Odchylka přímek

Odchylka dvou přímek je velikost menšího z úhlů, které přímky svírají. Vychází vždy od 0° do 90°: rovnoběžné přímky mají odchylku 0°, kolmé 90°. U mimoběžek se jedna přímka nejdřív rovnoběžně posune tak, aby protínala druhou, a měří se úhel posunuté přímky s druhou přímkou. Když znáte směrové vektory obou přímek, spočítá se odchylka vzorcem:

`\displaystyle \cos\varphi = \frac{|\vec u \cdot \vec v|}{|\vec u|\cdot|\vec v|}`

V krychli nebo v jehlanu se obvykle postupuje bez souřadnic: obě přímky (nebo jejich rovnoběžky) se doplní na trojúhelník a úhel se spočítá z jeho stran, v pravoúhlém trojúhelníku goniometrickými funkcemi, jinak kosinovou větou.

Níže je postup krok za krokem, sedm řešených příkladů na krychli, jehlan a kvádr, výpočet ze směrových vektorů v prostoru i v rovině, tabulka odchylek v krychli a šest příkladů k procvičení s řešením. Ze směrových vektorů vám odchylku spočítá kalkulačka odchylky dvou přímek.

Co je odchylka dvou přímek

Dvě přímky v prostoru mohou být rovnoběžné, různoběžné nebo mimoběžné (neleží v jedné rovině a nemají společný bod). Jak o tom rozhodnout ze souřadnic, ukazuje článek vzájemná poloha dvou přímek. Odchylka je definovaná pro všechny tři:

• Rovnoběžné (i totožné) přímky mají odchylku 0°.
• Různoběžky svírají dva úhly, `\varphi` a `180^\circ - \varphi`. Odchylkou je ten menší z nich, takže nikdy nepřesáhne 90°. Když jsou oba úhly 90°, jsou přímky kolmé.
• Mimoběžky se neprotínají, a úhel mezi nimi proto nejde změřit přímo. Zvolíme bod M na přímce q a vedeme jím přímku p′ rovnoběžnou s p. Odchylka mimoběžek p a q je odchylka různoběžek p′ a q.

Na volbě bodu M nezáleží, ani na tom, kterou z přímek posuneme: rovnoběžné posunutí úhel nemění. Mimoběžky tedy mohou být i kolmé, i když se nikde neprotínají. V krychli jsou takové třeba hrany AB a CG.

Jak vypočítat odchylku přímek v tělese

1. Zjistěte vzájemnou polohu. Rovnoběžky mají odchylku 0° a je hotovo. Různoběžky mají společný bod, a to je vrchol hledaného úhlu.
2. Mimoběžku posuňte. Najděte přímku rovnoběžnou s jednou z nich, která prochází bodem té druhé. V krychli to bývá hrana nebo úhlopříčka rovnoběžné stěny, protější stěny krychle jsou shodné a rovnoběžné.
3. Doplňte trojúhelník. Na každém rameni úhlu zvolte bod, jehož vzdálenosti znáte, a spojte je. Nejlépe vrcholy tělesa nebo středy hran.
4. Spočítejte délky stran, obvykle Pythagorovou větou: stěnová úhlopříčka krychle o hraně a má délku `a\sqrt{2}`, tělesová `a\sqrt{3}`.
5. Spočítejte úhel. V pravoúhlém trojúhelníku sinem, kosinem nebo tangentem, jinak kosinovou větou. Vyjde-li tupý úhel, odchylka je `180^\circ - \varphi`.

Úhel se nikdy neměří v obrázku. Ve volném rovnoběžném promítání se pravý úhel často kreslí jako 45° nebo 135°, proto se počítá z délek.

Řešené příklady

Ve všech příkladech s krychlí má krychle ABCDEFGH hranu `a = 4\ \mathrm{cm}`. Brzy uvidíte, že na délce hrany výsledek nezávisí.

Příklad 1 - dvě stěnové úhlopříčky ze společného vrcholu

Určete odchylku přímek BG a GE.

Přímky jsou různoběžné, protínají se v bodě G. Doplníme trojúhelník BEG. Všechny jeho tři strany jsou úhlopříčky stěn krychle, takže mají stejnou délku `4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}`. Trojúhelník je rovnostranný a každý jeho úhel má 60°. Odchylka přímek BG a GE je 60°, nic dalšího počítat nemusíme.

Příklad 2 - mimoběžné úhlopříčky protějších stěn

Určete odchylku přímek CF a AH.

Přímka CF leží ve stěně BCGF, přímka AH v protější stěně ADHE. Nemají společný bod a nejsou rovnoběžné, jsou to mimoběžky. Posuneme přímku AH o hranu AB: vznikne úhlopříčka BG, protože ABGH je obdélník (úhlopříčný řez krychle), a jeho protější strany AH a BG jsou rovnoběžné.

Úsečky BG a CF jsou úhlopříčky čtverce BCGF, protínají se v jeho středu X a úhlopříčky čtverce jsou na sebe kolmé. Odchylka přímek CF a AH je proto 90°. Mimoběžky jsou kolmé, i když se nikde neprotínají.

Příklad 3 - tělesová úhlopříčka a mimoběžná hrana

Určete odchylku přímek AG a EF.

Hrana EF je rovnoběžná s hranou AB, a ta s úhlopříčkou AG má společný bod A. Hledáme tedy úhel GAB. Trojúhelník ABG je pravoúhlý s pravým úhlem u vrcholu B, protože hrana AB je kolmá k celé stěně BCGF, a tedy i k úsečce BG v ní.

`\begin{gathered} |AB| = a, \quad |AG| = a\sqrt{3} \\[10pt] \displaystyle \cos\varphi = \frac{|AB|}{|AG|} = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \doteq 0{,}577 \end{gathered}`

Odchylka je φ ≐ 54°44′. Hrana a se ze zlomku zkrátila, takže tělesová úhlopříčka svírá tento úhel s každou hranou krychle libovolné velikosti.

Příklad 4 - dvě tělesové úhlopříčky

Určete odchylku přímek BH a EC.

Obě tělesové úhlopříčky leží v obdélníku BCHE (úhlopříčný řez krychle) a protínají se v jeho středu O, který je zároveň středem krychle. Obdélník má strany `|BC| = a = 4\ \mathrm{cm}` a `|CH| = a\sqrt{2}`, jeho úhlopříčky mají délku `a\sqrt{3}` a navzájem se půlí:

`\displaystyle |OB| = |OC| = \frac{a\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}`

Trojúhelník BOC není pravoúhlý, použijeme kosinovou větu pro stranu BC:

`\begin{gathered} |BC|^2 = |OB|^2 + |OC|^2 - 2\,|OB|\,|OC|\cos\varphi \\[10pt] 16 = 12 + 12 - 2\cdot 12\cos\varphi \\[10pt] \displaystyle \cos\varphi = \frac{8}{24} = \frac{1}{3} \end{gathered}`

Odchylka je φ ≐ 70°32′. Kdybychom vzali trojúhelník BOE s delší stranou `|BE| = 4\sqrt{2}`, vyšel by kosinus úhlu BOE záporný, `-\frac{1}{3}`, a úhel 109°28′. To je druhý úhel stejné dvojice přímek, tupý, a odchylkou je `180^\circ - 109^\circ 28' = 70^\circ 32'`.

Příklad 5 - boční hrana a úhlopříčka podstavy jehlanu

Pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV má podstavnou hranu `|AB| = 6\ \mathrm{cm}` a výšku `v = 7\ \mathrm{cm}`. Určete odchylku přímek AC a AV.

Přímky se protínají v bodě A. Pata výšky je střed podstavy S, který leží na úhlopříčce AC. Trojúhelník ASV je proto pravoúhlý s pravým úhlem u S, a úhel u vrcholu A je hledaná odchylka. Odvěsna AS je polovina úhlopříčky podstavy:

`\begin{gathered} \displaystyle |AS| = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \doteq 4{,}243\ \mathrm{cm} \\[10pt] \displaystyle \operatorname{tg}\varphi = \frac{|SV|}{|AS|} = \frac{7}{3\sqrt{2}} \doteq 1{,}650 \end{gathered}`

Odchylka je φ ≐ 58°47′. Kontrola přes kosinus: boční hrana má délku `|AV| = \sqrt{18 + 49} = \sqrt{67} \doteq 8{,}185\ \mathrm{cm}` a `\cos\varphi = 4{,}243 : 8{,}185 \doteq 0{,}518`, tedy opět 58°47′. Kdo počítá se zaokrouhleným 4,2 : 8,1, dostane 58°46′. Proto se úhly počítají z přesných hodnot.

Příklad 6 - mimoběžky v jehlanu

Ve stejném jehlanu určete odchylku přímek AV a CD.

Boční hrana AV a podstavná hrana CD jsou mimoběžky. Hranu CD posuneme do rovnoběžné hrany AB, která prochází bodem A. Hledáme úhel VAB v boční stěně ABV. Ta je rovnoramenný trojúhelník s rameny `|AV| = |BV| = \sqrt{67}`, takže výška z vrcholu V dopadá do středu hrany AB, 3 cm od bodu A:

`\displaystyle \cos\varphi = \frac{3}{\sqrt{67}} \doteq 0{,}367`

Odchylka je φ ≐ 68°30′. Stejnou odchylku svírá boční hrana AV se všemi čtyřmi podstavnými hranami: CD je rovnoběžná s AB, BC s AD a boční stěny ABV a ADV jsou shodné.

Příklad 7 - tyčka v krabici

Krabice od bot má tvar kvádru s rozměry 30 cm, 20 cm a 12 cm. Do krabice vložíme tenkou tyčku z jednoho dolního rohu do protějšího horního rohu. Jakou odchylku svírá tyčka s delší hranou víka, která s ní nemá společný bod?

Tyčka je tělesová úhlopříčka kvádru a hrana víka je s ní mimoběžná. Posuneme hranu víka do rovnoběžné dolní hrany délky 30 cm, která vychází z rohu tyčky. Stejně jako v příkladu 3 vznikne pravoúhlý trojúhelník, jehož přeponou je tyčka:

`\begin{gathered} u = \sqrt{30^2 + 20^2 + 12^2} = \sqrt{1444} = 38\ \mathrm{cm} \\[10pt] \displaystyle \cos\varphi = \frac{30}{38} \doteq 0{,}789 \end{gathered}`

Odchylka je φ ≐ 37°52′. Kontrola rozumnosti: tyčka vede hlavně podél nejdelšího rozměru krabice, takže s hranou 30 cm svírá malý úhel. S hranou 12 cm by svírala 71°35′.

Odchylka přímek pomocí směrových vektorů

V analytické geometrii jsou přímky zadané bodem a směrovým vektorem. Odchylka přímek je úhel jejich směrových vektorů, jen s jedním rozdílem: úhel dvou vektorů může být tupý, odchylka přímek ne. Proto je ve vzorci v čitateli absolutní hodnota skalárního součinu:

`\displaystyle \cos\varphi = \frac{|u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3|}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}\cdot\sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}}`

Na poloze přímek vzorec nezávisí, dává stejný výsledek pro různoběžky i pro mimoběžky. Přímky jsou kolmé právě tehdy, když je skalární součin jejich směrových vektorů nulový. Jak se skalární součin počítá, vysvětluje článek skalární součin.

Příklad 4 znovu, tentokrát v souřadnicích

Umístíme krychli s hranou 4 do soustavy souřadnic tak, aby `A = [0;\ 0;\ 0]`. Pak `B = [4;\ 0;\ 0]`, `H = [0;\ 4;\ 4]`, `E = [0;\ 0;\ 4]`, `C = [4;\ 4;\ 0]`. Směrové vektory:

`\begin{gathered} \vec u = H - B = (-4;\ 4;\ 4) \\[10pt] \vec v = C - E = (4;\ 4;\ {-4}) \\[10pt] \vec u \cdot \vec v = -16 + 16 - 16 = -16 \\[10pt] \displaystyle \cos\varphi = \frac{|-16|}{\sqrt{48}\cdot\sqrt{48}} = \frac{16}{48} = \frac{1}{3} \end{gathered}`

Vychází stejných 70°32′ jako kosinovou větou. Bez absolutní hodnoty by vyšel kosinus záporný a úhel 109°28′, tedy úhel vektorů, ne odchylka přímek. Zkontrolovat si to můžete v kalkulačce odchylky dvou přímek, která ukáže oba úhly.

Odchylka dvou přímek v rovině

V rovině platí stejný vzorec, jen se dvěma souřadnicemi. Přímky bývají zadané obecnou rovnicí `ax + by + c = 0`; vektor `(a;\ b)` je normálový, ale úhel normál je stejný jako úhel přímek, takže ho lze použít rovnou. Pro přímky `p\colon 2x - y + 3 = 0` a `q\colon x + 3y - 1 = 0`:

`\begin{gathered} \vec n_p = (2;\ {-1}), \quad \vec n_q = (1;\ 3) \\[10pt] \displaystyle \cos\varphi = \frac{|2 \cdot 1 + (-1) \cdot 3|}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{50}} \doteq 0{,}141 \end{gathered}`

Odchylka je φ ≐ 81°52′. Pokud máte přímky ve směrnicovém tvaru `y = kx + q`, platí také:

`\displaystyle \operatorname{tg}\varphi = \left|\frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2}\right|`

Tady `k_1 = 2` a `k_2 = -\frac{1}{3}`, takže `\operatorname{tg}\varphi = \left|\frac{-7/3}{1/3}\right| = 7` a opět φ ≐ 81°52′. Když je `1 + k_1 k_2 = 0`, jsou přímky kolmé. Tento výpočet provede i kalkulačka odchylky dvou přímek v rovině.

Tabulka: odchylky přímek v krychli

V krychli se opakuje jen několik málo hodnot a žádná nezávisí na délce hrany. Stojí za to je znát, zkontrolujete s nimi každý výpočet. Celý přehled i s délkami pro zadanou hranu vypíše kalkulačka odchylek v krychli.

Časté chyby

• Tupý úhel jako výsledek. Odchylka přímek je nejvýš 90°. Když kosinová věta nebo skalární součin dá záporný kosinus, výsledek odečtěte od 180°, případně rovnou dosaďte absolutní hodnotu.
• Úhel změřený v prostorovém obrázku. V příkladu 2 jsou přímky kolmé, i když na obrázku vůbec kolmé nevypadají. Úhly se čtou jen z trojúhelníku, jehož strany jste spočítali.
• Posunutí na nerovnoběžnou přímku. Mimoběžku posouvejte jen na přímku s ní opravdu rovnoběžnou: hrana na hranu stejného směru, úhlopříčka stěny na úhlopříčku protější stěny, ale jen tu se stejným směrem (AH je rovnoběžná s BG, ne s CF).
• Mimoběžky „nemají odchylku“. Mají, a může být i 90°. Že se přímky neprotínají, neznamená, že je úhel nulový.
• Zaokrouhlené mezivýsledky. Délky nechávejte jako odmocniny, nebo je dosazujte s dostatkem desetinných míst. V příkladu 5 posunulo zaokrouhlení výsledek o minutu.
• Záměna s úhlem vektorů. Úhel vektorů může být až 180°, odchylka přímek jen do 90°. U odchylky přímky a roviny se navíc počítá se sinem, ne s kosinem, viz odchylka přímky a roviny.

Procvičování

Krychle ABCDEFGH má hranu `a = 4\ \mathrm{cm}`, pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV podstavnou hranu 6 cm a výšku 7 cm, jako v příkladech výše. Výsledky jsou zaokrouhlené na minuty.

Kam dál

Ze směrových vektorů odchylku spočítá kalkulačka odchylky dvou přímek, pro přímky zadané rovnicí v rovině je tu kalkulačka odchylky přímek v rovině a všechny obvyklé odchylky v krychli najednou přehled odchylek v krychli. Další úlohy v prostoru jsou v přehledu stereometrie. Protože každá odchylka končí v trojúhelníku, vyplatí se mít v ruce goniometrii: procvičte si ji ve cvičení goniometrie v trojúhelníku. Na odchylku přímky od roviny v krychli je cvičení odchylka přímky a roviny.

• Odchylky: odchylka přímky a roviny, odchylka dvou rovin.
• Analyticky: metrické úlohy v prostoru, skalární součin.
• Základy: vzájemná poloha přímek, úvod do stereometrie, goniometrické funkce v trojúhelníku.