Stereometrie - základní pojmy a věty

Stereometrie je část geometrie, která se zabývá útvary v prostoru: tělesy, jako je krychle, hranol, jehlan nebo koule, a také přímkami a rovinami, které jimi procházejí. Dělí se na dvě části. Polohová stereometrie zkoumá, jak útvary leží vůči sobě (protínají se dvě přímky? kde rovina protne krychli?), metrická stereometrie měří odchylky, vzdálenosti, objemy a povrchy (vzorce pro objem a povrch těles).

Polohová stereometrie stojí na několika jednoduchých zákonitostech. Dvěma různými body prochází právě jedna přímka. Rovina je jednoznačně určena třemi body, které neleží v jedné přímce, a stejně tak přímkou a bodem mimo ni, dvěma různoběžkami nebo dvěma různými rovnoběžkami. Dvě přímky, které nemají společný bod, ale v jedné rovině neleží, jsou mimoběžné.

Níže jsou tyto věty vysvětlené na obrázcích a použité v řešených příkladech na krychli. Ukážeme také, jak spočítat, kolik přímek a rovin určuje několik bodů, a na konci jsou příklady k procvičení s řešením.

Bod, přímka a rovina

Bod, přímka a rovina jsou základní útvary, které se nedefinují: zavádí se jen to, jak spolu souvisejí. Body se značí velkými písmeny, přímky malými latinskými a roviny malými řeckými písmeny. Přímku lze pojmenovat i dvěma jejími body (přímka AB) a rovinu třemi (rovina ABC).

Rovina je neomezená. Na obrázku ji kreslíme jako rovnoběžník, ale ten je jen její malá část: přímka, která z nakresleného rovnoběžníku vybíhá, rovinu neopouští, a průsečík dvou přímek může ležet daleko mimo nakreslenou část. Stejně tak hrana krychle je jen úsečka, ale přímka té hrany pokračuje oběma směry dál.

Základní věty stereometrie

Ve škole se berou jako výchozí a nedokazují se (některé z nich jsou axiomy, ze kterých se ostatní odvozují). Vyplatí se je ale umět vyslovit, protože každý krok konstrukce řezu nebo průsečíku se o některou z nich opírá.

1. Dvěma různými body prochází právě jedna přímka.
2. Leží-li bod A na přímce p a přímka p v rovině ρ, leží i bod A v rovině ρ.
3. Leží-li dva různé body A, B v rovině ρ, leží v ní celá přímka AB.
4. Třemi různými body, které neleží v jedné přímce, prochází právě jedna rovina.
5. Mají-li dvě různé roviny společný bod, mají společnou celou přímku, která tímto bodem prochází (průsečnici), a žádný další společný bod nemají.

Na krychli se věty používají pořád, i když si to člověk neuvědomuje. Věta 3 říká, že úhlopříčka stěny leží v rovině stěny, protože tam leží oba její koncové body. Věta 5 říká, proč se dvě sousední stěny potkávají v celé hraně, a ne jen v jednom bodě, a proč je strana řezu vždy úsečka: rovina řezu a rovina stěny mají společnou přímku. Další dvě věty, které se při konstrukci řezů hodí (o rovnoběžných rovinách a o třech rovinách), vysvětluje článek Řešení konstrukčních úloh.

Jak je určena rovina

Rovina je jednoznačně určena kterýmkoli z těchto čtyř údajů:

• třemi body, které neleží v jedné přímce (rovina ABC),
• přímkou a bodem, který na ní neleží,
• dvěma různoběžnými přímkami,
• dvěma různými rovnoběžnými přímkami.

Ve skutečnosti jde o jednu větu čtyřikrát. Na přímce stačí vybrat dva body a spolu s bodem mimo ni máme tři body, které v jedné přímce neleží. U různoběžek vezmeme průsečík a po jednom dalším bodu na každé z nich, u rovnoběžek dva body na jedné a jeden na druhé.

Dvě rovnoběžky rovinu určují proto, že rovnoběžné přímky jsou podle definice ty, které leží v jedné rovině a nemají společný bod (nebo splývají). Dvě mimoběžky rovinu neurčí: neleží v žádné společné rovině, a proto je nelze „spojit“ do jedné stěny ani do jednoho řezu.

Proč tři body v jedné přímce nestačí

Leží-li body A, B, C v jedné přímce, prochází jimi nekonečně mnoho rovin. Všechny obsahují přímku ABC a otáčejí se kolem ní jako dveře v pantech. Kterou z nich máme na mysli, se z těch tří bodů poznat nedá.

Stejně se chová i kalkulačka rovnice roviny ze tří bodů: když zadáte tři body, které leží v jedné přímce, rovnici nespočítá a napíše, že takovou přímkou prochází nekonečně mnoho rovin.

Příklad 1

Proč trojnohá stolička nikdy nekulhá, ale stůl se čtyřmi nohami ano?

Konce tří noh jsou tři body, které neleží v jedné přímce. Podle věty 4 jimi prochází právě jedna rovina, a stolička se proto na rovné podlaze vždy opře všemi třemi nohami. U čtyř noh určí rovinu už první tři konce a čtvrtý v ní ležet nemusí: stačí, aby jedna noha byla o kousek kratší. Stůl se pak opírá střídavě o dvě různé trojice noh a kývá se. Ze stejného důvodu má stativ fotoaparátu tři nohy.

Leží bod nebo přímka v rovině?

Všechny příklady používají krychli ABCDEFGH: podstava ABCD, horní stěna EFGH, E nad A, F nad B, G nad C a H nad D. Neviditelné hrany a úsečky kreslíme čárkovaně.

Příklad 2

V krychli ABCDEFGH rozhodněte, zda v rovině BCE leží přímky CH a AC.

Hrany BC a EH jsou rovnoběžné (obě jsou rovnoběžné s hranou AD) a různé, takže určují rovinu. Ta obsahuje body B, C a E, a protože rovina BCE je jen jedna (věta 4), je to právě ona. Rovina BCE tedy prochází i bodem H a protíná krychli v obdélníku BCHE.

Přímka CH: oba body C a H leží v rovině BCE, a podle věty 3 v ní leží celá přímka CH.

Přímka AC: kdyby v rovině BCE ležela, ležel by v ní i bod A. Rovina BCE by pak obsahovala body A, B, E, které neleží v jedné přímce, takže by to byla rovina přední stěny ABFE. Bod C ale v rovině přední stěny neleží, a to je spor. Přímka AC proto v rovině BCE neleží, má s ní společný jen bod C.

Kontrola v souřadnicích: položme krychli o hraně 4 do soustavy souřadnic s počátkem v A, osou x podél AB, y podél AD a z podél AE. Pak B[4; 0; 0], C[4; 4; 0], E[0; 0; 4] a rovina BCE má rovnici `x + z - 4 = 0` (ověřit si ji můžete v kalkulačce s předvyplněnými body). Bod H[0; 4; 4] dává `0 + 4 - 4 = 0`, leží v ní. Bod A[0; 0; 0] dává `-4 \ne 0`, neleží.

Příklad 3

Body K, L, M, N jsou středy hran AB, BC, GH a HE krychle ABCDEFGH. Leží všechny čtyři v jedné rovině?

Úsečka KL spojuje středy dvou stran trojúhelníku ABC, je to jeho střední příčka, a proto `KL \parallel AC`. Stejně NM je střední příčka trojúhelníku EGH, takže `NM \parallel EG`. Úhlopříčky AC a EG jsou rovnoběžné, protože ACGE je obdélník. Přímky KL a NM jsou tedy rovnoběžné, jsou různé (jedna leží v dolní a druhá v horní stěně) a určují rovinu. Všechny čtyři body v ní leží.

Odpověď: ano. Tato rovina prochází navíc středy hran CG a AE a krychli protne v pravidelném šestiúhelníku; jak se takové řezy rýsují, ukazuje Procvičování řezů.

Kolik přímek a rovin určují dané body

Když žádné tři z n bodů neleží v jedné přímce, určuje každá dvojice bodů jinou přímku. Když navíc žádné čtyři neleží v jedné rovině, určuje každá trojice jinou rovinu. Počet přímek p a rovin r je pak počet dvojic a trojic, tedy kombinační čísla (více o nich v článku Kombinace, variace a permutace):

`\begin{gathered}\displaystyle p = \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2} \\[10pt] \displaystyle r = \binom{n}{3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}\end{gathered}`

Sloupec Rovin platí jen tehdy, když žádné čtyři body neleží v jedné rovině. Jakmile čtyři body v jedné rovině leží, dávají jejich čtyři trojice jedinou rovinu místo čtyř a počet je menší, jak ukazuje příklad 6.

Příklad 4

Kolik různých přímek je určeno vrcholy A, C, E, F, H krychle ABCDEFGH?

Žádné tři vrcholy krychle neleží v jedné přímce, takže každá dvojice dává jinou přímku: `\dbinom{5}{2} = \dfrac{5 \cdot 4}{2} = 10`. Pro kontrolu je vypíšeme: AC, AE, AF, AH, CE, CF, CH, EF, EH, FH. Odpověď: 10 přímek.

Příklad 5

Kolik přímek určených vrcholy krychle prochází vrcholem B?

Každý ze zbývajících sedmi vrcholů určí s bodem B jednu přímku: BA, BC, BD, BE, BF, BG, BH. Odpověď: 7. Bodem B samotným prochází přímek nekonečně mnoho, otázka se ptá jen na ty, které jsou určené vrcholy.

Příklad 6

Kolik různých rovin určuje osm vrcholů krychle?

Trojic vrcholů je `\dbinom{8}{3} = 56`, ale rovin je méně, protože po čtyřech vrcholech leží v jedné rovině šest stěn a šest úhlopříčných řezů (jako ABGH, kde jsou dvě protější hrany). Každá z těchto 12 rovin obsahuje čtyři trojice, dohromady `12 \cdot 4 = 48` trojic. Zbývá `56 - 48 = 8` trojic a každá leží ve vlastní rovině: jsou to trojúhelníky jako ACF, které od krychle „odříznou“ jeden vrchol (tady B), a vrcholů je osm.

Odpověď: `6 + 6 + 8 = 20` rovin. Kontrola: 56 trojic se rozdělí jako `12 \cdot 4 + 8 \cdot 1 = 56`.

Vzájemná poloha přímek a rovin: přehled

Základní úloha polohové stereometrie je rozhodnout, jak spolu dva útvary leží. Rozhoduje počet společných bodů, a u dvou přímek navíc to, zda leží v jedné rovině.

Každé dvojici se věnuje samostatný článek: vzájemná poloha přímek (včetně toho, jak dokázat, že jsou přímky mimoběžné), vzájemná poloha přímky a roviny a vzájemná poloha rovin. Polohu přímek v krychli si můžete vyzkoušet v procvičování.

Časté chyby

• „Třemi body prochází rovina“ bez podmínky. Jen tehdy, když neleží v jedné přímce. Jinak jimi rovin prochází nekonečně mnoho.
• „Přímky bez společného bodu jsou rovnoběžné.“ V rovině ano, v prostoru mohou být i mimoběžné. Rovnoběžky navíc leží v jedné rovině.
• Kříží se na obrázku, tedy se protínají. Úhlopříčka podstavy AC a hrana BF se na obrázku krychle kříží, ale společný bod nemají, jsou mimoběžné. Obrázek je průmět, rozhodnout musí věty.
• Počet rovin jako počet trojic. Vzorec `\dbinom{n}{3}` platí jen tehdy, když žádné čtyři body neleží v jedné rovině. Vrcholů krychle je 56 trojic, ale jen 20 rovin.
• Rovina končí okrajem obrázku. Rovnoběžník je jen nakreslená část roviny. Průsečík přímky s rovinou nebo dvou přímek často leží mimo něj, a dokonce mimo těleso, a přesto existuje.

Příklady k procvičení

Kam dál

• Procvičování vzájemné polohy přímek v krychli: rovnoběžné, různoběžné, nebo mimoběžné.
• Rovnice roviny ze tří bodů, vzájemná poloha dvou rovin a řez krychle třemi body s nákresem.
• Vzájemná poloha přímek, přímky a roviny a dvou rovin.
• Řešení konstrukčních úloh: jak z těchto vět vznikají pravidla pro řezy.
• Úvod do stereometrie: jehlan a jak narýsovat krychli ve volném rovnoběžném promítání.