Polární systém souřadnic

Vydáno dne 13. 2. 2009 v kategorii Geometrie; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 30 861

Polární systém souřadnic je dvou-dimenzionální systém souřadnic, ve kterém je každý bod určen úhlem a vzdáleností od počátku.

Polární systém souřadnic je dvou-dimenzionální systém souřadnic, ve kterém je každý bod určen úhlem a vzdáleností. Převádění mezi známým kartézským systémem souřadnic a polárním systémem souřadnic se provádí za pomoci trigonometrických funkcí a Pythagorovi věty.

Každý bod je tedy definovaný pomocí dvou čísel - vzdálenosti bodu od počátku a úhlem, který svírá spojnice bodu s počátkem a přímky s úhlem 0° (v kartézském systému souřadnic by tato přímka byla kladná část osy x). Úhly měříme proti směru hodinových ručiček. Pro označení vzdálenosti bodu obvykle používáme značku a pro úhel písmeno řecké abecedy $\varphi$ .

Práce s tímto systémem souřadnic není složitá. Pokud například dostanete za úkol zvýraznit bod A[2, 45°], provedete to tak, že naleznete daný úhel a poté odměříte dva dílky na té stejné přímce na které leží úhel.

Jak vidíte, není to nic těžkého. Toto si můžete procvičit na několika příkladech:

Bod A[4, 30°]
Bod B[-4, 30°]
Bod C[2, 270°]
Bod D[2, -30°]
Bod E[0, 30°]

Najít bod A není těžké. Problémy by ale mohly dělat ostatní body. První souřadnice bodu B je negativní. Co to znamená je myslím celkem očividné. Budeme se na dané přímce pohybovat v opačném směru. Bod C není žádný velký oříšek. Ale u bodu D opět narážíme na problém. Tentokrát je druhá souřadnice negativní. To znamená, že budeme daný úhel odměřovat ve směru hodinových ručiček. Poslední bod E je na souřadnicích E[0, 30°]. Vzdálenost od počátku souřadnic je 0 a proto nemusíme ani dlouho nad ničím přemýšlet - bod E leží na počátku souřadného systému.

Tento souřadný systém umožňuje jednu věc, která v kartézském systému chybí. Každý bod můžeme zapsat nekonečně mnoha různými způsoby. Body [1, 30°], [1, 390°] a [-1, -150°] označují jeden bod. Nikdo po vás tedy samozřejmě nemůže chtít, abyste napsali všechny možné způsoby, ale mohlo by se stát, že budete vyzváni zapsat jeden bod čtyřmi způsoby a to tak, že φ ≤ 360.

Zapište bod A čtyřmi různými způsoby a to tak, že φ ≤ 360. První možnost je očividná: [3, 30°]. Další body je [3, -330°]. Zbývající dva body jsou [-3, -150°] a [-3, 210°]. Jak jsem k těmto hodnotám přišel? Nejprve jsem zjistil tu nejjednodušší možnost jak zapsat daný bod - vzdálenost i úhel kladný. Druhý bod má kladnou vzdálenost a úhel o velikosti -360-|φ|. Třetí bod má zápornou vzdálenost a úhel o velikosti 180-|menší ze dvou úhlů, které jste již použili| s opačným znaménkem. Čtvrtý úhel získáme stejným postupem jakým jsme získali druhý úhel - akorát tentokrát nebude sloužit jako předloha první, ale třetí bod. Pokud se vám tento postup zdá zmatený, tak vás mohu informovat - to se vám nezdá. Nejlehčí je se na obrázek pořádně podívat a dané souřadnice se vám za chvíli sami objeví v hlavě:-)

Převádění souřadnic

Souřadnice samozřejmě můžeme převádět z kartézského systému do polárního a naopak.

Z kartézských do polárních

Na převádění existuje jednoduchý vzoreček:

Tento vzoreček pochopitelně nespadl z nebe a my si nyní ukážeme, jak jsme ho získali (budeme pracovat s bodem X[2;2].

Bod je v polárním systému souřadnic určen vzdáleností od středu a úhlem, který svírá spojnice středu s bodem a kladnou poloosou x. Vzdálenost od středu určíme pomocí Pythagorovi věty (přejít na článek Pythagorova věta). Známe délky odvěsen x, y, spočítat délku přepony r tedy není problém: $r=\sqrt{x^2+y^2}$ . K vypočítání úhlu musíme použit trigonometrickou funkci tangens (přejít na článek Úvod do Goniometrie/Trigonometrie). Tangens je definovaný jako poměr protější strany ku přilehlé. Velikost úhlu tedy najdeme pomocí vzorečku $\varphi=\tan\frac{y}{x}$ .

Pozor! Určíme vzdálenosti od středu je vždy velmi jednoduché - pouze použijeme Pythagorovu větu. Ale získání velikosti úhlu již není tak jednoduché. Přestože jsem vám ukázal vzoreček, jakým tento úhel získat, ne vždy ho můžete použít. Použít ho můžete pouze tehdy, když se daný bod nachází v prvním kvadrantu. Pokud je v jakémkoliv jiném, doporučuji nakreslit obrázek.

Bod je v tomto případě ve třetím kvadrantu a proto si se vzorcem $\varphi=\tan\frac{y}{x}$ nevystačíme. My musíme najít úhel od kladné poloosy x. Abychom tento úhel spočítali, použijeme vzoreček $180+\tan\frac{y}{x}$ . Další věc, na kterou si musíte dát pozor je následující příklad:

Bod leží na ose y. Pokud byste použili pouze vzoreček na spočítání úhlu, dostanete následující výsledek: $\varphi = \tan\frac{x}{y}=\tan\frac{0}{2}=\tan 0=0^{\circ}$ . Pokud se na chvíli zamyslíte, dojde vám, že toto není správný výsledek. Úhel je samozřejmě 90°. Z předchozích dvou příkladů tedy plyne: Vždy si načrtněte danou situace a pak se teprve rozhodujte jaký vzoreček použít!

Z polárních do kartézských

Toto převádění je lehčí než předešlé a nebojte, tentokrát nebudou žádné výjimky - vždy bude možné aplikovat ten samý vzorec:

Tyto vzorečky jsme získali pomocí znalosti pravoúhlého trojúhelníku a goniometrických funkcí. Převeďte bod X[4; 45°] do kartézských souřadnic.

Polární rovnice

Pomocí polárních souřadnic lze vytvářet celou řadu zajímavých rovnice. A ještě zajímavější grafy. Například rovnice r=1 je kružnice o poloměru jednu s počátkem v bodě S[0;0]. Další rovnice může být například φ=45°. Grafem by v tomto případě byla přímka svírající úhel 45° s kladnou poloosou x a procházející počátkem. Další zajímavé grafy by byly například Cardiod (na wikipedii) nebo růže (na wikipedii).

I polární rovnice se dají převést do "kartézksých" rovnic. Vystačíme si se třemi substicemi a všechny tři už dobře znáte:

Procvičování

1) Převeďte bod X[2; π] do kartézských souřadnic:

Nejedná se o nic jiného, než o jednoduché dosazení do vzorečku.

x=2cosπ=2*(-1)=-2
y=2sinπ=2*0=0

Hledaný bod má souřadnice X[-2; 0].

2) Převeďte bod X[-1; 1] do polárních souřadnic:

V takovýchto příkladech vždy silně doporučuji nakreslit obrázek:

Vzdálenost od středu spočítáme jako $r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ a úhel spočítáme jako $\varphi=180-\tan\frac{1}{1}=180-45=135^{\circ}$ . Hledaný bod tedy je $X[\sqrt{2}; 135^{\circ}]$ .

3) Převeďte rovnici x^2+y^2=49 na polární rovnici.

Dobře se podívejte na ty tři substice, o kterých byla řeč před chvílí. Jednu z nich můžeme aplikovat na tento příklad - jedná se o r^2=x^2+y^2 . Z toho tedy plyne $r^2=49\rightarrow r=7$ .

Převeďte rovnici y=x² na polární rovnici:

Opět použijeme substice (tentokrát musíme použít dokonce dvě) a získáme rovnici $r\sin\varphi=(r\cos\varphi)^2$ . Tuto rovnici můžeme dále upravovat:

4) Převeďte polární rovnici 4cosφ=r na kartézskou rovnici:

Tento příklad je trochu těžší. Na první pohled není vidět žádná možná substice. Řešením je vynásobit celou rovnici r:

5) Převeďte polární rovnici r²=2 na kartézskou rovnici:

Proměnnou r² můžeme nahradit za x²+y². Výsledná rovnice tedy vypadá x²+y²=r².

6) Převeďte rovnici r=secφ na kartézskou rovnici:

Tentoi příklad by neměl představovat zas tak velký problém. V první řadě musíme sekans nahradit kosinem.

Toto by mělo stačit jako úvod do problematiky polárních souřadnic a práce s nimi. Pokud narazíte na jakýkoliv problém, ptejte se v komentářích.