najednou. Leží tedy i na třetí průsečnici. Když tři roviny společný bod nemají, jsou všechny tři průsečnice navzájem rovnoběžné.

Tři pravidla pro konstrukci řezu

Když za jednu rovinu dosadíme rovinu řezu a za ostatní roviny stěn tělesa, dostaneme z vět tři důsledky. V článku Procvičování řezů se jim říká pravidla 1, 2 a 3.

  1. Dva body řezu ve stejné stěně spojíme. Úsečka mezi nimi je stranou řezu (věta 1).
  2. V rovnoběžných stěnách jsou strany řezu rovnoběžné. Známe-li stranu řezu v jedné stěně a bod řezu v protější stěně, vedeme jím rovnoběžku (věta 2). Platí pro krychli, kvádr a hranol. Jehlan žádné dvě rovnoběžné stěny nemá.
  3. Pomocný bod na přímce hrany. Stranu řezu v jedné stěně prodloužíme, až protne přímku hrany, kterou má tato stěna společnou se sousední stěnou. Průsečík leží v rovině řezu i v rovině sousední stěny, takže ho s bodem řezu v sousední stěně smíme spojit (věta 3). Pomocný bod obvykle leží mimo těleso, na prodloužení hrany.

Všechna tři pravidla dělají totéž: hledají dva body, které leží v rovině řezu i v rovině stěny. Dva takové body určují průsečnici obou rovin a na ní leží strana řezu. Stejně se hledá průsečnice dvou libovolných rovin, jak ukazuje článek Vzájemná poloha rovin. Spočítat ji v souřadnicích umí kalkulačka průsečnice dvou rovin.

Postup: nejdřív spojte všechny dvojice bodů, které leží ve stejné stěně. Pak hledejte rovnoběžky v protějších stěnách. Teprve když nejde ani jedno, sestrojte pomocný bod. Pokračujte, dokud se řez neuzavře, a nakonec vytáhněte viditelné strany plně a strany v zadních stěnách čárkovaně.

Řešené příklady

Zadané body jsou modré, sestrojené body řezu červené, pomocné body a přímky šedé. Každý řez si můžete nechat nakreslit v kalkulačce řez krychle třemi body, odkaz u příkladu ji otevře rovnou se zadáním (krychle má hranu 1, vrchol A je počátek).

Příklad 1 - řez krychle rovinou ABH

Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou ABH.

  1. Body A a B leží v přední stěně ABFE, spojíme je (pravidlo 1). Body A a H leží v levé stěně ADHE, spojíme je také. Úsečka AH leží v levé stěně, kterou nevidíme, a proto ji rýsujeme čárkovaně.
  2. Žádné další dva body ve stejné stěně nemáme. Přední stěna ABFE je ale rovnoběžná se zadní stěnou CDHG a v ní leží bod H. Vedeme jím rovnoběžku s AB (pravidlo 2). Ta jde po hraně HG a končí ve vrcholu G.
  3. Body B a G leží v pravé stěně BCGF, spojíme je a řez je uzavřený.
CDEFGABH 1. AB a AH (pravidlo 1) CDEFABHG 2. HG rovnoběžně s AB (pravidlo 2) CDEFABHG 3. BG, řez ABGH

Řez je obdélník ABGH. Strana AB je hrana krychle a strana BG stěnová úhlopříčka, takže pro hranu `a` má rozměry `a` a `a\sqrt{2}`. Úhel u B je pravý, protože hrana AB je kolmá k celé pravé stěně, a tedy i k BG.

Kontrola: protější strany AB a HG jsou rovnoběžné, protože leží v protějších stěnách, a stejně tak AH a BG v levé a pravé stěně. Pro `a = 4\ \mathrm{cm}` je obsah řezu `4 \cdot 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2} \doteq 22{,}63\ \mathrm{cm^2}`. Otevřít v kalkulačce.

Příklad 2 - řez krychle rovinou BEV

Je dána krychle ABCDEFGH, bod V je střed hrany CG. Sestrojte řez krychle rovinou BEV.

  1. Body B a E leží v přední stěně, spojíme je. Body B a V leží v pravé stěně BCGF, spojíme je také (pravidlo 1).
  2. Zadní stěna CDHG je rovnoběžná s přední a leží v ní bod V. Vedeme jím rovnoběžku s BE (pravidlo 2). Protne hranu GH v bodě U.
  3. Body U a E leží v horní stěně, spojíme je a řez je hotový.
ACDFGHBEV 1. BE a BV (pravidlo 1) ACDFGHBEVU 2. VU rovnoběžně s BE (pravidlo 2) ACDFGHBEVU 3. UE, řez BVUE

Řez je lichoběžník BVUE se základnami BE a VU. Rovnoběžka s úhlopříčkou BE svírá s hranami stěny úhel 45°, takže na hraně GH odřízne stejně dlouhý kus jako na CG: `|GU| = |GV| = \frac{a}{2}` a U je střed hrany GH.

Pro `a = 4\ \mathrm{cm}` spočítáme strany Pythagorovou větou:

`|BE| = 4\sqrt{2},\quad |VU| = 2\sqrt{2}`
`|BV| = |EU| = \sqrt{4^2 + 2^2} = 2\sqrt{5}`

Ramena jsou stejně dlouhá, lichoběžník je tedy rovnoramenný. Jeho výška je `v = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}`, protože každé rameno přečnívá kratší základnu o polovinu rozdílu základen, tedy o `\sqrt{2}`. Obsah řezu:

`S = \dfrac{4\sqrt{2} + 2\sqrt{2}}{2} \cdot 3\sqrt{2} = 18\ \mathrm{cm^2}`

Kontrola: základna VU má poloviční délku než BE, což sedí, protože U a V jsou středy hran. Otevřít v kalkulačce.

Příklad 3 - řez rovinou XYZ s pomocným bodem

Je dána krychle ABCDEFGH. Bod X je střed hrany AB, Y střed hrany AE a Z střed hrany FG. Sestrojte řez krychle rovinou XYZ.

Body X a Y leží v přední stěně, takže stranu XY dostaneme hned. Bod Z ale neleží v žádné stěně s X ani s Y a v zadní stěně, která je s přední rovnoběžná, také neleží. Pravidla 1 a 2 tu nestačí a poprvé potřebujeme pravidlo 3.

  1. Spojíme X a Y (pravidlo 1). Přímku XY prodloužíme, až protne přímku EF. Ta je společnou hranou přední a horní stěny. Průsečík R leží za vrcholem E, mimo krychli.
  2. Bod R leží v rovině řezu, protože je na přímce XY, a zároveň v rovině horní stěny, protože je na přímce EF. V horní stěně leží i bod Z, takže přímka RZ je průsečnice roviny řezu s horní stěnou (pravidlo 3). Protne hranu EH v bodě U a strana řezu v horní stěně je UZ.
  3. Body Y a U leží v levé stěně, spojíme je. Pravá stěna je rovnoběžná s levou, a proto bodem Z vedeme rovnoběžku s YU (pravidlo 2). Protne hranu BC v bodě W. Nakonec spojíme W a X v podstavě.
ABCDEFGHXYZR 1. XY a R na přímce EF ABCDEFGHXYZRU 2. RZ protne EH v bodě U ABCDEFGHXYZUW 3. YU, pak ZW rovnoběžně s YU, WX

Řez je pětiúhelník XWZUY, rovina protnula pět stěn ze šesti. Zápis konstrukce, jak ho chtějí ve škole:

`1.\ XY`
`2.\ R;\ R \in XY \cap EF`
`3.\ U;\ U \in RZ \cap EH`
`4.\ YU,\ UZ`
`5.\ p;\ Z \in p,\ p \parallel YU`
`6.\ W;\ W \in p \cap BC`
`7.\ \text{řez } XWZUY`

Písmena XY, EF a další v zápisu značí přímky. Trojúhelníky AXY a ERY jsou shodné (Y je střed AE, úhly u A a E jsou pravé), takže `|ER| = |AX| = \frac{a}{2}`. Z podobnosti trojúhelníků REU a RFZ, kde `|RE| : |RF| = 1 : 3`, pak vychází `|EU| = \frac{1}{3}|FZ| = \frac{a}{6}`. Na hraně BC je stejně tak `|BW| = \frac{a}{6}`.

Kontrola: strany ve dvou dvojicích protějších stěn musí být rovnoběžné. XW (podstava) je rovnoběžná s UZ (horní stěna) a YU (levá) se ZW (pravá). Pro hranu 6 cm vychází `|XW| = \sqrt{10} \doteq 3{,}16\ \mathrm{cm}` a `|UZ| = 2\sqrt{10} \doteq 6{,}32\ \mathrm{cm}`, rovnoběžné strany jsou tu v poměru 1 : 2. Otevřít v kalkulačce.

Příklad 4 - řez jehlanu rovinou KLM

Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. Bod K je střed hrany AB, L střed hrany BC a M střed boční hrany DV. Sestrojte řez jehlanu rovinou KLM.

Jehlan nemá rovnoběžné stěny, takže pravidlo 2 tu nepomůže. Zbývají pravidla 1 a 3.

  1. Body K a L leží v podstavě, spojíme je. Přímku KL prodloužíme na obě strany: přímku AD protne v bodě P, přímku CD v bodě Q. Oba body leží mimo jehlan.
  2. Bod P leží v rovině řezu i v rovině stěny ADV, stejně jako bod M. Přímka PM protne hranu AV v bodě N. Obdobně přímka QM ve stěně CDV protne hranu CV v bodě O.
  3. Spojíme K s N ve stěně ABV a L s O ve stěně BCV.
ABCDVKLMPQ 1. KL, P a Q na přímkách AD a CD ABCDVKLMPQNO 2. PM a QM dají N a O

Řez je pětiúhelník KLOMN, rovina protnula všech pět stěn jehlanu. Kdo počítá, zjistí, že `|AN| = \frac{1}{4}|AV|` a `|CO| = \frac{1}{4}|CV|`, a to pro jehlan libovolné výšky.

Kontrola: obrázek je souměrný podle roviny BDV, protože body K a L i přímky AD a CD jsou podle ní souměrné. Body N a O proto musí ležet ve stejné výšce. Další řezy jehlanu jsou v článku Procvičování řezů.

Jaký tvar má řez

Počet stran řezu je roven počtu stěn, které rovina protne. Řez krychle tak může být trojúhelník, čtyřúhelník, pětiúhelník nebo šestiúhelník, nikdy sedmiúhelník. Řez čtyřbokého jehlanu je nejvýš pětiúhelník. Přehled tvarů s příklady je v článku Procvičování řezů.

Časté chyby

  • Spojení bodů, které neleží ve stejné stěně. Úsečka mezi nimi vede vnitřkem tělesa a stranou řezu není. Z příkladu 3: spojit X se Z je chyba, X leží v přední a dolní stěně, Z v pravé a horní.
  • Rovnoběžka ve stěně, která není protější. Pravidlo 2 platí jen pro rovnoběžné stěny. Strany řezu v sousedních stěnách rovnoběžné nejsou, mají společný bod na hraně.
  • Pomocný bod na mimoběžce. Pomocný bod hledáme jen na přímce, která leží ve stejné stěně jako prodlužovaná strana. V příkladu 3 leží XY v přední stěně, takže ji můžeme protnout s přímkou EF, ale ne s přímkou EH. EH je s XY mimoběžná, žádný společný bod nemají.
  • Pravidlo 2 na jehlanu. Stěny jehlanu nejsou rovnoběžné, a tak rovnoběžka s KL v příkladu 4 nikam nevede. U jehlanu vždy pomocný bod.
  • Řez bez kontroly. Hotový řez má v každé stěně nejvýš jednu stranu, všechny jeho vrcholy leží na hranách a u krychle jsou strany v protějších stěnách rovnoběžné. Co tohle nesplňuje, je špatně.

Příklady k procvičení

1. Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou BDE. Jaký je to útvar a jaký má obvod pro hranu 6 cm?

2. Bod K je střed hrany AE a L střed hrany BF. Sestrojte řez krychle rovinou KLC a pro hranu 4 cm spočítejte jeho obsah.

3. Bod K je střed hrany AB a L střed hrany BC. Sestrojte řez krychle rovinou KLH. Ve kterých bodech protne rovina hrany AE a CG?

4. Body K, L, M jsou postupně středy hran AB, BC a GH. Sestrojte řez krychle rovinou KLM a pro hranu 4 cm spočítejte jeho obvod.

5. Ze dřevěné kostky o hraně 8 cm uřízneme roh u vrcholu G rovinou, která prochází středy hran GC, GF a GH. Jaký tvar a obsah má plocha řezu a kolik dřeva jsme uřízli?

Kam dál