Články » SŠ Matematika » Geometrie » Analytická geometrie

Analytická geometrie - Parametrické vyjádření přímky

Vydáno dne v kategorii Analytická geometrie; Autor: ; Počet přečtení: 93 119

Naučíme se parametricky popisovat přímku v rovině.


Přímku můžeme určit pomocí dvou bodů A, B. Tyto dva body tvoří vektor u=B-A. Tento vektor se nazývá směrový vektor.

Přímka

Přímku lze určit pomocí nekonečného počtu dvojic bodů. To ale neznamená, že by přímka měla nekonečně mnoho směrových vektor, protože každý z těchto směrových vektorů je nenulovým násobkem jiného směrového vektoru. Parametricky se tedy každá přímka p daná body A, B dá zapsat pomocí jednoho bodu a směrového vektoru.


Jedná se tedy o parametrické vyjádření přímky určené bodem A a vektorem u. Proměnná t se nazývá parametr a je z množiny reálných čísel. Tato rovnice se dá i trochu rozepsat pro jednotlivé souřadnice.


Procvičování

1) Zjistěte zda body leží na přímce q s parametrickým vyjádřením:

x=2-t
y=3+2t

Aby bod R mohl ležet na přímce T, musel by existovat takový parametr t, aby platilo:

3 = 2 - t
1 = 3 + 2*t

Vypočítáním první rovnice dostaneme t = -1 a z druhé rovnice dostaneme t = -1. Protože je v obou rovnicích hodnota proměnné t stejná, leží bod R na přímce q. Pro druhý bod se postupuje obdobně:

4 = 2 - t
t = -2
2 = 3 + 2*t
t = -0.5

Hodnota proměnné t je různá a proto bod P neleží na přímce q.

2) Zjistěte zda vektory jsou směrovými vektory přímky AB, když A[1;3] a B[-1;5].

Nejprve spočítáme vektor daný body B-A, tedy vektor o němž můžeme určitě říci, že je směrovým vektorem.


Aby mohl být vektor směrovým vektorem přímky, muselo by existovat takové reálné číslo k, aby platilo:


Rozepsáním pro jednotlivé souřadnice:

-2 = k*2
2 = k*4

Pokud spočítáme první rovnici vyjde nám, že k = -1 a z druhé rovnice dostaneme k = 0.5. Protože se výsledky nerovnají, není vektor směrovým vektorem přímky AB.

Obdobně se bude postupovat při ověřování dalších vektorů:



Proměnná k je stejná a proto je vektor směrovým vektorem přímky AB.



Opět vyšla proměnná k v obou případech stejná, takže vektor je směrovým vektorem přímky AB.

3) V trojúhelníku ABC určeném body najděte těžiště.

Trojúhelník

Označme bod P jako střed strany BC. Dále víme, že těžiště, tedy bod T, leží na 2/3 vektoru P-A. Takže můžeme souřadnice bodu T vyjádřit jako:


Takže když spočítáme souřadnice bodu P a dosadíme tyto souřadnice do předchozího vzorečku, získáme souřadnice těžiště.



4) Určete číslo p, aby vektor byl směrovým vektorem přímky .

Nejprve musíme najít směrový vektor .


A nyní musíme vyřešit soustavu rovnic o dvou neznámých:


tedy:

Vypočítáním této soustavy dojdeme k výsledku, že .

5) Určete číslo p, tak aby bod C[p+1; -p] ležel na přímce A[-1;3], B[1;1].

Nejprve musíme určit směrový vektor :


Nyní zkusíme dosadit souřadnice bodu C dosadit do parametrické rovnice přímky AB:


Jelikož tato soustava nemá řešení, nemůže bod C ležet na přímce AB.

6) Je dán vrchol A[3;-1], bod S[1;0], který je středem strany AB a těžiště T[2;1]. Určete zbývající vrcholy trojúhelníku ABC.

Nejprve určíme souřadnice bodu B:

B=[2*s1-a1; 2*s2-a2]
B=[-1; 1]

Nyní musíme určit souřadnice bodu P, který je ve středu strany BC. Použijeme vzorec ze třetího příkladu:


Dosadíme-li do tohoto vzorce souřadnice bodu T a bodu A, získáme souřadnice bodu P:

P=[1.5; 2]

A spočítat souřadnice bodu C již není problém:

C=[2*p1-b1; 2*p2-b2]
C=[4; 3]

Bod C má souřadnice [4;3].


Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Určete intervaly monotónnosti funkce na


Hlavolam

Jedna cihla váží jedno kilo a půl cihly, kolik kilo váží 2 cihly. Není to tak snadné, jak se mnohým na první pohled zdá. Výsledek totiž není 3 kg.