Vzdálenost bodu od roviny

Vzdálenost bodu od roviny je délka úsečky, která spojuje bod s patou kolmice spuštěné z bodu na rovinu. Je to nejkratší ze všech vzdáleností bodu od bodů roviny. Leží-li bod v rovině, je vzdálenost nulová. Když je rovina zadaná obecnou rovnicí `\rho:\ ax + by + cz + d = 0` a bod souřadnicemi `A = [x_0;\ y_0;\ z_0]`, platí vzorec:

`\displaystyle |A\rho| = \frac{|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}`

V tělese, třeba v krychli nebo v jehlanu, se obvykle počítá bez souřadnic. Najdeme rovinu, která prochází daným bodem a je kolmá k zadané rovině, nakreslíme ji ve skutečné velikosti a vzdálenost spočítáme jako výšku trojúhelníku.

Níže je postup krok za krokem, sedm řešených příkladů (v krychli, v jehlanu, přes objem i v souřadnicích), tabulka vzdáleností v krychli a šest příkladů k procvičení s řešením. Výpočet ze souřadnic vám udělá kalkulačka vzdálenosti bodu od roviny, která najde i patu kolmice.

Co je vzdálenost bodu od roviny

Bodem A vedeme přímku kolmou k rovině ρ. Ta rovinu protne v jediném bodě P, kterému říkáme pata kolmice, nebo také kolmý průmět bodu A do roviny ρ. Vzdálenost bodu od roviny je délka úsečky AP a značí se `|A\rho|`.

Proč je zrovna kolmice nejkratší: vezměme v rovině jakýkoli jiný bod X. Trojúhelník APX má pravý úhel u vrcholu P, takže podle Pythagorovy věty je `|AX|^2 = |AP|^2 + |PX|^2`, a tedy `|AX| \gt |AP|`. Měřit k nejbližšímu vrcholu, do středu stěny nebo k jinému „pěkně vypadajícímu“ bodu proto dává špatný výsledek, pokud ten bod náhodou není patou kolmice.

Na vzdálenost bodu od roviny se převádějí i další úlohy:

• Vzdálenost přímky od rovnoběžné roviny je vzdálenost libovolného bodu přímky od roviny. Všechny body přímky mají od roviny stejnou vzdálenost.
• Vzdálenost dvou rovnoběžných rovin je vzdálenost libovolného bodu jedné roviny od druhé roviny.
• Přímka, která rovinu protíná, a dvě různoběžné roviny mají vzdálenost nulovou. U nich se místo vzdálenosti počítá odchylka.

Postup v krychli a jehlanu

Na obrázku tělesa ve volném rovnoběžném promítání se vzdálenost změřit nedá, pravé úhly se v něm zkreslují. Proto si úlohu převedeme do roviny, kterou umíme nakreslit ve skutečné velikosti:

1. Najděte rovinu σ, která prochází bodem A a je kolmá k rovině ρ. Pomůže pravidlo: dvě roviny jsou k sobě kolmé, když jedna z nich obsahuje přímku kolmou k té druhé. Hledejte tedy v rovině ρ přímku (často hranu nebo úhlopříčku), ke které je kolmá nějaká rovina bodem A, typicky stěna, úhlopříčný řez nebo řez vrcholem jehlanu.
2. Určete průsečnici s rovin σ a ρ. Stačí najít dva body, které leží v obou rovinách.
3. Nakreslete rovinu σ ve skutečné velikosti (čtverec, obdélník, trojúhelník) a vyznačte v ní bod A a přímku s.
4. Vzdálenost bodu A od přímky s v tomto obrázku je hledaná vzdálenost `|A\rho|`. Spočítejte ji jako výšku trojúhelníku: v pravoúhlém trojúhelníku je výška na přeponu rovna součinu odvěsen dělenému přeponou, v obecném trojúhelníku dvojnásobku obsahu dělenému stranou.

Proč to funguje: kolmice z bodu A na přímku s leží v rovině σ a je kolmá k průsečnici. Protože jsou roviny σ a ρ kolmé, je taková přímka kolmá k celé rovině ρ. Jde tedy přímo o kolmici z bodu A na rovinu ρ a její pata leží na přímce s. Stejný převod do roviny ve skutečné velikosti potřebuje i vzdálenost bodu od přímky a kolmý průmět.

Ve všech příkladech má krychle ABCDEFGH podstavu ABCD a vrchol E leží nad vrcholem A.

Příklad 1

V krychli ABCDEFGH s hranou 6 cm je Q střed hrany BC a P střed hrany FG. Určete vzdálenost bodu D od roviny AQP.

Úsečka QP je svislá, tedy kolmá k podstavě ABCD. Rovina AQP ji obsahuje, a je proto k podstavě kolmá. Podstava prochází bodem D, takže je to hledaná rovina σ. Průsečnicí obou rovin je přímka AQ a stačí spočítat vzdálenost bodu D od přímky AQ ve čtverci ABCD. Patu kolmice označíme S.

Trojúhelník AQD má základnu AD a jeho výška z vrcholu Q je celá hrana, takže jeho obsah je `\frac{1}{2}\cdot 6 \cdot 6 = 18\ \mathrm{cm^2}`. Délku AQ dá Pythagorova věta:

`\begin{gathered} \displaystyle |AQ| = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \doteq 6{,}71\ \mathrm{cm} \\[10pt] \displaystyle |D\rho| = |DS| = \frac{2 \cdot 18}{3\sqrt{5}} = \frac{12}{\sqrt{5}} \doteq 5{,}37\ \mathrm{cm} \end{gathered}`

Kontrola: vzdálenost musí být menší než hrana `|AD| = 6`, protože AD je jen jedna ze šikmých úseček z bodu D do roviny. 5,37 cm vyhovuje.

Příklad 2

V krychli ABCDEFGH s hranou 6 cm je S střed podstavy ABCD. Určete vzdálenost bodu S od roviny CFH.

Úhlopříčka FH leží v rovině CFH a je kolmá k úhlopříčnému řezu ACGE: je kolmá k úhlopříčce EG a ke svislé hraně AE. Rovina ACGE prochází bodem S, takže je to rovina σ. Obě roviny mají společný bod C a střed horní stěny X, který leží na FH. Průsečnicí je přímka XC a pata kolmice T leží na ní.

Řez ACGE je obdélník `6\sqrt{2} \times 6`. Trojúhelník SCX má pravý úhel u vrcholu S, odvěsny `|SX| = 6` a `|SC| = 3\sqrt{2}`, přeponu

`\begin{gathered} \displaystyle |XC| = \sqrt{36 + 18} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \\[10pt] \displaystyle \begin{aligned} |S\rho| = |ST| &= \frac{|SX| \cdot |SC|}{|XC|} \\[8pt] &= \frac{6 \cdot 3\sqrt{2}}{3\sqrt{6}} = 2\sqrt{3} \doteq 3{,}46\ \mathrm{cm} \end{aligned} \end{gathered}`

Výška na přeponu je vždy kratší než obě odvěsny, tady `3{,}46 \lt 3\sqrt{2} \doteq 4{,}24`. Výsledek si v souřadnicích ověříme v příkladu 7.

Příklad 3

V krychli ABCDEFGH s hranou 6 cm je P střed hrany AE. Určete vzdálenost bodu F od roviny BPH.

Rovina BPH prochází i středem Q hrany CG a řeže krychli v kosočtverci BQHP. Úsečka PQ je rovnoběžná s úhlopříčkou AC, protože P a Q leží ve stejné výšce nad A a C. Úhlopříčka AC je kolmá k úhlopříčnému řezu BDHF, tedy i PQ. Rovina BPH proto obsahuje přímku kolmou k řezu BDHF a je k němu kolmá.

Řez BDHF prochází bodem F, je to rovina σ. Obě roviny obsahují body B a H, průsečnicí je tělesová úhlopříčka BH. V obdélníku BDHF hledáme vzdálenost vrcholu F od úhlopříčky BH, tedy výšku pravoúhlého trojúhelníku BFH s odvěsnami `|BF| = 6` a `|FH| = 6\sqrt{2}`:

`\begin{gathered} \displaystyle |BH| = \sqrt{36 + 72} = 6\sqrt{3} \\[10pt] \displaystyle \begin{aligned} |F\rho| &= \frac{|BF| \cdot |FH|}{|BH|} \\[8pt] &= \frac{6 \cdot 6\sqrt{2}}{6\sqrt{3}} = 2\sqrt{6} \doteq 4{,}90\ \mathrm{cm} \end{aligned} \end{gathered}`

Příklad 4

Pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV má podstavnou hranu 6 cm a výšku 4 cm. Určete vzdálenost a) středu podstavy S, b) vrcholu A od roviny boční stěny BCV.

a) Označme N střed hrany BC a M střed hrany AD. Hrana BC je kolmá k úsečce SN i k výšce SV, a tedy k celé rovině MNV. Rovina BCV ji obsahuje, takže je k řezu MNV kolmá, a ten prochází bodem S. Průsečnicí je stěnová výška NV a na ní leží pata T kolmice z bodu S.

V trojúhelníku SNV je pravý úhel u S, `|SN| = 3`, `|SV| = 4`, a proto `|NV| = 5`:

`\displaystyle |ST| = \frac{3 \cdot 4}{5} = 2{,}4\ \mathrm{cm}`

b) Hrana AD je rovnoběžná s BC, a tedy s celou rovinou BCV. Všechny její body mají od roviny stejnou vzdálenost, takže místo vrcholu A stačí vzít střed M. Leží ve stejném řezu MNV a pata kolmice z něj na NV je U. Trojúhelník MNV má základnu 6 cm a výšku 4 cm, jeho obsah je 12 cm²:

`\displaystyle |A\rho| = |MU| = \frac{2 \cdot 12}{|NV|} = \frac{24}{5} = 4{,}8\ \mathrm{cm}`

Kontrola: S je střed úsečky MN, takže jeho vzdálenost od přímky NV je přesně poloviční. Vychází 2,4 a 4,8 cm, sedí to.

Druhý způsob: přes objem čtyřstěnu

Když se kolmá rovina hledá špatně, pomůže objem. Zvolíme v rovině ρ tři body K, L, M tak, aby čtyřstěn KLMA šel snadno spočítat. Jeho objem je třetina obsahu podstavy krát výška, a pokud za podstavu vezmeme trojúhelník KLM, je výškou právě vzdálenost bodu A od roviny ρ:

`\displaystyle V = \frac{1}{3}\, S_{KLM} \cdot |A\rho| \quad\Rightarrow\quad |A\rho| = \frac{3V}{S_{KLM}}`

Objem přitom spočítáme jinak, přes jinou podstavu, typicky pravoúhlý trojúhelník ve stěně krychle.

Příklad 5

V krychli ABCDEFGH s hranou 6 cm je N střed hrany CG. Určete vzdálenost vrcholu C od roviny BDN.

Čtyřstěn BCDN má podstavu BCD (polovina čtverce, 18 cm²) a výšku `|CN| = 3\ \mathrm{cm}`:

`\displaystyle V = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot 3 = 18\ \mathrm{cm^3}`

Teď obsah trojúhelníku BDN. Je rovnoramenný se základnou `|BD| = 6\sqrt{2}` a rameny `|BN| = |DN| = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45}`. Jeho výška na základnu jde do středu BD:

`\begin{gathered} \displaystyle v = \sqrt{45 - 18} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \\[10pt] \displaystyle S_{BDN} = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{6}\ \mathrm{cm^2} \\[10pt] \displaystyle |C\rho| = \frac{3 \cdot 18}{9\sqrt{6}} = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6} \doteq 2{,}45\ \mathrm{cm} \end{gathered}`

Kontrola: vzdálenost musí být menší než `|CN| = 3`, protože CN je jedna ze šikmých úseček z C do roviny. Rovinou σ by tu byl úhlopříčný řez ACGE a výsledek by vyšel stejně.

Vzdálenost bodu od roviny vzorcem

V analytické geometrii je rovina zadaná obecnou rovnicí `ax + by + cz + d = 0`, kde `\vec n = (a;\ b;\ c)` je její normálový vektor. Do levé strany rovnice dosadíme souřadnice bodu, vezmeme absolutní hodnotu a vydělíme velikostí normálového vektoru:

`\displaystyle |A\rho| = \frac{|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}`

Odkud vzorec je: pro libovolný bod X roviny je vzdálenost rovna délce průmětu vektoru `A - X` do směru normály, tedy `\dfrac{|\vec n \cdot (A - X)|}{|\vec n|}` (skalární součin). Po roznásobení vyjde právě čitatel vzorce, protože `\vec n \cdot X = -d`.

Znaménko výrazu v čitateli před absolutní hodnotou navíc říká, ve kterém ze dvou poloprostorů bod leží. Vyjde-li nula, bod leží v rovině.

Příklad 6

Určete vzdálenost bodu `A = [3;\ 2;\ 5]` od roviny `\rho:\ 2x - y + 2z - 5 = 0` a patu kolmice.

`\displaystyle |A\rho| = \frac{|2 \cdot 3 - 2 + 2 \cdot 5 - 5|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{9}{3} = 3`

Patu kolmice P dostaneme tak, že se z bodu A posuneme proti normále. Kolmice má parametrické vyjádření `A + t\,\vec n`, po dosazení do rovnice roviny vyjde `9 + 9t = 0`, tedy `t = -1`:

`\displaystyle P = [3 - 2;\ 2 + 1;\ 5 - 2] = [1;\ 3;\ 3]`

Kontrola: P leží v rovině, `2 - 3 + 6 - 5 = 0`, a `|AP| = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3`. Totéž ukáže kalkulačka s tímto zadáním.

Příklad 7: krychle v souřadnicích

Příklady 2 a 3 ještě jednou, tentokrát vzorcem. Krychli s hranou 6 umístíme do soustavy souřadnic: `A = [0;\ 0;\ 0]`, `B = [6;\ 0;\ 0]`, `D = [0;\ 6;\ 0]`, `E = [0;\ 0;\ 6]`.

Příklad 3: rovina prochází body `B = [6;\ 0;\ 0]`, `P = [0;\ 0;\ 3]` a `H = [0;\ 6;\ 6]`. Normálový vektor je vektorový součin vektorů `B - P = (6;\ 0;\ {-3})` a `H - P = (0;\ 6;\ 3)`:

`\displaystyle \begin{aligned} &(6;\ 0;\ {-3}) \times (0;\ 6;\ 3) \\[4pt] &= (18;\ {-18};\ 36) = 18 \cdot (1;\ {-1};\ 2) \end{aligned}`

Rovina je `x - y + 2z - 6 = 0` (číslo `-6` dopočítáme dosazením bodu B). Pro bod `F = [6;\ 0;\ 6]`:

`\displaystyle \begin{aligned} |F\rho| &= \frac{|6 - 0 + 12 - 6|}{\sqrt{1 + 1 + 4}} \\[8pt] &= \frac{12}{\sqrt{6}} = 2\sqrt{6} \doteq 4{,}90 \end{aligned}`

Příklad 2: rovina CFH prochází body `[6;\ 6;\ 0]`, `[6;\ 0;\ 6]` a `[0;\ 6;\ 6]`, má rovnici `x + y + z - 12 = 0`. Pro střed podstavy `S = [3;\ 3;\ 0]` je

`\displaystyle |S\rho| = \frac{|3 + 3 + 0 - 12|}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}`

Obě čísla souhlasí s výpočtem v tělese. Více o metrických úlohách v souřadnicích najdete v článku metrické úlohy v prostoru.

Vzdálenosti v krychli

Hodnoty, které se v úlohách s krychlí o hraně a objevují nejčastěji. Úhlopříčka AG je kolmá k oběma trojúhelníkům BDE a CFH a ty ji dělí na tři stejné díly, odtud řádky s `a\sqrt{3}`.

Časté chyby

• Vzdálenost k „nejbližšímu“ bodu, který není patou kolmice. Spojnice s vrcholem nebo se středem stěny je jen jedna z šikmých úseček. Je vždy delší, takže je dobrou horní mezí pro kontrolu: výsledek ji nesmí překročit.
• Rovina σ, která není kolmá k ρ. Ve špatné rovině je výška trojúhelníku vzdáleností od přímky, ne od roviny. Než začnete počítat, ověřte, že ρ obsahuje přímku kolmou k σ (nebo naopak).
• Měření v obrázku tělesa. Ve volném rovnoběžném promítání nejsou pravé úhly pravé a délky v hloubce jsou zkrácené. Počítejte vždy v řezu nakresleném ve skutečné velikosti.
• Ve vzorci chybí absolutní hodnota nebo odmocnina. Vzdálenost nemůže vyjít záporná. A dělí se velikostí normálového vektoru `\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}`, ne součtem `a^2 + b^2 + c^2`.
• Rovnoběžné roviny s různě násobenou rovnicí. U rovin `2x - y + 2z - 5 = 0` a `4x - 2y + 4z + 14 = 0` nelze rovnou odečíst `-5` a `14`. Nejdřív druhou rovnici vydělte dvěma, nebo dosaďte bod jedné roviny do rovnice druhé.
• Zaokrouhlování v mezivýsledcích. Počítejte s odmocninami až do konce. Kdo v příkladu 2 zaokrouhlí `|SC|` na 4,2 a `|XC|` na 7,3, dostane 3,45 místo 3,46.

Příklady k procvičení

Kam dál

• Kalkulačka vzdálenosti bodu od roviny spočítá vzdálenost a patu kolmice z obecné rovnice roviny.
• Vzdálenost bodu od přímky v prostoru a vzdálenost dvou bodů v prostoru online.
• Procvičování odchylky přímky a roviny: stejný pravoúhlý trojúhelník s kolmým průmětem, jen se z něj počítá úhel.
• Články vzdálenost bodu od přímky, odchylka přímky a roviny, kolmý průmět a metrické úlohy v prostoru.