Lineární lomená funkce

Lineární lomená funkce je funkce ve tvaru

Grafem lineární lomené funkce je hyperbola a její předpis už jste viděli. Je zde ale jedna maličkost, na kterou si musíte dát pozor. Rovná-li se totiž , pak je grafem funkce přímka s předpisem .

Vlastnosti funkce

• Definičním oborem jsou všechna reálná čísla až na jedno. Ve jmenovateli totiž nesmí být nula a proto víme, že . Upravením této nerovnice dojdeme k výsledku, že definičním oborem funkce je:
• Oborem hodnot je
• Funkce není omezená a nemá maximum ani minimum.
• Pro se jedná o funkci rostoucí na celém svém definičním oboru.
• Pro se jedná o funkci klesající na celém svém definičním oboru.
• Funkce má dvě asymptoty:

Náčrtek grafu

Když dostanete za úkol načrtnout graf nějaké funkce, můžete spočítat její průběh, ale to je dlouhá a často obtížná cesta. Pokud ale poznáte, že se jedná o funkce lineárně lomenou, existuje pomůcka, jak její graf načrtnout. Pokud totiž dostaneme funkci do tvaru , tak její graf bez problémů načrtneme.

Převod lineární lomené funkce do předchozího tvaru je jednoduchý - stačí funkci vydělit jako dva mnohočleny:

Ovšem pamatovat si takovýto vzorec je asi zbytečné, lehčí je vždy mnohočleny vydělit.

Převeďte funkci na druhý tvar:

Platí tedy:

Převádět tedy umíte. Nyní k samotnému náčrtu grafu podle předpisu :

Je-li , pak funkce je rostoucí. Je-li , funkce je klesající. Parametry , určují posun po ose x, y. Posunuje o ve směru kladné poloosy x a o ve směru kladné poloosy y.

Pro funkci to vypadá následovně:

Vyzkoušíme si to ještě jednou. Určete definiční obor a obor hodnot funkce

Definiční obor a obor hodnot získáme pouhým dosazením do vzorečku.

• 
• 

Abychom mohli načrtnout graf, musíme funkci upravit:

Z tohoto tvaru již graf načrtnete jistě snadno: