Přejít na matematické fórum Připravili jsme pro Vás zbrusu nové fórum a jsme připravení odpovídat na Vaše otázky!


Články » SŠ Matematika » Geometrie » Analytická geometrie

Analytická geometrie - Skalární součin

Vydáno dne v kategorii Analytická geometrie; Autor: ; Počet přečtení: 56 305

Naučíme se počítat skalární součin, určit délku vektoru, najít kolmý vektor a spoustu dalších věcí.


Toto je jeden z mnoha článků zabývajících se analytickou geometrii na tomto portálu. Jejich přehled naleznete v článku Analytická geometrie - Úvod.

Velikost vektoru

Z předchozích článků umíme již určit vzdálenost dvou bodů. Jestliže tedy umíme spočítat velikost úsečky AB, umíme zároveň spočítat velikost vektoru daného body orientovanou úsečkou AB. Velikost vektoru označujeme symbolem .


Pokud má vektor velikost 1, nazýváme tento vektor jednotkovým.

Je dán vektor . Určete velikost tohoto vektoru:


Skalární součin

Skalární součin vektorů budeme značit jako . Jestliže máme vektor , spočítá se skalární součin jako:


Pokud počítáme v prostoru, přibude samozřejmě další člen .

Vypočítejte skalární součin vektorů , :


Výsledek je 0.

Skalární součin je komutativní (tj. nezávisí na pořadí operandů) a proto pro každé vektory a číslo x z množiny reálných čísel platí:

Odchylka dvou vektorů

Pokud počítáme odchylku vektorů , mohou nastat tři případy:

Vektory

V prvních dvou nemusíme nic počítat, odchylka je jasná, ale v třetím případě již budeme muset počítat. A právě proto jsme si definovali skalární součin.

Pokud máme vektory a umístíme je tak, že oba budou mít počáteční bod v počátku O a vektor bude ležet na kladné poloose x a vektor bude ležet v kladné polorovině, která obsahuje kladnou část osy y.

Vektor

Vektor má souřadnice . Vypočítat souřadnice vektoru je sice těžší, nicméně zas taková překážka to není. Využijeme znalostí o pravoúhlém trojúhelníku:


Nyní musí platit:


Z tohoto vztahu již lehce určíme velikost úhlu :


Jsou dány body A[1; 1], B[3; 0] a C[0; 3]. Vypočtěte velikost úhlu :

Vektor

Posuneme vektor , tak aby kopíroval osu x:

Vektor

Tento krok byl sice zbytečný, ale procvičování je důležité. Nyní už přistoupíme k samotnému výpočtu:


Kolmý vektor

Ke každému vektoru v rovině existují dva kolmé vektory. Jeden v polorovině nad vektorem a druhý v polorovině pod vektorem. Kolmý vektor získáme prohozením souřadnic vektoru a změnou znaménka jedné souřadnice.

Máme-li vektor , tak kolmé vektory jsou:

Vektory

Procvičování

1) Vypočítejte skalární součin vektorů .


2) Vypočítejte skalární součin vektorů , když a vzájemný úhel je .


3) Vypočítejte úhel vektorů .


4) Nalezněte kolmý vektor k vektoru .

, popř. 

Příště si vysvětlíme vektorový součin (přejít na článek Analytická geometrie - Vektorový součin).


Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Vypočtěte


Hlavolam

Byl jednou jeden mladý kouzelník a ten se šíleně zamiloval do jediné dcery krále, kterému sloužil. Ta ho taky hrozně milovala (dokázal jí kdykoliv vykouzlit květiny :-). Ale otec král tomu vůbec nepřál. Chtěl pro svou dceru nějakého urozeného a bohatého ženicha a ne takového nekňubu, jako byl kouzelník (jak si myslel). Intrikami, se mu ho podařilo křivě obvinit z krádeže a uvrhnout do žaláře. Ale kouzelník byl moc populární mezi lidem a tak ho nemohl dát jen tak jednoduše popravit, jak by rád. Vymyslel tedy na něj lest: u soudu mu dal možnost losování vlastní smrti. Řekl: "Zde v klobouku jsou dvě kuličky: černá a bílá. Vylosuješ-li si bílou, budeš žít. Ale vytáhneš-li z klobouku černou, zemřeš." Vypadalo to jako férová šance, ale král, který nechtěl nic riskovat, mu tam dal obě kuličky černé. Kouzelník naštěstí nebyl hloupý a dovtípil se to. Jak to jenom navléct, aby přežil ...