Články » SŠ Matematika » Geometrie » Stereometrie

Stereometrie - Vzdálenost bodu od přímky

Vydáno dne v kategorii Stereometrie; Autor: ; Počet přečtení: 52 044

Naučíme se počítat vzdálenost bodu od přímky.


Po delší pauze opět přichází článek o stereometrii. Dnešní téma tedy bude výpočet vzdálenosti bodu od přímky. Postup je takřka stejný, jako při počítání vzdálenosti bodu od roviny, ale radši si to vysvětlíme.

První příklad

Vypočtěte vzdálenost bodu A od přímky BH v krychli ABCDEFGH. Délka hrany |AB| = 6 cm.

Krychle

Podobně jako při řešení vzdálenosti bodu od roviny budeme i zde hledat pravoúhlý trojúhelník. V tomto případě půjde o trojúhelník ABP. Bod P leží na přímce BH a spojnice bodu AP je kolmá na přímku BH.

¨Detail

Z tohoto detailu už by mělo být každému jasné, co je potřeba spočítat. Velikost hrany AB známe, ale ještě musíme zjistit velikost úhlu |∠ABH|.

|AB| = 6
|AH| = √(62+62) = 8.48
|BH| = √(8.482+62) = 10.32
sin |∠ABH| = 8.48/10.32
|∠ABH|=55°24'
|AP| = sin(|∠ABH|)*|AB|=4.93

Druhý příklad

Procvičíme si to na dalších příkladech. Určete vzdálenost bodu B od přímky AP v krychli ABCDEFGH. Bod P je střed hrany HG. Délka hrany |AB| = 6 cm.

Krychle

Musíme zjistit délku hrany AB a úhel ∠BAP. Délku hrany AB už známe, ale úhel musíme dopočítat. Nejlépe se tento úhel dá spočítat pomocí pravoúhlého trojúhelníku APS. Bod S umístíme do středu hrany AB.

|AS| = 3
|SP| = √(62+62)
|SP| = √72
cos |∠BAP| = |AS|/|SP|
|∠BAP| = 69°17'
|BX| = sin(|∠BAP|)*|AB|
|BX| = 5.62

Třetí příklad

V jehlanu ABCDV určete vzdálenost bodu S od přímky VC. Bod S leží na průsečíku uhlopříček v podstavě. Výška jehlanu v = 7 cm a délka hrany |AB| = 6 cm. Bod X je předpokládaný průsečík nejkratší vzdálenosti SX.

Jehlan

Musíme určit velikost úsečky SC, což je vlastně polovina úhlopříčky a ještě musíme určit velikost úhlu SCV. Tento úhel spočítáme z trojúhelníku SCV.

|SC| = |AC|/2 = √(62+62)/2
|SC| = 4.24
|CV| = 8.2
cos |∠SCV| = |SC|/|CV|
|∠SCV| = 58°
|SX| = |SC|*sin(|∠SCV|) = 4.24 * sin(58°)
|SX| = 3.63

Čtvrtý příklad

V krychli ABCDEFGH určete vzdálenost bodu C od přímky AH. Délka hrany |AB| = 6 cm.

Krychle

Musíme spočítat délku uhlopříčky |CA| a velikost úhlu ∠CAH. Oba výpočty jsou velmi jednoduché. Délku uhlopříčky jsme počítali v předchozích příkladech, takže |AC| = 8.5 a pokud se na obrázek dobře podíváte, zjistíte, že trojúhelník ACH je rovnostranný, tudíž |∠CAH| = 60°.

|CX| = sin(|∠CAH|) * |AC| 
|CX| = 7.36

Nyní už umíte počítat vzdálenost bodu od přímky.


Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Určete intervaly monotónnosti funkce


Hlavolam

Představte si, že máte kovový zvon jako na obrázku, který je připojen na čerpadlo. Uzávěry na trubkách 1, 2 a 3 jsou zavřené. Hlavní uzávěr je otevřen, zvon je ponořen do vody a čerpadlo je spuštěno. Čerpadlo vytváří ve zvonu podtlak, který dovnitř nasává vodu. Když je zvon plný vody, hlavní uzávěr se uzavře a čerpadlo vypne. Nyní se naráz otevřou uzávěry trubek 1 až 3 a na vás je určit, z které trubky bude voda stříkat nejdál.