Vzdálenost bodu od přímky

Vzdálenost bodu od přímky je délka nejkratší spojnice bodu s přímkou, tedy délka kolmice spuštěné z bodu na přímku. Je-li přímka v rovině zadaná obecnou rovnicí `p:\ ax+by+c=0` a bod má souřadnice `M[x_0;\ y_0]`, platí vzorec:

`\displaystyle v(M,p)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}`

V čitateli je levá strana rovnice přímky s dosazenými souřadnicemi bodu, absolutní hodnota zajistí, že vzdálenost vyjde kladná. Ve jmenovateli je velikost normálového vektoru `\vec{n}=(a;\ b)`. Vzorec platí jen pro obecný tvar rovnice, směrnicový nebo parametrický tvar je potřeba nejdřív převést. Leží-li bod na přímce, je čitatel nulový a vzdálenost také.

V prostoru žádná obecná rovnice přímky není, tam se vzdálenost počítá přes vektorový součin. A ve stereometrii, v krychli nebo jehlanu bez souřadnic, se hledá trojúhelník, ve kterém je hledaná vzdálenost výškou.

Všechny tři postupy najdete níže s řešenými příklady, k tomu vzdálenost dvou rovnoběžných přímek a tabulku vzdáleností v krychli. Každý výsledek si můžete ověřit v kalkulačce vzdálenost bodu od přímky, pro prostor v kalkulačce vzdálenost bodu od přímky v prostoru.

Co je vzdálenost bodu od přímky

Z bodu `M` vedeme kolmici k přímce `p`. Kde kolmice přímku protne, leží pata kolmice `X`, a vzdálenost bodu od přímky je délka úsečky `MX`. Žádný jiný bod přímky není blíž: pro libovolný jiný bod `Q` na přímce je trojúhelník `MXQ` pravoúhlý s pravým úhlem u `X` a `MQ` je jeho přepona, tedy podle Pythagorovy věty delší než odvěsna `MX`.

Na obrázku je přímka `p:\ 3x+4y-4=0` a bod `M[5;\ 1]`. Kolmice dopadne do bodu `X[3{,}2;\ {-1{,}4}]` a měří 3. Bod `Q[0;\ 1]` také leží na přímce, ale je od `M` vzdálený 5.

Délku `MX` lze spočítat i jako vzdálenost dvou bodů, pokud patu kolmice znáte: `\sqrt{1{,}8^2+2{,}4^2}=\sqrt{9}=3`. Vzorec výše ale patu vůbec nepotřebuje.

Vzorec pro vzdálenost bodu od přímky v rovině

`\displaystyle v(M,p)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}`

Proč vzorec platí. Vektor `\overrightarrow{XM}` je kolmý k přímce, je tedy násobkem normálového vektoru: `M-X=k\cdot\vec{n}`. Bod `X` na přímce leží, takže `ax_X+by_X+c=0`. Když od dosazeného bodu `M` tuto nulu odečteme, zbude

`ax_0+by_0+c=\vec{n}\cdot(M-X)=k\,|\vec{n}|^2`

a protože `|MX|=|k|\cdot|\vec{n}|`, vychází `|MX|=|ax_0+by_0+c|\,/\,|\vec{n}|`. Jako vedlejší produkt dostanete i patu kolmice: `X=M-k\cdot\vec{n}`, kde `k=\dfrac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}`.

Příklad 1

Určete vzdálenost bodu `M[5;\ 1]` od přímky `p:\ 3x+4y-4=0`.

`v=\dfrac{|3\cdot 5+4\cdot 1-4|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{|15|}{\sqrt{25}}=\dfrac{15}{5}=3`

Kontrola patou kolmice. `k=\dfrac{15}{25}=\dfrac{3}{5}`, tedy `X=[5-\tfrac{3}{5}\cdot 3;\ 1-\tfrac{3}{5}\cdot 4]=[3{,}2;\ {-1{,}4}]`. Bod na přímce leží, `9{,}6-5{,}6-4=0`, a jeho vzdálenost od `M` je 3, jak ukazuje obrázek nahoře. Totéž spočítá kalkulačka i s patou kolmice.

Příklad 2: přímka daná dvěma body

Přímka prochází body `A[1;\ 2]` a `B[4;\ 6]`. Jak daleko od ní leží bod `M[6;\ 1]`?

Nejdřív obecná rovnice přímky. Směrový vektor je `\vec{u}=B-A=(3;\ 4)`, normálový vznikne prohozením souřadnic a změnou jednoho znaménka: `\vec{n}=(4;\ {-3})`. Rovnice `4x-3y+c=0` s dosazeným bodem `A` dá `4-6+c=0`, tedy `c=2`.

`\begin{gathered}p:\ 4x-3y+2=0 \\[10pt] v=\dfrac{|4\cdot 6-3\cdot 1+2|}{\sqrt{16+9}}=\dfrac{23}{5}=4{,}6\end{gathered}`

Kontrola přes obsah trojúhelníku. Vzdálenost bodu `M` od přímky `AB` je výška trojúhelníku `ABM` na stranu `AB`. Obsah z vektorů `(3;\ 4)` a `M-A=(5;\ {-1})` je `S=\tfrac{1}{2}\,|3\cdot(-1)-4\cdot 5|=\tfrac{23}{2}`, strana `|AB|=5`, a výška `v=2S/|AB|=23/5`. Souhlasí.

Příklad 3: přímka ve směrnicovém tvaru

Určete vzdálenost bodu `M[4;\ 0]` od přímky `y=2x-3`.

Převedeme vše na jednu stranu: `2x-y-3=0`, takže `a=2`, `b=-1`, `c=-3`.

`v=\dfrac{|2\cdot 4-0-3|}{\sqrt{4+1}}=\dfrac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\doteq 2{,}24`

Pata kolmice vyjde `X[2;\ 1]` (leží na přímce, `2\cdot 2-3=1`), a `|MX|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}`. Kdo by dosadil jen do `2x-3` a `b` vynechal, dostane `5/\sqrt{4}=2{,}5`, což je špatně.

Příklad 4: přímka v parametrickém tvaru

Přímka je zadaná parametricky: `x=1+2t`, `y=-1+t`. Určete vzdálenost bodu `M[0;\ 4]`.

První způsob: převod na obecnou rovnici. Směrový vektor `(2;\ 1)` dá normálový `(1;\ {-2})`, rovnice `x-2y+c=0` s bodem `[1;\ {-1}]` dá `c=-3`.

`v=\dfrac{|0-2\cdot 4-3|}{\sqrt{1+4}}=\dfrac{11}{\sqrt{5}}\doteq 4{,}92`

Druhý způsob: pata kolmice přes parametr. Obecný bod přímky je `X[1+2t;\ {-1}+t]`. Vektor `\overrightarrow{MX}=(1+2t;\ {-5}+t)` má být kolmý ke směrovému vektoru, jejich skalární součin je tedy nula:

`\begin{gathered}2(1+2t)+1\cdot(-5+t)=5t-3=0 \\[10pt] t=\dfrac{3}{5},\qquad X=[\tfrac{11}{5};\ {-\tfrac{2}{5}}] \\[10pt] |MX|=\sqrt{\left(\tfrac{11}{5}\right)^2+\left(\tfrac{22}{5}\right)^2}=\dfrac{11}{5}\sqrt{5}\doteq 4{,}92\end{gathered}`

Oba způsoby se shodují, protože `\dfrac{11}{\sqrt{5}}=\dfrac{11\sqrt{5}}{5}`. Druhý je delší, ale dá rovnou i patu kolmice a v prostoru funguje beze změny.

Vzdálenost dvou rovnoběžných přímek

Dvě různoběžky se protínají, jejich vzdálenost je nula. Smysl má vzdálenost dvou rovnoběžných přímek: stačí vzít libovolný bod jedné z nich a spočítat jeho vzdálenost od druhé. Mají-li obě rovnice stejné koeficienty a a b, jde to rovnou:

`\begin{gathered}p:\ ax+by+c_1=0 \\[10pt] q:\ ax+by+c_2=0 \\[10pt] \displaystyle v(p,q)=\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{gathered}`

Příklad 5

Určete vzdálenost přímek `p:\ 3x-4y+2=0` a `q:\ 6x-8y-21=0`.

Koeficienty druhé rovnice jsou dvojnásobné, přímky jsou tedy rovnoběžné. Rovnici `q` vydělíme dvěma, aby měla stejné a a b jako `p`:

`\begin{gathered}q:\ 3x-4y-\tfrac{21}{2}=0 \\[10pt] v=\dfrac{|2-(-\tfrac{21}{2})|}{\sqrt{9+16}}=\dfrac{25/2}{5}=2{,}5\end{gathered}`

Kontrola bodem. Bod `[2;\ 2]` leží na `p` (`6-8+2=0`) a jeho vzdálenost od `q` v původním tvaru je `|12-16-21|/\sqrt{100}=25/10=2{,}5`. Bez vydělení by vzorec dal nesmyslných `|2+21|/5=4{,}6`.

Vzdálenost dvou mimoběžek existuje jen v prostoru, počítá se jinak a najdete ji v článku Metrické úlohy v prostoru.

Vzdálenost bodu od přímky v prostoru

Přímku v prostoru zadáváme bodem `A` a směrovým vektorem `\vec{s}`. Velikost vektorového součinu `\overrightarrow{AM}\times\vec{s}` je obsah rovnoběžníku nad vektory `\overrightarrow{AM}` a `\vec{s}`, a když ho vydělíme délkou základny `|\vec{s}|`, dostaneme výšku, tedy hledanou vzdálenost:

`\displaystyle v(M,p)=\frac{|\overrightarrow{AM}\times\vec{s}|}{|\vec{s}|}`

Druhá možnost je pata kolmice přes parametr jako v příkladu 4: `t=\dfrac{\overrightarrow{AM}\cdot\vec{s}}{|\vec{s}|^2}`, `X=A+t\vec{s}` a vzdálenost je `|MX|`.

Příklad 6

Určete vzdálenost bodu `M[2;\ 3;\ 1]` od přímky dané bodem `A[1;\ 0;\ 2]` a směrovým vektorem `\vec{s}=(1;\ 2;\ 2)`.

`\begin{gathered}\overrightarrow{AM}=M-A=(1;\ 3;\ {-1}) \\[10pt] \begin{aligned} x&:\ 3\cdot 2-(-1)\cdot 2=8\\ y&:\ (-1)\cdot 1-1\cdot 2=-3\\ z&:\ 1\cdot 2-3\cdot 1=-1\end{aligned} \\[10pt] \overrightarrow{AM}\times\vec{s}=(8;\ {-3};\ {-1}) \\[10pt] |\overrightarrow{AM}\times\vec{s}|=\sqrt{64+9+1}=\sqrt{74} \\[10pt] |\vec{s}|=\sqrt{1+4+4}=3 \\[10pt] v=\dfrac{\sqrt{74}}{3}\doteq 2{,}87\end{gathered}`

Kontrola patou kolmice. `t=\dfrac{1+6-2}{9}=\dfrac{5}{9}`, `X=[\tfrac{14}{9};\ \tfrac{10}{9};\ \tfrac{28}{9}]`, `\overrightarrow{MX}=(-\tfrac{4}{9};\ {-\tfrac{17}{9}};\ \tfrac{19}{9})` a `|MX|=\dfrac{\sqrt{16+289+361}}{9}=\dfrac{\sqrt{666}}{9}=\dfrac{\sqrt{74}}{3}`. Ověřit si to můžete v kalkulačce vzdálenost bodu od přímky v prostoru.

Vzdálenost bodu od přímky v krychli a jehlanu

Ve stereometrii se souřadnice obvykle nezavádějí. Postup je pokaždé stejný:

1. Bod a přímka leží v jedné rovině. Vyberte na přímce dva šikovné body (vrcholy, středy hran) a spolu s daným bodem z nich udělejte trojúhelník.
2. Hledaná vzdálenost je výška tohoto trojúhelníku na stranu, která leží na přímce.
3. Spočítejte strany trojúhelníku a z nich výšku. V pravoúhlém trojúhelníku je výška na přeponu rovna součinu odvěsen dělenému přeponou, v obecném se výška spočítá z obsahu, `v=2S/|\text{strana}|`, nebo přes sinus úhlu.

V příkladech 7, 8 a 10 má krychle `ABCDEFGH` hranu `a=6\ \mathrm{cm}`. Patu kolmice značíme `X`.

Příklad 7: bod A a tělesová úhlopříčka BH

Trojúhelník `ABH` je pravoúhlý s pravým úhlem u `A`: hrana `AB` je kolmá ke stěně `ADHE`, a tedy i k úhlopříčce `AH` v ní. Odvěsny jsou `|AB|=6` a `|AH|=6\sqrt{2}` (stěnová úhlopříčka), přepona `|BH|=6\sqrt{3}` (tělesová úhlopříčka).

`\begin{aligned} v&=\dfrac{|AB|\cdot|AH|}{|BH|}=\dfrac{6\cdot 6\sqrt{2}}{6\sqrt{3}}\\[8pt] &=6\sqrt{\tfrac{2}{3}}=2\sqrt{6}\doteq 4{,}90\ \mathrm{cm}\end{aligned}`

Totéž přes úhel: `\sin|\angle ABH|=|AH|/|BH|=\sqrt{2}/\sqrt{3}`, tedy `|\angle ABH|\doteq 54^\circ 44'` a `v=|AB|\cdot\sin|\angle ABH|\doteq 4{,}90`. Pata `X` dělí úhlopříčku v poměru `|BX|:|XH|=1:2`. V souřadnicích s `A` v počátku a `B`, `D`, `E` na osách `x`, `y`, `z` je to bod `X[4;\ 2;\ 2]` a `|AX|=\sqrt{16+4+4}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}`. Souhlasí.

Příklad 8: bod B a přímka AP

Bod `P` je střed hrany `HG`. Určete vzdálenost bodu `B` od přímky `AP`.

Trojúhelník `ABP` tentokrát pravoúhlý není. Bod `P` leží stejně daleko od `A` i `B`:

`|AP|=|BP|=\sqrt{3^2+6^2+6^2}=\sqrt{81}=9`

Je tedy rovnoramenný a jeho výška z vrcholu `P` dopadá do středu `S` hrany `AB`. Úsečka `SP` je úhlopříčka čtverce o straně 6, tedy `|SP|=6\sqrt{2}`. Obsah trojúhelníku spočítáme jednou přes základnu `AB` a výšku `SP`, a hledanou výšku z `B` pak z druhé strany:

`\begin{gathered}S_{ABP}=\dfrac{|AB|\cdot|SP|}{2}=\dfrac{6\cdot 6\sqrt{2}}{2}=18\sqrt{2} \\[10pt] v=\dfrac{2\,S_{ABP}}{|AP|}=\dfrac{36\sqrt{2}}{9}=4\sqrt{2}\doteq 5{,}66\ \mathrm{cm}\end{gathered}`

Přes úhel: v pravoúhlém trojúhelníku `ASP` je přeponou `AP`, takže `\cos|\angle BAP|=|AS|/|AP|=3/9`, úhel je `70^\circ 32'` a `v=6\cdot\sin 70^\circ 32'\doteq 5{,}66`.

Příklad 9: jehlan, střed podstavy a boční hrana

Pravidelný čtyřboký jehlan `ABCDV` má podstavnou hranu `a=6\ \mathrm{cm}` a výšku `v=7\ \mathrm{cm}`. Určete vzdálenost středu podstavy `S` od boční hrany `VC`.

Výška `SV` je kolmá k podstavě, trojúhelník `SCV` je proto pravoúhlý s pravým úhlem u `S`. Odvěsna `SC` je polovina úhlopříčky podstavy.

`\begin{gathered}|SC|=\dfrac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2},\qquad |SV|=7 \\[10pt] |VC|=\sqrt{18+49}=\sqrt{67} \\[10pt] d=\dfrac{|SC|\cdot|SV|}{|VC|}=\dfrac{21\sqrt{2}}{\sqrt{67}}\doteq 3{,}63\ \mathrm{cm}\end{gathered}`

Výška jehlanu je tu `v`, proto hledanou vzdálenost značíme `d`. Rozumný výsledek: musí být menší než obě odvěsny, `3\sqrt{2}\doteq 4{,}24` i 7.

Příklad 10: bod C a stěnová úhlopříčka AH

Úsečky `AC`, `CH` a `AH` jsou všechny stěnové úhlopříčky, trojúhelník `ACH` je proto rovnostranný se stranou `6\sqrt{2}`. Výška rovnostranného trojúhelníku je `\tfrac{\sqrt{3}}{2}` strany a pata leží ve středu strany:

`v=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 6\sqrt{2}=3\sqrt{6}\doteq 7{,}35\ \mathrm{cm}`

Vzdálenosti v krychli

Přímky, které procházejí dvěma jinými vrcholy krychle, jsou vůči danému vrcholu šesti druhů a vzdálenost vyjde jen pěti různými hodnotami. Tabulka je pro vrchol `A` a hranu `a`; pro ostatní vrcholy platí totéž po přejmenování.

Odpovídající vzdálenosti bodu od roviny jsou v článku Vzdálenost bodu od roviny.

Časté chyby

• Vzorec se směrnicovým tvarem. Z `y=2x-3` nelze dosadit rovnou, chybí b. Nejdřív `2x-y-3=0`, jak ukazuje příklad 3: správně `\sqrt{5}\doteq 2{,}24`, ne 2,5.
• Zapomenutá absolutní hodnota. Bod `[0;\ 0]` a přímka `3x+4y-4=0` dají v čitateli `-4`. Vzdálenost je `4/5=0{,}8`, nikdy záporná. Znaménko čitatele jen říká, v které polorovině bod leží (o tom článek Poloha bodu vůči přímce).
• Jmenovatel bez odmocniny. `\dfrac{15}{3^2+4^2}=\dfrac{15}{25}=0{,}6` není vzdálenost, ale jen číslo `k` pro výpočet paty kolmice. Vzdálenost je `15/5=3`.
• Rovnoběžky s různými koeficienty. Vzorec `|c_1-c_2|/\sqrt{a^2+b^2}` platí, jen když mají obě rovnice stejná a a b. V příkladu 5 by bez vydělení vyšlo 4,6 místo 2,5.
• Přímka, nebo úsečka? Vzorec měří vzdálenost od celé přímky. Ptá-li se úloha na vzdálenost od úsečky `AB`, zkontrolujte, zda pata kolmice leží mezi `A` a `B`. Pokud ne, je vzdálenost od úsečky vzdáleností od bližšího krajního bodu.
• Chyba v desetinném mezivýpočtu. Kdo v příkladu 7 spočítá `|BH|=\sqrt{8{,}48^2+6^2}` chybně jako 10,32 (správně 10,39), dostane `6\cdot 8{,}48/10{,}32\doteq 4{,}93` místo 4,90 a na první pohled nic nepozná. Počítejte s odmocninami, `|BH|=6\sqrt{3}`, a zaokrouhlete až na konci.
• Kosinus se špatnou přeponou. V příkladu 8 je `\cos|\angle BAP|=|AS|/|AP|`, protože přeponou pravoúhlého trojúhelníku `ASP` je `AP`. S `|SP|` ve jmenovateli vyjde `69^\circ 18'` a vzdálenost 5,61, obojí špatně.

Příklady k procvičení

Kam dál

• Kalkulačky: vzdálenost bodu od přímky (i s patou kolmice), vzdálenost bodu od přímky v prostoru, kolmice daným bodem k přímce, vzdálenost dvou bodů.
• Procvičování: skalární součin vektorů, Pythagorova věta.
• Články: Obecná rovnice přímky, Vzdálenost bodu od roviny, Metrické úlohy v prostoru, Vektorový součin.