Články » SŠ Matematika » Geometrie » Analytická geometrie

Analytická geometrie - Skalární součin

Vydáno dne v kategorii Analytická geometrie; Autor: ; Počet přečtení: 58 280

Naučíme se počítat skalární součin, určit délku vektoru, najít kolmý vektor a spoustu dalších věcí.


Toto je jeden z mnoha článků zabývajících se analytickou geometrii na tomto portálu. Jejich přehled naleznete v článku Analytická geometrie - Úvod.

Velikost vektoru

Z předchozích článků umíme již určit vzdálenost dvou bodů. Jestliže tedy umíme spočítat velikost úsečky AB, umíme zároveň spočítat velikost vektoru daného body orientovanou úsečkou AB. Velikost vektoru označujeme symbolem .


Pokud má vektor velikost 1, nazýváme tento vektor jednotkovým.

Je dán vektor . Určete velikost tohoto vektoru:


Skalární součin

Skalární součin vektorů budeme značit jako . Jestliže máme vektor , spočítá se skalární součin jako:


Pokud počítáme v prostoru, přibude samozřejmě další člen .

Vypočítejte skalární součin vektorů , :


Výsledek je 0.

Skalární součin je komutativní (tj. nezávisí na pořadí operandů) a proto pro každé vektory a číslo x z množiny reálných čísel platí:

Odchylka dvou vektorů

Pokud počítáme odchylku vektorů , mohou nastat tři případy:

Vektory

V prvních dvou nemusíme nic počítat, odchylka je jasná, ale v třetím případě již budeme muset počítat. A právě proto jsme si definovali skalární součin.

Pokud máme vektory a umístíme je tak, že oba budou mít počáteční bod v počátku O a vektor bude ležet na kladné poloose x a vektor bude ležet v kladné polorovině, která obsahuje kladnou část osy y.

Vektor

Vektor má souřadnice . Vypočítat souřadnice vektoru je sice těžší, nicméně zas taková překážka to není. Využijeme znalostí o pravoúhlém trojúhelníku:


Nyní musí platit:


Z tohoto vztahu již lehce určíme velikost úhlu :


Jsou dány body A[1; 1], B[3; 0] a C[0; 3]. Vypočtěte velikost úhlu :

Vektor

Posuneme vektor , tak aby kopíroval osu x:

Vektor

Tento krok byl sice zbytečný, ale procvičování je důležité. Nyní už přistoupíme k samotnému výpočtu:


Kolmý vektor

Ke každému vektoru v rovině existují dva kolmé vektory. Jeden v polorovině nad vektorem a druhý v polorovině pod vektorem. Kolmý vektor získáme prohozením souřadnic vektoru a změnou znaménka jedné souřadnice.

Máme-li vektor , tak kolmé vektory jsou:

Vektory

Procvičování

1) Vypočítejte skalární součin vektorů .


2) Vypočítejte skalární součin vektorů , když a vzájemný úhel je .


3) Vypočítejte úhel vektorů .


4) Nalezněte kolmý vektor k vektoru .

, popř. 

Příště si vysvětlíme vektorový součin (přejít na článek Analytická geometrie - Vektorový součin).


Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Určete limitu :


Hlavolam

Jak to tak bývá, zlý čaroděj uvěznil mudrce. A kdo by to čekal, dal mu šanci se zachránit, pokud splní úkol. Na stole je kulatý tác, kterým lze volně otáčet, a na něm čtyři mince do čtverce. Mudrc má zavázané oči, nic nevidí. Jeho úkolem je otočit mince tak, že bude na všech panna. Nemá to však jednoduché. Otočí jistý počet mincí, pak černokněžník tácem zatočí. Opět otočí nějaké mince a znovu se tácem náhodně otočí. Toto se opakuje, dokud nejsou všechny mince správně. V tu chvíli je hra zlotřilým čarodějem ukončena. Mudrc nepozná podle hmatu pannu od orla. Musí vždy mince nechat na svém místě, ve čtverci. A hlavně - kvůli zlé magii - má strašnou smůlu a pokud bude spoléhat jen na náhodu, tak úkol nikdy nesplní.