Články » SŠ Matematika » Funkce

Lineární lomená funkce

Vydáno dne v kategorii Funkce; Autor: ; Počet přečtení: 90 350

Úvod do problematiky lineární lomené funkce - definiční obor, náčrtek grafu a mnoho dalšího.


Lineární lomená funkce je funkce ve tvaru

Graf funkce

Grafem lineární lomené funkce je hyperbola a její předpis už jste viděli. Je zde ale jedna maličkost, na kterou si musíte dát pozor. Rovná-li se totiž , pak je grafem funkce přímka s předpisem .

Vlastnosti funkce

  • Definičním oborem jsou všechna reálná čísla až na jedno. Ve jmenovateli totiž nesmí být nula a proto víme, že . Upravením této nerovnice dojdeme k výsledku, že definičním oborem funkce je:
  • Oborem hodnot je
  • Funkce není omezená a nemá maximum ani minimum.
  • Pro se jedná o funkci rostoucí na celém svém definičním oboru.
  • Pro se jedná o funkci klesající na celém svém definičním oboru.
  • Funkce má dvě asymptoty:

Náčrtek grafu

Když dostanete za úkol načrtnout graf nějaké funkce, můžete spočítat její průběh, ale to je dlouhá a často obtížná cesta. Pokud ale poznáte, že se jedná o funkce lineárně lomenou, existuje pomůcka, jak její graf načrtnout. Pokud totiž dostaneme funkci do tvaru , tak její graf bez problémů načrtneme.

Převod lineární lomené funkce do předchozího tvaru je jednoduchý - stačí funkci vydělit jako dva mnohočleny:


Ovšem pamatovat si takovýto vzorec je asi zbytečné, lehčí je vždy mnohočleny vydělit.

Převeďte funkci na druhý tvar:


Platí tedy:

Převádět tedy umíte. Nyní k samotnému náčrtu grafu podle předpisu :

Je-li , pak funkce je rostoucí. Je-li , funkce je klesající. Parametry , určují posun po ose x, y. Posunuje o ve směru kladné poloosy x a o ve směru kladné poloosy y.

Pro funkci to vypadá následovně:

Vyzkoušíme si to ještě jednou. Určete definiční obor a obor hodnot funkce

Definiční obor a obor hodnot získáme pouhým dosazením do vzorečku.

Abychom mohli načrtnout graf, musíme funkci upravit:


Z tohoto tvaru již graf načrtnete jistě snadno:


Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Nalezněte maximum funkce na intervalu .


Hlavolam

Byl jednou jeden mladý kouzelník a ten se šíleně zamiloval do jediné dcery krále, kterému sloužil. Ta ho taky hrozně milovala (dokázal jí kdykoliv vykouzlit květiny :-). Ale otec král tomu vůbec nepřál. Chtěl pro svou dceru nějakého urozeného a bohatého ženicha a ne takového nekňubu, jako byl kouzelník (jak si myslel). Intrikami, se mu ho podařilo křivě obvinit z krádeže a uvrhnout do žaláře. Ale kouzelník byl moc populární mezi lidem a tak ho nemohl dát jen tak jednoduše popravit, jak by rád. Vymyslel tedy na něj lest: u soudu mu dal možnost losování vlastní smrti. Řekl: "Zde v klobouku jsou dvě kuličky: černá a bílá. Vylosuješ-li si bílou, budeš žít. Ale vytáhneš-li z klobouku černou, zemřeš." Vypadalo to jako férová šance, ale král, který nechtěl nic riskovat, mu tam dal obě kuličky černé. Kouzelník naštěstí nebyl hloupý a dovtípil se to. Jak to jenom navléct, aby přežil ...