Stereometrie - Vzdálenost bodu od přímky

Po delší pauze opět přichází článek o stereometrii. Dnešní téma tedy bude výpočet vzdálenosti bodu od přímky. Postup je takřka stejný, jako při počítání vzdálenosti bodu od roviny, ale radši si to vysvětlíme.

První příklad

Vypočtěte vzdálenost bodu A od přímky BH v krychli ABCDEFGH. Délka hrany |AB| = 6 cm.

Podobně jako při řešení vzdálenosti bodu od roviny budeme i zde hledat pravoúhlý trojúhelník. V tomto případě půjde o trojúhelník ABP. Bod P leží na přímce BH a spojnice bodu AP je kolmá na přímku BH.

Z tohoto detailu už by mělo být každému jasné, co je potřeba spočítat. Velikost hrany AB známe, ale ještě musíme zjistit velikost úhlu |∠ABH|.

|AB| = 6
|AH| = √(62+62) = 8.48
|BH| = √(8.482+62) = 10.32
sin |∠ABH| = 8.48/10.32
|∠ABH|=55°24'
|AP| = sin(|∠ABH|)*|AB|=4.93

Druhý příklad

Procvičíme si to na dalších příkladech. Určete vzdálenost bodu B od přímky AP v krychli ABCDEFGH. Bod P je střed hrany HG. Délka hrany |AB| = 6 cm.

Musíme zjistit délku hrany AB a úhel ∠BAP. Délku hrany AB už známe, ale úhel musíme dopočítat. Nejlépe se tento úhel dá spočítat pomocí pravoúhlého trojúhelníku APS. Bod S umístíme do středu hrany AB.

|AS| = 3
|SP| = √(62+62)
|SP| = √72
cos |∠BAP| = |AS|/|SP|
|∠BAP| = 69°17'
|BX| = sin(|∠BAP|)*|AB|
|BX| = 5.62

Třetí příklad

V jehlanu ABCDV určete vzdálenost bodu S od přímky VC. Bod S leží na průsečíku uhlopříček v podstavě. Výška jehlanu v = 7 cm a délka hrany |AB| = 6 cm. Bod X je předpokládaný průsečík nejkratší vzdálenosti SX.

Musíme určit velikost úsečky SC, což je vlastně polovina úhlopříčky a ještě musíme určit velikost úhlu SCV. Tento úhel spočítáme z trojúhelníku SCV.

|SC| = |AC|/2 = √(62+62)/2
|SC| = 4.24
|CV| = 8.2
cos |∠SCV| = |SC|/|CV|
|∠SCV| = 58°
|SX| = |SC|*sin(|∠SCV|) = 4.24 * sin(58°)
|SX| = 3.63

Čtvrtý příklad

V krychli ABCDEFGH určete vzdálenost bodu C od přímky AH. Délka hrany |AB| = 6 cm.

Musíme spočítat délku uhlopříčky |CA| a velikost úhlu ∠CAH. Oba výpočty jsou velmi jednoduché. Délku uhlopříčky jsme počítali v předchozích příkladech, takže |AC| = 8.5 a pokud se na obrázek dobře podíváte, zjistíte, že trojúhelník ACH je rovnostranný, tudíž |∠CAH| = 60°.

|CX| = sin(|∠CAH|) * |AC| 
|CX| = 7.36

Nyní už umíte počítat vzdálenost bodu od přímky.