Analytická geometrie - Skalární součin

Toto je jeden z mnoha článků zabývajících se analytickou geometrii na tomto portálu. Jejich přehled naleznete v článku Analytická geometrie - Úvod.

Velikost vektoru

Z předchozích článků umíme již určit vzdálenost dvou bodů. Jestliže tedy umíme spočítat velikost úsečky AB, umíme zároveň spočítat velikost vektoru daného body orientovanou úsečkou AB. Velikost vektoru označujeme symbolem .

Pokud má vektor velikost 1, nazýváme tento vektor jednotkovým.

Je dán vektor . Určete velikost tohoto vektoru:

Skalární součin

Skalární součin vektorů budeme značit jako . Jestliže máme vektor , spočítá se skalární součin jako:

Pokud počítáme v prostoru, přibude samozřejmě další člen .

Vypočítejte skalární součin vektorů , :

Výsledek je 0.

Skalární součin je komutativní (tj. nezávisí na pořadí operandů) a proto pro každé vektory a číslo x z množiny reálných čísel platí:

• 
• 
• 
• 

Odchylka dvou vektorů

Pokud počítáme odchylku vektorů , mohou nastat tři případy:

V prvních dvou nemusíme nic počítat, odchylka je jasná, ale v třetím případě již budeme muset počítat. A právě proto jsme si definovali skalární součin.

Pokud máme vektory a umístíme je tak, že oba budou mít počáteční bod v počátku O a vektor bude ležet na kladné poloose x a vektor bude ležet v kladné polorovině, která obsahuje kladnou část osy y.

Vektor má souřadnice . Vypočítat souřadnice vektoru je sice těžší, nicméně zas taková překážka to není. Využijeme znalostí o pravoúhlém trojúhelníku:

Nyní musí platit:

Z tohoto vztahu již lehce určíme velikost úhlu :

Jsou dány body A[1; 1], B[3; 0] a C[0; 3]. Vypočtěte velikost úhlu :

Posuneme vektor , tak aby kopíroval osu x:

Tento krok byl sice zbytečný, ale procvičování je důležité. Nyní už přistoupíme k samotnému výpočtu:

Kolmý vektor

Ke každému vektoru v rovině existují dva kolmé vektory. Jeden v polorovině nad vektorem a druhý v polorovině pod vektorem. Kolmý vektor získáme prohozením souřadnic vektoru a změnou znaménka jedné souřadnice.

Máme-li vektor , tak kolmé vektory jsou:

1. 
2. 

Procvičování

1) Vypočítejte skalární součin vektorů .

2) Vypočítejte skalární součin vektorů , když a vzájemný úhel je .

3) Vypočítejte úhel vektorů .

4) Nalezněte kolmý vektor k vektoru .

, popř. 

Příště si vysvětlíme vektorový součin (přejít na článek Analytická geometrie - Vektorový součin).