Odchylka přímek

Vydáno dne 24. 5. 2008 v kategorii Stereometrie; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 122 860

Další, možná pro někoho trochu složitější část stereometrie.

Ano, dnes konečně opustíme problematiku řezů a posuneme se dál. Další kapitolou na které narazíme je odchylka dvou přímek. Bohužel se nejedná o tak lehkou látku jako řezy. Bude to hodně o počítání a znalost sinovy a kosinovy věty bude nutností.

Většinou budeme řešit odchylku přímek, které se nacházejí v krychli či jehlanu. My už víme, že v prostoru mohou nastat tři případy vzájemné polohy přímek. Různoběžné, rovnoběžné a mimoběžné. Je jasné, že v případě rovnoběžných přímek je jejich odchylka 0°. V případě různoběžných a mimoběžných přímek řešení není tak jednoduché. Obvykle musíme najít nějaký trojúhelník s jehož pomocí příklad vyřešíme.

Různoběžné přímky

Já vše nejraději vysvětluji na příkladech a proto i teď jeden zkusíme spočítat.

Zkuste schválně určit odchylku přímek AC a BD. V tomto případě se nejedná o nic těžkého. Bez nějakého počítání každý řekne 90°, ale musíme to umět i dokázat. Určeme si délku strany AB = 4cm. Úhlopříčka tedy podle pythagorovi věty měří přibližně 5.6cm. Jelikož všichni víme, že úhlopříčky se navzájem půlí. Díky tomuto pravidlu jsme už našli trojúhelník.

Úhel u vrcholu V spočítáme pomocí kosínovy věty:

cos |∠BVC|=(4^2-2.8^2-2.8^2)/(-2*.8*2.8)
cos |∠BVC|=-0.020408163
|∠BVC|=90°

Dost ale zkoušení v rovině, musíme procvičit i příklady v prostoru. Spočítejte odchylku přímek, které procházejí body krychle BG a GE. Délka hrany AB = 4cm.

Tento příklad je už těžší, protože musíme najít rovinu, ve které se obě přímky nalézají. Jedná se o rovinu BEG. Ještě musíme najít zbývající stranu trojúhelníku. V našem případě se jedná o stranu BE. Nyní bychom se mohli pustit do počítání úhlů, ale v tomto případě je to zbytečné. Všechny tři strany trojúhelníku BEG tvoří na krychli úhlopříčky a proto všechny tři strany mají stejnou délku. Jedná se tedy o trojúhelník rovnostranný a každý úhel v takovém trojúhelníku má 60° a proto i odchylka přímek BG a GE je rovna 60°. Později si toto ještě procvičíme, ale teď se musíme naučit počítat odchylku mimoběžek.

Mimoběžky

V zásadě je to úplně stejné jako počítat odchylku různoběžek. Stačí posunout jednu přímku do stejné roviny, kde se nachází druhá přímka. Určete odchylku přímek CF a AH.

Máme dva způsoby řešení. Buď posuneme přímku AH nebo CF. Já jsem si vybral posunutí přímky AH. Musíme ji posunout do stejné roviny, jako se nachází přímka CF. Jedná se tedy o rovinu BCF.

Přímka AH se promítla do přímky BG.

Nyní máme tedy obě přímky ve stejné rovině a můžeme postupovat s výpočtem stejně jako u různoběžných přímek. A protože takový příklad jsem už řešili, stačí říci, že odchylka přímek CF a AH je 90°.

Jehlan

Při řešení odchylek přímek, které se nacházejí na jehlanu, postupujeme úplně stejně jako když počítáme odchylku přímek na krychli. Máme jehlan ABCDV. |AB|=6cm a v=7cm. Spočítejte odchylku přímek AC a AV

Musíme najít trojúhelník, podle něhož budeme určovat odchylku přímek. V našem případě se jedná o trojúhelník ACS. Bod S je ve středu podstavy. Musíme spočítat délku AS, což je polovina úhlopříčky.