Směrnicová rovnice přímky

Směrnicová rovnice přímky (také směrnicový tvar přímky) je zápis přímky v rovině ve tvaru `y=kx+q`. Číslo k je směrnice: říká, o kolik se změní y, když se x zvětší o 1, a tedy jak strmě přímka stoupá nebo klesá. Číslo q říká, kde přímka protíná osu y, a to v bodě `[0;\ q]`.

`p:\ y=kx+q`

Například přímka `y=2x+1` má směrnici `k=2` a osu y protíná v bodě `[0;\ 1]`. Každý bod `X[x;\ y]`, jehož souřadnice rovnici splňují, na přímce leží, a žádný jiný.

Směrnicovým tvarem jde zapsat každou přímku kromě svislých, tedy rovnoběžných s osou y. Svislá přímka má rovnici `x=c` a směrnici nemá, protože na ní se x nemění vůbec. Pokud znáte lineární funkci `f:\ y=ax+b`, je to tentýž zápis, jen s jinými písmeny: grafem lineární funkce je přímka a její směrnice je koeficient a.

Co je směrnice přímky

Směrnice je poměr změny y ku změně x mezi libovolnými dvěma body přímky. Když přímka prochází body `A[x_1;\ y_1]` a `B[x_2;\ y_2]`, je

`\displaystyle k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}`

Na obrázku je přímka `y=2x+1`. Kdekoli na ní udělejte krok o 1 doprava a přímka stoupne o 2. To je směrnice `k=2`. Krok o 3 doprava by znamenal stoupnutí o 6. Poměr je všude stejný, protože je to přímka.

Směrnice má i úhlový význam. Úhel φ, o který je přímka otočená od kladné poloosy x proti směru hodinových ručiček, se nazývá směrový úhel. Leží mezi `0^\circ` a `180^\circ` a platí pro něj

`k=\mathrm{tg}\,\varphi`

Pro přímku `y=2x+1` je `\mathrm{tg}\,\varphi=2`, tedy `\varphi\doteq 63{,}43^\circ`. Proč tangens: v trojúhelníku s odvěsnami `\Delta x` a `\Delta y` je `\Delta y` protilehlá a `\Delta x` přilehlá odvěsna k úhlu φ, viz úvod do goniometrie. Svislá přímka by měla `\varphi=90^\circ` a `\mathrm{tg}\,90^\circ` neexistuje, což je tentýž důvod, proč nemá směrnici.

Ze znaménka směrnice se hned pozná, kam přímka míří:

• `k\gt 0`: přímka zleva doprava stoupá, směrový úhel je ostrý,
• `k\lt 0`: přímka klesá, směrový úhel je tupý,
• `k=0`: přímka je vodorovná, rovnice je `y=q`,
• čím větší `|k|`, tím je přímka strmější.

Několik směrnic a jejich směrových úhlů:

Co znamená q

Dosaďte do `y=kx+q` hodnotu `x=0` a vyjde `y=q`. Číslo q je tedy y-ová souřadnice průsečíku přímky s osou y, někdy se mu říká úsek na ose y. Přímky `y=kx` (s `q=0`) procházejí počátkem.

Průsečík s osou x se najde z podmínky `y=0`: `0=kx+q`, tedy `x=-\dfrac{q}{k}`, pokud `k\ne 0`. Přímka `y=2x+1` protíná osu x v bodě `[-\tfrac{1}{2};\ 0]`, přesně tam, kde je na prvním obrázku úhel φ.

Jak získat směrnicovou rovnici

Záleží na tom, co o přímce víte. Nejčastěji je to bod a směrnice, dva body, obecná rovnice nebo parametrické vyjádření. Všechny čtyři případy vedou ke stejnému cíli: najít čísla k a q.

Příklad 1: bod a směrnice

Napište směrnicovou rovnici přímky se směrnicí `k=2`, která prochází bodem `A[1;\ 3]`.

Do `y=2x+q` dosadíme souřadnice bodu A a dopočítáme q:

`3=2\cdot 1+q`
`q=1`
`p:\ y=2x+1`

Totéž dá rovnou vzorec pro přímku bodem `A[x_0;\ y_0]` se směrnicí k:

`y-y_0=k\,(x-x_0)`

Tady `y-3=2(x-1)`, po roznásobení `y=2x+1`. Kontrola: pro `x=1` vyjde `y=3`, bod A na přímce leží. Kalkulačka přímka ze směrnice a bodu vypíše výsledek ve všech tvarech i s kolmicí tímtéž bodem.

Příklad 2: dva body

Najděte směrnicový tvar přímky p dané body `A[-1;\ 2]` a `B[11;\ -6]`.

Nejdřív směrnice, pak q dosazením jednoho z bodů:

`\displaystyle k=\frac{-6-2}{11-(-1)}=\frac{-8}{12}=-\frac{2}{3}`
`\displaystyle 2=-\frac{2}{3}\cdot(-1)+q\quad\Rightarrow\quad q=\frac{4}{3}`
`\displaystyle p:\ y=-\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}`

Zkouška druhým bodem: `-\frac{2}{3}\cdot 11+\frac{4}{3}=\frac{-22+4}{3}=-6`. Sedí. Stejný výsledek dá i soustava dvou rovnic `2=-k+q` a `-6=11k+q`, vzorec pro k je jen rychlejší. Na pořadí bodů nezáleží, pokud je v čitateli i ve jmenovateli stejné. Kalkulačka přímka ze dvou bodů spočítá totéž i se zkouškou.

Pokud mají oba body stejné x, je ve jmenovateli nula: přímka je svislá, její rovnice je `x=x_1` a směrnicový tvar neexistuje.

Příklad 3: z obecné rovnice

Napište směrnicový tvar přímky `p:\ 2x+5y-1=0`.

Z obecné rovnice stačí vyjádřit y:

`5y=-2x+1`
`\displaystyle y=-\frac{2}{5}x+\frac{1}{5}`

Směrnice je `k=-\frac{2}{5}` a `q=\frac{1}{5}`. Obecně z rovnice `ax+by+c=0` s `b\ne 0` vyjde

`\displaystyle k=-\frac{a}{b},\qquad q=-\frac{c}{b}`

Při `b=0` v rovnici žádné y není, přímka je svislá a směrnici nemá. Z obecné rovnice na směrnicový, úsekový i parametrický tvar převede kalkulačka převod rovnice přímky mezi tvary.

Příklad 4: z parametrického vyjádření

Určete směrnicovou rovnici přímky dané parametricky: `p:\ x=-1+3t,\ y=2-2t`.

Z parametrického vyjádření se přečte bod `[-1;\ 2]` (pro `t=0`) a směrový vektor `\vec{u}=(3;\ -2)`. Směrový vektor říká, že když x vzroste o 3, y klesne o 2, takže směrnice je podíl jeho souřadnic:

`\displaystyle k=\frac{u_2}{u_1}=\frac{-2}{3}`
`\displaystyle y-2=-\frac{2}{3}\,(x+1)`
`\displaystyle y=-\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}`

Je to stejná přímka jako v příkladu 2. Ověříte to tak, že bod `B[11;\ -6]` dostanete pro `t=4`: `x=-1+12=11`, `y=2-8=-6`. Jiná cesta vede přes obecnou rovnici: normálový vektor `(2;\ 3)`, rovnice `2x+3y-4=0` a z ní opět `y=-\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}`.

Směrnicový tvar a ostatní tvary rovnice přímky

Přímku v rovině jde zapsat čtyřmi způsoby. Každý se hodí na něco jiného a mezi všemi se dá převádět.

Ze směrnicového tvaru `y=kx+q` se ostatní dostanou snadno. Převedením na jednu stranu vznikne obecná rovnice `kx-y+q=0`, tedy normálový vektor `(k;\ -1)`. Směrový vektor je `(1;\ k)`: o 1 doprava a o k nahoru. S bodem `[0;\ q]` to dává parametrické vyjádření `x=t,\ y=q+kt`. Písmeno q v úsekovém tvaru znamená totéž co ve směrnicovém: úsek na ose y.

Rovnoběžné a kolmé přímky

Ze směrnic dvou přímek `p:\ y=k_1x+q_1` a `r:\ y=k_2x+q_2` se jejich vzájemná poloha pozná bez počítání:

• rovnoběžné, když `k_1=k_2`. Při `q_1\ne q_2` jsou různé, při `q_1=q_2` totožné.
• kolmé, když `k_1\cdot k_2=-1`, neboli `k_2=-\dfrac{1}{k_1}`.
• jinak jsou různoběžné a mají jeden průsečík.

Podmínka kolmosti plyne ze skalárního součinu. Směrové vektory jsou `(1;\ k_1)` a `(1;\ k_2)` a přímky jsou kolmé právě tehdy, když je jejich skalární součin nulový: `1\cdot 1+k_1k_2=0`, tedy `k_1k_2=-1`. Kolmá směrnice je tedy převrácená a s opačným znaménkem: ke směrnici `\frac{1}{2}` patří kolmá `-2`, ke směrnici `-\frac{3}{4}` kolmá `\frac{4}{3}`.

Příklad 5: rovnoběžka daným bodem

Napište směrnicový tvar přímky r, která prochází bodem `A[3;\ 1]` a je rovnoběžná s přímkou `p:\ y=3x-1`.

Rovnoběžka má stejnou směrnici, `k=3`. Chybí jen q:

`1=3\cdot 3+q`
`q=-8`
`r:\ y=3x-8`

Kontrola: `3\cdot 3-8=1`, bod A na přímce leží, a `q=-8\ne -1`, přímky tedy nejsou totožné.

Příklad 6: kolmice daným bodem

Napište směrnicový tvar přímky s, která prochází bodem `A[2;\ -\sqrt{2}]` a je kolmá k přímce `p:\ y=\sqrt{2}\,x-3`.

Kolmá směrnice je `k=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}`. Dosadíme bod A:

`\displaystyle -\sqrt{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 2+q`
`-\sqrt{2}=-\sqrt{2}+q`
`q=0`
`\displaystyle s:\ y=-\frac{\sqrt{2}}{2}\,x`

Kontrola kolmosti: `\sqrt{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\frac{2}{2}=-1`. Kolmice prochází počátkem, protože `q=0`. Kolmici i rovnoběžku k přímce zadané obecnou rovnicí najdou kalkulačky kolmice daným bodem k přímce a rovnoběžka daným bodem.

Průsečík a odchylka dvou přímek

Průsečík dvou různoběžek je bod, kde pro stejné x dávají obě rovnice stejné y, takže stačí pravé strany položit sobě rovny. Pro `y=2x+1` a `y=-x+4`:

`2x+1=-x+4`
`3x=3\quad\Rightarrow\quad x=1,\ y=3`

Průsečík je `[1;\ 3]`, a do druhé rovnice to sedí také: `-1+4=3`. Odchylka dvou přímek se ze směrnic spočítá vzorcem

`\displaystyle \mathrm{tg}\,\alpha=\left|\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}\right|`

Tady `\mathrm{tg}\,\alpha=\left|\frac{-1-2}{1-2}\right|=3`, tedy `\alpha\doteq 71{,}57^\circ`. Stejně to vyjde ze směrových úhlů: `135^\circ-63{,}43^\circ=71{,}57^\circ`. Pro kolmé přímky je jmenovatel nula a vzorec nejde použít, odchylka je pak `90^\circ`. Víc v článku Odchylka přímek a v kalkulačkách průsečík dvou přímek a odchylka dvou přímek v rovině.

Směrnice v praxi

Kdekoli něco roste rovnoměrně, je za tím přímka a směrnice je rychlost toho růstu. Taxi účtuje nástupní sazbu 60 Kč a 30 Kč za každý kilometr. Cena za x kilometrů je

`y=30x+60`

Směrnice `k=30` je cena za kilometr, `q=60` je cena za nula kilometrů, tedy samotné nastoupení. Dvanáct kilometrů stojí `30\cdot 12+60=420\ \mathrm{Kč}`. Stejně se čte stoupání silnice (směrnice 0,08 je stoupání 8 %, osm metrů výšky na sto metrů vodorovně) nebo rychlost v grafu dráhy na čase.

Časté chyby

• Kolmost jako `k_1k_2=1`. Součin směrnic kolmých přímek je `-1`. Kolmá směrnice je převrácená a s opačným znaménkem, samotné převrácení nestačí: přímky se směrnicemi 2 a `\frac{1}{2}` svírají úhel asi `36{,}87^\circ`, ne `90^\circ`.
• Prohozený zlomek. Směrnice je změna y lomeno změna x, ne naopak. Kontrola od oka: když přímka stoupá strmě, musí být `|k|\gt 1`.
• Různé pořadí bodů nahoře a dole. `\frac{y_2-y_1}{x_1-x_2}` dá směrnici s opačným znaménkem. Oba rozdíly musí začínat stejným bodem.
• Zapomenuté znaménko při převodu z obecné rovnice. Z `2x+5y-1=0` je `k=-\frac{2}{5}`, ne `\frac{2}{5}`. Členy s x a konstantu je třeba převést na druhou stranu i se znaménkem, a teprve pak dělit.
• q jako průsečík s osou x. q je úsek na ose y. Průsečík s osou x je `-\frac{q}{k}`.
• Směrnice svislé přímky. Přímka `x=3` nemá směrnici nula, nemá žádnou. Směrnici nula má vodorovná přímka `y=q`.
• Úhel změřený na papíře. Vztah `k=\mathrm{tg}\,\varphi` platí jen při stejném měřítku na obou osách. V grafu, kde je jednotka na ose y jinak dlouhá než na ose x, vypadá sklon jinak, než odpovídá směrnici.

Příklady k procvičení

Kam dál

Výsledky si ověříte v kalkulačkách přímka ze směrnice a bodu, přímka ze dvou bodů a převod rovnice přímky mezi tvary. Všechny kalkulačky pro přímku a kružnici jsou pohromadě v analytické geometrii. Dosazování do parametrického vyjádření si procvičíte v procvičování parametrického vyjádření přímky.

Na směrnicový tvar navazují články Obecná rovnice přímky, Úseková rovnice přímky, Parametrické vyjádření přímky a Odchylka přímek.