Vzdálenost bodu od roviny je vždy ta nejkratší vzdálenost. Z toho plyne, že úhel mezi rovinou a úsečkou spojující rovinu a bod bude vždy 90°.
První příklad
Vypočtěte vzdálenost bodu A od roviny QPB v krychli ABCDEFGH. Bod Q leží ve středu hrany DC a bod P leží ve středu strany HG. Délka hrany |AB| = 6 cm.
Pokud si situaci překreslíme do jedné roviny, bude to vypadat nějak takto:
Nyní musíme nějaký pravoúhlý trojúhelník. Jak jsem na začátku říkal, nejkratší úsečka spojující bod a rovinu je kolmá k rovině a proto můžeme celý příklad spočítat díky trojúhelníku ASQ. V tomto trojúhelníku můžeme spočítat délku hrany AQ a pomocí trojúhelníku AQB spočítáme i úhel |∠AQB|. Tedy, když budeme znát dva údaje o pravoúhlém trojúhelníku AQS, lehce dopočítáme ostatní.
|AQ|=√(|AD|2+|DQ|2) |AQ|=6.7 cos |∠AQB| = (|AB|2-|AQ|2-|BQ|2)/(-2*|AQ|*|BQ|)#Kosinova věta |∠AQB| = 53°12' |AS|=|AQ|*sin(|∠AQB|) |AS|=6.7*sin(53°12') |AS|=5.36
A máme výsledek!
Druhý příklad
Určete vzdálenost bodu S od roviny BDG v krychli ABCDEFGH. Bod S leží na průsečíku úhlopříček v horní stěně. Velikost hrany |AB| = 6 cm.
Po překreslení do jedné roviny (ACG) dostaneme tento obrázek.
Příklad vypočítáme pomocí trojúhelníku SPG. Jedná se o trojúhelník pravoúhlý a pravý úhel je u bodu P. My můžeme zjistit velikost strany SG a velikost úhlu SGP.
|EG|=√(|EH|2+|HG|2) |GS|=|EH|/2 |GS|=4.2 |GQ|=√(|GS|2+|QS|2) |GQ|=7.3 sin |∠SGQ|=|QS|/|GQ|=6/7.3 |∠SGQ|=55°16' |PS|=|GS|*sin(|∠SGQ|) = 4.2*sin(55°16') |PS|=3.45
Hotovo!
Třetí příklad
Určete vzdálenost bodu F od roviny BPH. Bod P je ve středu strany AE a bod Q je ve středu strany CG. Velikost hrany |AB| = 6 cm.
Překreslíme-li si rovinu DBF do obrázku, bude to vypadat nějak takto:
Jako obvykle můžeme v trojúhelníku BFS zjistit délku jedné strany (FB) a velikost jednoho úhlu SBF. Když tyto dva údaje získáme, není problém dopočítat délku úsečky FS.
|BF| = 6 cm |HB| = √(|FH|2+|BF|2) = √(62+8.42) |HB| = 10.3 cm sin |∠FBH| = |FH|/|BH| = 8.4/10.3 |∠FBH| = 54°38' |BS| = |BF| * sin(|∠FBS|) = 6 * sin(54°38') |BS| = 4.89
Nyní jste již dle mého názoru připraveni spočítat nějaké příklady sami. Pokud některému příkladu nebudete rozumět, nebojte se zeptat v komentářích.
Procvičování
Určete vzdálenost bodu O od roviny PBD jehlanu ABCDV. Bod P leží ve středu strany VC a bod O leží v polovině výšky. Délka hrany |AB| = 6 cm a výška v je 7 cm.
Vzdálenost bodu a roviny je 1.81 cm
Určete vzdálenost bodu S od roviny PAC v krychli ABCDEFGH. Bod S leží na průsečíku úhlopříček v horní stěně a bod P leží ve středu hrany DH. Délka hrany |AB| = 6 cm.
Vzdálenost bodu a roviny je 4.9 cm
Určete vzdálenost bodu S od roviny BCE v krychli ABCDEFGH. Bod S leží na průsečíku úhlopříček ve stěně BCG. Délka hrany |AB| = 6 cm.
Vzdálenost bodu a roviny je 2.12 cm
V případě, že Vás zajímá, jak spočítat vzdálenost bodu od přímky, pokračujte na Vzdálenost bodu od přímky
