Polární systém souřadnic

Polární souřadnice určují bod v rovině dvěma čísly: vzdáleností `r` od počátku a úhlem `\varphi`, který spojnice bodu s počátkem svírá s kladnou poloosou `x`. Úhel se měří proti směru hodinových ručiček. Bod zapisujeme `A[r;\ \varphi]`, například `A[3;\ 30^\circ]` leží tři jednotky od počátku ve směru 30°.

Mezi polárními a kartézskými souřadnicemi se převádí těmito vzorci:

`\begin{gathered}x = r\cos\varphi \qquad y = r\sin\varphi \\[10pt] r = \sqrt{x^2 + y^2} \qquad \mathrm{tg}\,\varphi = \dfrac{y}{x}\end{gathered}`

Z polárních do kartézských stačí dosadit. Opačným směrem je jediný háček: úhel z tangensu je třeba ještě posunout podle kvadrantu, ve kterém bod leží. Obojí je níže rozebrané na příkladech.

Polární souřadnice se hodí všude, kde se něco točí nebo měří od jednoho středu: radar, kruhové pohyby ve fyzice, goniometrický tvar komplexních čísel nebo křivky jako spirála, které se v kartézských souřadnicích zapisují jen těžko.

Polární soustava souřadnic

Polární soustava souřadnic má jeden pevný bod, pól `O` (v kartézské soustavě je to počátek), a jednu polopřímku z něj, polární osu (kladná poloosa `x`). Každý bod `A` různý od pólu je pak určen:

• vzdáleností `r = |OA|`, které se říká také průvodič; vždy `r \gt 0`,
• polárním úhlem `\varphi` mezi polární osou a polopřímkou `OA`, obvykle z intervalu `\langle 0^\circ;\ 360^\circ)`, v radiánech `\langle 0;\ 2\pi)`.

Na obrázku je vidět i to, odkud se berou převodní vzorce. Úsečka `OA`, její průmět na osu `x` a svislá spojnice k ose tvoří pravoúhlý trojúhelník s přeponou `r` a úhlem `\varphi` u počátku. Odvěsny jsou proto `r\cos\varphi` a `r\sin\varphi` (viz Úvod do goniometrie) a přepona podle Pythagorovy věty `r = \sqrt{x^2+y^2}`. Pro úhly větší než 90° platí vzorce také, jen sinus nebo kosinus vyjde záporný, přesně jako na jednotkové kružnici.

Jak zakreslit bod do polární sítě

Polární síť tvoří soustředné kružnice (stejné `r`) a paprsky z pólu (stejné `\varphi`). Bod `B[2;\ 135^\circ]` najdete tak, že od polární osy otočíte o 135° proti směru hodinových ručiček a po tomto paprsku odměříte 2 dílky.

Jeden bod, mnoho zápisů

V kartézské soustavě má každý bod jediné souřadnice. V polární ne: přičtením celé otočky se bod nezmění, takže

`[3;\ 30^\circ] = [3;\ 390^\circ] = [3;\ {-3}30^\circ]`

Pól má `r = 0` a úhel libovolný. Proto se úhel omezuje na jednu otočku `\langle 0^\circ;\ 360^\circ)`, případně `(-180^\circ;\ 180^\circ\rangle`. Zadání obvykle říká, který interval chce.

Některé učebnice a většina softwaru připouští i záporné `r`: bod `[-r;\ \varphi]` leží na opačném paprsku, tedy `[-r;\ \varphi] = [r;\ \varphi + 180^\circ]`. Například `[-3;\ 210^\circ] = [3;\ 30^\circ]`. Pokud s tím zadání nepracuje, držte se `r \gt 0`.

Převod z polárních do kartézských souřadnic

`\begin{gathered}x = r\cos\varphi \\[4pt] y = r\sin\varphi\end{gathered}`

Tady žádná výjimka není, vzorce platí pro každý úhel a znaménka vyjdou sama.

Příklad 1

Převeďte bod `A[4;\ 45^\circ]` do kartézských souřadnic.

`\begin{gathered}x = 4\cos 45^\circ = 4\cdot\dfrac{\sqrt2}{2} = 2\sqrt2 \doteq 2{,}83 \\[10pt] y = 4\sin 45^\circ = 4\cdot\dfrac{\sqrt2}{2} = 2\sqrt2 \doteq 2{,}83\end{gathered}`

`A[2\sqrt2;\ 2\sqrt2]`. Kontrola: `\sqrt{(2\sqrt2)^2 + (2\sqrt2)^2} = \sqrt{16} = 4`, vzdálenost sedí, a obě souřadnice jsou stejné, jak se na úhel 45° patří.

Příklad 2

Převeďte bod `B[6;\ 150^\circ]` do kartézských souřadnic.

Úhel 150° je ve druhém kvadrantu, kde je kosinus záporný a sinus kladný: `\cos 150^\circ = -\frac{\sqrt3}{2}`, `\sin 150^\circ = \frac12`.

`\begin{gathered}x = 6\cdot\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right) = -3\sqrt3 \doteq -5{,}20 \\[10pt] y = 6\cdot\dfrac12 = 3\end{gathered}`

`B[-3\sqrt3;\ 3]`, tedy vlevo nahoře, kam úhel 150° míří. Hodnoty sinu a kosinu pro libovolný úhel spočítá kalkulačka goniometrických funkcí a nakreslí kalkulačka jednotkové kružnice.

Příklad 3 (úhel v radiánech)

Převeďte bod `C[2;\ \pi]` do kartézských souřadnic.

`\begin{gathered}x = 2\cos\pi = 2\cdot(-1) = -2 \\[4pt] y = 2\sin\pi = 2\cdot 0 = 0\end{gathered}`

`C[-2;\ 0]`. Úhel π je 180°, bod leží na záporné poloose `x`. Pokud počítáte na kalkulačce, přepněte ji do radiánů (RAD), jinak spočítá `\cos 3{,}14^\circ`. Převod mezi jednotkami udělá převod radiánů na stupně.

Převod z kartézských do polárních souřadnic

Vzdálenost je vždy jen Pythagorova věta. Úhel se dopočítá z tangensu, tedy funkcí arkustangens (na kalkulačce `\tan^{-1}`), a pak se opraví podle kvadrantu:

`\begin{gathered}r = \sqrt{x^2 + y^2} \\[10pt] \varphi_0 = \mathrm{arctg}\,\dfrac{y}{x}\end{gathered}`

Arkustangens vrací úhly jen mezi −90° a 90°, tedy správně jen pro body vpravo od osy `y`. Body `P[2;\ 1]` a `Q[-2;\ {-1}]` mají stejný poměr `\frac{y}{x} = \frac12`, a kalkulačka jim proto dá stejný úhel, přestože leží na opačných stranách pólu:

Oprava podle kvadrantu (úhel v `\langle 0^\circ;\ 360^\circ)`):

Na ose `y` vzorec vůbec nejde použít, protože by se dělilo nulou. Nejspolehlivější je načrtnout si bod: z obrázku je kvadrant vidět hned a výsledek se dá odhadnout.

Příklad 4

Převeďte bod `A[3;\ 4]` do polárních souřadnic.

`\begin{gathered}r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \\[10pt] \varphi = \mathrm{arctg}\,\dfrac43 \doteq 53{,}13^\circ\end{gathered}`

Bod je v prvním kvadrantu, takže nic neopravujeme: `A[5;\ 53{,}13^\circ]`, ve stupních a minutách asi 53°8′. Kontrola zpátky: `5\cos 53{,}13^\circ \doteq 3{,}00` a `5\sin 53{,}13^\circ \doteq 4{,}00`.

Příklad 5

Převeďte bod `B[-1;\ 1]` do polárních souřadnic.

`\begin{gathered}r = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt2 \\[10pt] \varphi_0 = \mathrm{arctg}\,\dfrac{1}{-1} = \mathrm{arctg}\,(-1) = -45^\circ\end{gathered}`

Kalkulačka ukáže −45°, což je směr do čtvrtého kvadrantu. Bod ale leží vlevo nahoře, ve druhém kvadrantu, takže přičteme 180°: `\varphi = -45^\circ + 180^\circ = 135^\circ`. Výsledek `B[\sqrt2;\ 135^\circ]`, v radiánech `B[\sqrt2;\ \frac{3\pi}{4}]`.

Příklad 6

Převeďte bod `C[5;\ {-1}2]` do polárních souřadnic.

`\begin{gathered}r = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \\[10pt] \varphi_0 = \mathrm{arctg}\,\dfrac{-12}{5} \doteq -67{,}38^\circ\end{gathered}`

Čtvrtý kvadrant, přičteme 360°: `\varphi \doteq 292{,}62^\circ`, tedy `C[13;\ 292{,}62^\circ]`. Když zadání připouští úhly z `(-180^\circ;\ 180^\circ\rangle`, je správně i `C[13;\ {-6}7{,}38^\circ]`. Úhel z hodnoty tangensu spočítá kalkulačka arkustangens, kvadrant ale musíte určit sami.

Kdo počítá v programu, má to jednodušší: funkce atan2(y, x) v Pythonu, JavaScriptu nebo C bere obě souřadnice zvlášť a kvadrant určí sama. Vrací úhel v radiánech z `(-\pi;\ \pi\rangle`. Pozor na tabulkové procesory: v Excelu má ATAN2 (v české verzi ARCTG2) argumenty v obráceném pořadí, nejdřív `x`, pak `y`.

Vzdálenost dvou bodů v polárních souřadnicích

Dva body, pól a úhel mezi nimi tvoří trojúhelník, ve kterém známe dvě strany a úhel, který svírají. Vzdálenost bodů je tedy kosinová věta:

`|AB| = \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos(\varphi_2 - \varphi_1)}`

Příklad 7

Jak daleko od sebe jsou body `A[3;\ 20^\circ]` a `B[5;\ 80^\circ]`?

`\begin{aligned} |AB|^2 &= 3^2 + 5^2 - 2\cdot 3\cdot 5\cdot\cos(80^\circ - 20^\circ) \\[4pt] &= 34 - 30\cdot\tfrac12 = 19 \\[4pt] |AB| &= \sqrt{19} \doteq 4{,}36 \end{aligned}`

Kontrola přes kartézské souřadnice: `A \doteq [2{,}82;\ 1{,}03]`, `B \doteq [0{,}87;\ 4{,}92]`, a kalkulačka vzdálenosti dvou bodů dá stejných 4,36. Když je rozdíl úhlů 90°, kosinus je nula a zbude Pythagorova věta.

Polární rovnice a jejich grafy

Křivka se dá zapsat i rovnicí mezi `r` a `\varphi`. Nejjednodušší případy:

• `r = 5` je kružnice se středem v pólu a poloměrem 5 (v kartézských souřadnicích `x^2 + y^2 = 25`),
• `\varphi = 45^\circ` je polopřímka z pólu pod úhlem 45°; se zápornými `r` celá přímka `y = x`.

Mezi polární a kartézskou rovnicí se převádí stejnými vztahy jako u bodů:

`x = r\cos\varphi \qquad y = r\sin\varphi \qquad x^2 + y^2 = r^2`

Příklad 8

Převeďte polární rovnici `r = 4\cos\varphi` na kartézskou.

Na první pohled nejde nic dosadit. Pomůže vynásobit obě strany `r`, protože pak vzniknou přesně výrazy ze vztahů výše:

`\begin{gathered}r^2 = 4r\cos\varphi \\[4pt] x^2 + y^2 = 4x \\[4pt] (x - 2)^2 + y^2 = 4\end{gathered}`

Je to kružnice se středem `[2;\ 0]` a poloměrem 2, která prochází pólem (poslední krok je doplnění na čtverec, viz článek Kružnice). Násobením `r` jsme k rovnici mohli přidat pól, ten ale na kružnici leží i tak: pro `\varphi = 90^\circ` je `r = 4\cos 90^\circ = 0`.

Příklad 9

Převeďte rovnici `x^2 + y^2 = 49` a rovnici `y = x^2` na polární.

První je přímo `r^2 = 49`, tedy `r = 7`. U druhé dosadíme za `x` i `y`:

`\begin{gathered}r\sin\varphi = r^2\cos^2\varphi \\[10pt] r = \dfrac{\sin\varphi}{\cos^2\varphi}\end{gathered}`

Dělili jsme `r` a `\cos^2\varphi`. Pól (`r = 0`) na parabole leží a výsledná rovnice ho dává pro `\varphi = 0^\circ`. Kde je `\cos\varphi = 0`, na parabole žádný bod neleží, takže nic neztrácíme. S kladným `r` stačí úhly `\varphi \in \langle 0^\circ;\ 180^\circ)` kromě 90°: `x = r\cos\varphi = \mathrm{tg}\,\varphi` tak projde všechna reálná čísla.

Křivky, které se kartézsky píšou špatně

Síla polárních rovnic je v křivkách, které se kolem pólu točí. Kardioida `r = 1 + \cos\varphi` (tvar srdce) má kartézskou rovnici čtvrtého stupně, Archimédova spirála `r = \varphi` v kartézských souřadnicích jednoduchou rovnici nemá vůbec.

Kartézský a polární souřadnicový systém

Časté chyby

• Tangens místo arkustangens. `\mathrm{tg}\,\varphi = \frac{y}{x}` je rovnice pro úhel; úhel sám je `\mathrm{arctg}\,\frac{y}{x}`. Zápis `\varphi = \mathrm{tg}\,\frac{y}{x}` je chyba, a to i v některých sbírkách.
• Zapomenutý kvadrant. Body `[1;\ 1]` a `[-1;\ {-1}]` dají na kalkulačce oba 45°. Kontrola: úhel musí mířit do kvadrantu, kde bod leží.
• Kalkulačka ve špatném režimu. V režimu RAD vyjde `\cos 60 \doteq -0{,}95` místo 0,5. Pokud vám převod vyjde s nesmyslným znaménkem, podívejte se nejdřív na DEG/RAD.
• Azimut není polární úhel. V navigaci a na mapách se úhel měří od severu po směru hodinových ručiček. Azimut 90° je východ, tedy polární úhel 0°; obecně polární úhel `= 90^\circ - \text{azimut}` (a případně + 360°).
• Dělení nulou na ose y. Pro `x = 0` vzorec s arkustangentem nejde použít; úhel je 90° nebo 270°.

Příklady k procvičení

Kam dál

Hodnoty sinu a kosinu, bez kterých se převod neobejde, si procvičíte v procvičování hodnot na jednotkové kružnici, výpočet vzdálenosti v procvičování Pythagorovy věty. Úhel z tangensu spočítá kalkulačka arkustangens, stupně na radiány převede převod stupňů na radiány a délku průvodiče ověří kalkulačka velikosti vektoru.

Souvislosti: Jednotková kružnice je polární síť s `r = 1`, Goniometrický tvar komplexního čísla jsou polární souřadnice v komplexní rovině a Analytická geometrie - Úvod zavádí kartézské souřadnice a vzdálenost bodů.